تقریب تابع (یافتن مقدار تابع در یک نقطه به کمک نقاط اطراف آن نقطه)

تقریب تابع:

هرگاه مقدار تابع را درنقطه‌ای بخواهند که مقدار دقیق تابع در نزدیکی آن نقطه را بدانیم باید از روش «تقریب تابع» استفاده کنیم. فرمول کلی تقریب به صورت زیر است:

$f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \simeq f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x$

یعنی اگر نقطه مورد نظر (یعنی ${x_0} + \Delta x$ ) با نقطه‌ای که مقدار دقیق آن را میتوانیم محاسبه کنیم (یعنی ${x_0}$ ) به اندازه $\Delta x$ فاصله داشته باشد، کافیست مقدار تابع و مشتق تابع را در ${x_0}$ یافته و در معادله بالا قرار دهیم. اگر نقطه داده شده بیشتر از ${x_0}$ باشد $\Delta x > 0$ و اگر کمتر باشد $\Delta x < 0$ است. علامت $\Delta x$ را خودمان باید در فرمول لحاظ کنیم. به کمک چند مثال این مبحث را بیشتر توضیح می‌دهیم.

مثال: حاصل $\sqrt {26}$ را بیابید.

حل: ابتدا تابع $f\left( x \right) = \sqrt x$ را تعریف می‌کنیم سپس مقدار تابع را در $x = 26$ می‌یابیم.

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = \sqrt x \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }}{\rm{ }}\quad,\quad{x_0} = 25\quad,\quad\Delta x = + 1\\ \\ \Rightarrow f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {25} \right) = \sqrt {25} = 5{\rm{ }}\\ \\ f'\left( {{x_0}} \right) = {\rm{ }}f'\left( {25} \right) = \frac{1}{{2\sqrt {25} }} = \frac{1}{{10}} = 0.1\\ \\ f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \simeq f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x\\ \\ \Rightarrow f\left( {26} \right) \simeq f\left( {25} \right) + f'\left( {25} \right) \times 1 = 5 + 0.1 = 5.1 \end{array}$

در این مثال، عددی که تقریب تابع را در آن نقطه می‌خواهیم (یعنی $x = 26$ ) حساب کنیم از عددی که تابع در آن نقطه مقدار دقیق دارد (یعنی $x_0 = 25$ ) بزرگتر است. پس $\Delta x$ را در فرمول به صورت مثبت جای‌گذاری می‌کنیم.

این آموزش را نیز مطالعه کنید: مجانب‌های منحنی (یافتن خطوط مماس برتابع در فواصل دور)

نکته مهم: برای محاسبه تقریب توابع مثلثاتی باید زوایا را حتماً بر حسب رادیان وارد کنیم.

مثال: حاصل $\sin {28^ \circ }$ را بیابید.

حل: تابع $f\left( x \right) = \sin x$ ‌ را تعریف کرده و مسئله را حل می‌کنیم. در محاسبات، زوایا را باید بر حسب رادیان جایگذاری کنیم. نزدیک‌ترین زاویه‌ای که سینوس آن را می‌دانیم ${30^ \circ }$ یا همان $\frac{\pi }{6}$ است.

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = \sin x \Rightarrow f'\left( x \right) = \cos x\\ \\ {x_0} = {30^ \circ } = \frac{\pi }{6}\\ \\ \Delta x = - {2^ \circ } = - 2 \times \frac{\pi }{{180}} = - \frac{\pi }{{90}}\\ \\ \Rightarrow f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\\ \\ {\rm{ }}f'\left( {{x_0}} \right) = {\rm{ }}f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \simeq f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x\\ \\ \Rightarrow f\left( {{{28}^ \circ }} \right) \simeq f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) + f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) \times \left( { - \frac{\pi }{{90}}} \right)\\ \\ \Rightarrow f\left( {{{28}^ \circ }} \right) \simeq \frac{1}{2}{\rm{ }} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} \times \left( { - \frac{\pi }{{90}}} \right) = \frac{1}{2} - \frac{{\pi \sqrt 3 }}{{180}} \end{array}$

در این مثال، عددی که تقریب تابع را در آن نقطه می‌خواهیم (یعنی $x = 28 \times \frac{\pi }{{180}}$ ) حساب کنیم از عددی که تابع در آن نقطه مقدار دقیق دارد (یعنی ${x_0} = \frac{\pi }{6}$ ) کوچکتر است. پس $\Delta x$ را در فرمول به صورت منفی جای‌گذاری می‌کنیم.

تمرین: مقدار تقریبی ${\mathop{\rm Arctan}\nolimits} \left( {1.02} \right)$ ‌ را بیابید.

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

لینک دانلود

امین یارمحمدی

1396-10-26

مشتق و کاربرد آن

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.