پیوستگی تابع حقیقی - آموزش ریاضیات دانشگاهی

پیوستگی تابع حقیقی:

برای پیوستگی تابع $f\left( x \right)$ در $x = {x_0}$ باید تابع در این نقطه حد و مقدار داشته باشد، و این دو مقدار با یکدیگر برابر باشند. برای داشتن حد باید حد چپ و راست موجود و با هم برابر باشند پس برای پیوستگی تابع، باید سه عبارت زیر موجود و با یکدیگر برابر باشند:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$

پیوستگی یک تابع در یک نقطه از لحاظ هندسی بدین معنی است که تابع در آن نقطه دارای پرش یا هرگونه ناپیوستگی نباشد:

برای بررسی پیوسته بودن توابع چندضابطهای در نقاط شرطی، باید حد چپ و راست و مقدار تابع در نقاط شرطی بررسی و مساوی باشند.

مثال: پیوستگی تابع زیر را بررسی کنید

$f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2}{\rm{ }} \qquad \qquad x < 2\\ {\rm{4 }}\qquad \qquad x = 2\\ \left| {x + 2} \right|{\rm{ }}\qquad x > 2 \end{array} \right.$

حل: ابتدا حد چ‍‍پ و راست را در نقطه شرطی ( در این سوال $x = 2$ ) مییابیم:

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {x^2} = 4\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left| {x + 2} \right| = 4 \end{array}$

حد چ‍پ و راست در نقطه $x = 2$ با یکدیگر برابر و با مقدار تابع (ضابطه وسط) مساوی هستند.

مثال: a و b را طوری بیابید که تابع زیر همه جا پیوسته باشد.

$f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2}{\rm{ - 4 }} \qquad \qquad x \le 2\\ {\rm{a}}x + b{\rm{ 2 < }} \qquad x \le 4\\ \left| {x + 2} \right|{\rm{ }} \qquad \qquad x > 4 \end{array} \right.$

حل: برای آنکه تابع همه جا پیوسته باشد باید تابع در نقاط شرطی پیوسته باشد:

$\left. \begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {x^2} - 4 = 0\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {\rm{a}}x + b = 2a + b \end{array} \right\} \Rightarrow 2a + b = 0\\ \left. \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} {\rm{a}}x + b = 4a + b\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \left| {x + 2} \right| = 6 \end{array} \right\} \Rightarrow 4a + b = 6 \end{array} \right\} \Rightarrow a = 3,b = - 6$

نکته: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ x \right] \sim \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } x$ یعنی اگر داخل جزءصحیح به سمت بی‌نهایت میل کند، می‌توان جز‌ءصحیح را حذف کرد.

مثال: حاصل حد $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\left[ {\frac{1}{x}} \right]$ را بیابید.

حل: اگر $x$ ‌ به سمت صفر میل کند $\frac{1}{x}$ به سمت بی‌نهایت میل می‌کند پس می‌توان جزءصحیح را حذف کرد:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\left[ {\frac{1}{x}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x \times \frac{1}{x} = 1$

پیوستگی یک‌طرفه:

اگر مقدار تابع فقط با حد راست تابع برابر باشد تابع در آن نقطه پیوستگی راست و اگر مقدار تابع فقط با حد چپ تابع برابر باشد تابع در آن نقطه پیوستگی چپ دارد.

مثال: پیوستگی تابع زیر را در نقطه $x = 0$ بررسی کنید.

$f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\left[ {{x^2}} \right]}}{x}{\rm{ }} \qquad \qquad \qquad x < 0\\ 0{\rm{ }} \qquad \qquad \qquad \qquad x = 0\\ \left[ {\cos \frac{\pi }{2}\left( {x + 1} \right)} \right]{\rm{ }} \qquad x > 0 \end{array} \right.$

حل: حد چپ و راست را در $x = 0$ یافته و با مقدار تابع در این نقطه (شرط وسطی) مقایسه می‌کنیم:

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left[ {{x^2}} \right]}}{x}{\rm{ }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left[ {{\varepsilon ^ + }} \right]}}{x}{\rm{ }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{0}{x}{\rm{ }} = 0\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {\cos \frac{\pi }{2}\left( {x + 1} \right)} \right]{\rm{ }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {\cos \frac{{{\pi ^ + }}}{2}} \right]{\rm{ }} = \left[ {{\varepsilon ^ - }} \right] = - 1 \end{array}$

فقط حد چپ تابع با مقدار تابع در $x = 0$ برابر است پس تابع در این نقطه از چپ پیوسته است.

تمرین: پیوستگی تابع زیر را در نقطه $x = 1$ بررسی کنید.

$f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\left[ {x - 1} \right]}}{{{x^2}}}{\rm{ }} \qquad \qquad x < 1\\ 0{\rm{ }} \qquad \qquad \qquad x = 1\\ \left[ {1 + \sin \pi x} \right]{\rm{ }} \qquad x > 1 \end{array} \right.$

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

لینک دانلود

امین یارمحمدی

1396-06-14

حد و پیوستگی

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.