یافتن جواب سری‌ها به کمک انتگرال:

برای یافتن جواب سری‌ها به کمک انتگرال کافیست ابتدا آن حد مجموع را به یک سری با شمارنده‌ای مانند $i$ از $1$ تا $n$ که $n \to \infty$ میل می‌کند تبدیل کنیم، سپس آن سری را طوری مرتب کنیم که تمام $i$ ها به همراه $n$ ها تشکیل $\frac{i}{n}$ دهند. در این حالت یک $\frac{1}{n}$ اضافه نیز باقی خواهد ماند. جواب این سری برابر است با انتگرال تابع داخل سری به طوری که $\frac{i}{n}$ ها به $x$ و $\frac{1}{n}$ به تبدیل شده و انتگرال از $0$ تا $1$ گرفته می‌شود.

مثال: حاصل حد مجموع زیر را به کمک انتگرال‌گیری بیابید.

${\rm{A = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}{{\sqrt {4{n^2} - 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {4{n^2} - {2^2}} }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {4{n^2} - {n^2}} }}} \right)$

حل: ابتدا این حد را به شکل زیر به یک سری تبدیل می‌کنیم:

$\begin{array}{l} {\rm{A = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}{{\sqrt {4{n^2} - 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {4{n^2} - {2^2}} }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {4{n^2} - {n^2}} }}} \right)\\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{\sqrt {4{n^2} - {i^2}} }}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{n}\frac{1}{{\sqrt {4 - {{\left( {\frac{i}{n}} \right)}^2}} }}} \end{array}$

سپس این سری را به روش گفته شده به انتگرال تبدیل می‌کنیم:

$\begin{array}{l} {\rm{A}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{n}\frac{1}{{\sqrt {4 - {{\left( {\frac{i}{n}} \right)}^2}} }}} = \int_{x = 0}^1 {\frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}dx} \\ \\ = \left. {{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} \frac{x}{2}} \right|_0^1 = {\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} \frac{1}{2} - {\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} 0 = \left. {\underline {\, {\frac{\pi }{6}} \,}}\! \right| \end{array}$

این آموزش را نیز مطالعه کنید: بهینه‌سازی

مثال: برای سری زیر مطلوبست یافتن جواب سری‌ها به کمک انتگرال.

${\rm{A = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{n}{{{{\left( {n + 1} \right)}^3}}} + \frac{{2n}}{{{{\left( {n + 2} \right)}^3}}} + ... + \frac{1}{{8n}}} \right)$

حل: مشابه مثال قبل، ابتدا این حد را به یک سری تبدیل می‌کنیم:

$\begin{array}{l} {\rm{A = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{n}{{{{\left( {n + 1} \right)}^3}}} + \frac{{2n}}{{{{\left( {n + 2} \right)}^3}}} + ... + \frac{1}{{8n}}} \right)\\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{in}}{{{{\left( {n + i} \right)}^3}}}} \\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{in}}{{{n^3}{{\left( {1 + \frac{i}{n}} \right)}^3}}}} \\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{n}\frac{{\frac{i}{n}}}{{{{\left( {1 + \frac{i}{n}} \right)}^3}}}} \end{array}$

سپس سری به دست آمده را به انتگرال تبدیل کرده و جواب را محاسبه می‌کنیم:

$\begin{array}{l} {\rm{A = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{n}\frac{{\frac{i}{n}}}{{{{\left( {1 + \frac{i}{n}} \right)}^3}}}} = \int_{x = 0}^1 {\frac{x}{{{{\left( {1 + x} \right)}^3}}}dx} \\ \\ = \int_{x = 0}^1 {\frac{{x + 1 - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}dx} \\ \\ = \int_{x = 0}^1 {\left[ {\frac{{x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}} \right]dx} \\ \\ = \int_{x = 0}^1 {\left[ {\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}} \right]dx} \\ \\ = \int_{x = 0}^1 {\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^{ - 2}} - {{\left( {x + 1} \right)}^{ - 3}}} \right]dx} \\ \\ = \left. {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^{ - 1}}}}{{ - 1}} - \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^{ - 2}}}}{{ - 2}}} \right|_0^1\\ \\ = \left( { - \frac{1}{2} + \frac{1}{8}} \right) - \left( { - 1 + \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{8} \end{array}$

ملاحظه می‌کنید که مبحث یافتن جواب سری‌ها به کمک انتگرال بسیار ساده است و باید بتوانید نمره سوال آن را به راحتی در امتحانات کسب کرده یا تست آن را در کنکور ارشد حل کنید.

تمرین: برای سری‌های زیر مطلوبست یافتن جواب سری‌ها به کمک انتگرال.

${\rm{A = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{3}{n}\left( {1 + \sqrt {\frac{n}{{n + 3}}} + \sqrt {\frac{n}{{n + 6}}} + \sqrt {\frac{n}{{n + 9}}} + ... + \sqrt {\frac{n}{{n + 3\left( {n - 1} \right)}}} } \right)$
${\rm{B = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\left( {{{\sin }^2}\frac{1}{n} + {{\sin }^2}\frac{2}{n} + ... + {{\sin }^2}\frac{n}{n}} \right)$
${\rm{C = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}{{\sqrt {{n^2} + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + {2^2}} }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + {n^2}} }}} \right)$
${\rm{D = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n\left( {\frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {n + 2} \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {n + n} \right)}^2}}}} \right)$

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

لینک دانلود

امین یارمحمدی

1397-01-14

انتگرال و کاربرد آن

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.