یافتن جواب سری‌ها به کمک انتگرال

 یافتن جواب سری‌ها به کمک انتگرال:

برای یافتن جواب سری‌ها به کمک انتگرال کافیست ابتدا آن حد مجموع را به یک سری با شمارنده‌ای مانند  i   از 1 تا  n   که  n \to \infty  میل می‌کند تبدیل کنیم، سپس آن سری را طوری مرتب کنیم که تمام   iها به همراه  nها تشکیل  \frac{i}{n}  دهند. در این حالت یک  \frac{1}{n}   اضافه نیز باقی خواهد ماند. جواب این سری برابر است با انتگرال تابع داخل سری به طوری که  \frac{i}{n}ها به  x   و  \frac{1}{n}  به   تبدیل شده و انتگرال از  0  تا  1  گرفته می‌شود.

 

مثال: حاصل حد مجموع زیر را به کمک انتگرال‌گیری بیابید.

{\rm{A = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}{{\sqrt {4{n^2} - 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {4{n^2} - {2^2}} }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {4{n^2} - {n^2}} }}} \right)

حل: ابتدا این حد را به شکل زیر به یک سری تبدیل می‌کنیم:

    \[\begin{array}{l} {\rm{A = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}{{\sqrt {4{n^2} - 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {4{n^2} - {2^2}} }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {4{n^2} - {n^2}} }}} \right)\\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{\sqrt {4{n^2} - {i^2}} }}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{n}\frac{1}{{\sqrt {4 - {{\left( {\frac{i}{n}} \right)}^2}} }}} \end{array}\]

سپس این سری را به روش گفته شده به انتگرال تبدیل می‌کنیم:

    \[\begin{array}{l} {\rm{A}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{n}\frac{1}{{\sqrt {4 - {{\left( {\frac{i}{n}} \right)}^2}} }}} = \int_{x = 0}^1 {\frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}dx} \\ \\ = \left. {{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} \frac{x}{2}} \right|_0^1 = {\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} \frac{1}{2} - {\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} 0 = \left. {\underline {\, {\frac{\pi }{6}} \,}}\! \right| \end{array}\]


این آموزش را نیز مطالعه کنید: بهینه‌سازی


مثال: برای سری زیر مطلوبست یافتن جواب سری‌ها به کمک انتگرال.

{\rm{A = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{n}{{{{\left( {n + 1} \right)}^3}}} + \frac{{2n}}{{{{\left( {n + 2} \right)}^3}}} + ... + \frac{1}{{8n}}} \right)

حل: مشابه مثال قبل، ابتدا این حد را به یک سری تبدیل می‌کنیم:

\begin{array}{l} {\rm{A = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{n}{{{{\left( {n + 1} \right)}^3}}} + \frac{{2n}}{{{{\left( {n + 2} \right)}^3}}} + ... + \frac{1}{{8n}}} \right)\\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{in}}{{{{\left( {n + i} \right)}^3}}}} \\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{in}}{{{n^3}{{\left( {1 + \frac{i}{n}} \right)}^3}}}} \\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{n}\frac{{\frac{i}{n}}}{{{{\left( {1 + \frac{i}{n}} \right)}^3}}}} \end{array}

سپس سری به دست آمده را به انتگرال تبدیل کرده و جواب را محاسبه می‌کنیم:

    \[\begin{array}{l} {\rm{A = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{n}\frac{{\frac{i}{n}}}{{{{\left( {1 + \frac{i}{n}} \right)}^3}}}} = \int_{x = 0}^1 {\frac{x}{{{{\left( {1 + x} \right)}^3}}}dx} \\ \\ = \int_{x = 0}^1 {\frac{{x + 1 - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}dx} \\ \\ = \int_{x = 0}^1 {\left[ {\frac{{x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}} \right]dx} \\ \\ = \int_{x = 0}^1 {\left[ {\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}} \right]dx} \\ \\ = \int_{x = 0}^1 {\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^{ - 2}} - {{\left( {x + 1} \right)}^{ - 3}}} \right]dx} \\ \\ = \left. {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^{ - 1}}}}{{ - 1}} - \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^{ - 2}}}}{{ - 2}}} \right|_0^1\\ \\ = \left( { - \frac{1}{2} + \frac{1}{8}} \right) - \left( { - 1 + \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{8} \end{array}\]

ملاحظه می‌کنید که مبحث یافتن جواب سری‌ها به کمک انتگرال بسیار ساده است و باید بتوانید نمره سوال آن را به راحتی در امتحانات کسب کرده یا تست آن را در کنکور ارشد حل کنید.

تمرین:  برای سری‌های زیر مطلوبست یافتن جواب سری‌ها به کمک انتگرال.

  1. {\rm{A = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{3}{n}\left( {1 + \sqrt {\frac{n}{{n + 3}}} + \sqrt {\frac{n}{{n + 6}}} + \sqrt {\frac{n}{{n + 9}}} + ... + \sqrt {\frac{n}{{n + 3\left( {n - 1} \right)}}} } \right)
  2. {\rm{B = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\left( {{{\sin }^2}\frac{1}{n} + {{\sin }^2}\frac{2}{n} + ... + {{\sin }^2}\frac{n}{n}} \right)
  3. {\rm{C = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}{{\sqrt {{n^2} + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + {2^2}} }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + {n^2}} }}} \right)
  4. {\rm{D = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n\left( {\frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {n + 2} \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {n + n} \right)}^2}}}} \right)

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

انتگرال و کاربرد آن

انتگرال معینجواب سریسری‌های ریمانیکاربرد انتگرالکاربرد انتگرال معینمحاسبه سرییافتن جواب سری‌ها به کمک انتگرال

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

guest
11 دیدگاه ها
قدیمی ترین
جدیدترین بیشترین آرا
Inline Feedbacks
مشاهده همه دیدگاه ها