هوپیتال

هوپیتال:

در فصل حد و پیوستگی مختصراً توضیح دادیم که اگر جواب یک حد به صورت مبهم  \frac{0}{0}   یا    \frac{\infty }{\infty }  باشد، جواب حد‌ با مشتق‌گیری از صورت و مخرج بدست می‌آید. به این روش، دستور هوپیتال می‌گوییم:

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{0}{0}{\rm{ or }}\frac{\infty }{\infty }\mathop { \Rightarrow \lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f'(x)}}{{g'\left( x \right)}}\]

مثال: حاصل حد  \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{Ln\left( {{x^2} + x - 1} \right)}}{{x{e^x} - e}} را بیابید.

حل: ابتدا عدد ۱ را در حد قرار می‌دهیم تا جواب را بررسی کنیم:

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{Ln\left( {{x^2} + x - 1} \right)}}{{x{e^x} - e}} = \frac{{Ln\left( {{1^2} + 1 - 1} \right)}}{{1{e^1} - e}} = \frac{{Ln\left( 1 \right)}}{{e - e}} = \frac{0}{0}\]

جواب به فرم مبهم   \frac{0}{0}   در آمده است پس میتوانیم از دستور هوپیتال استفاده کنیم که در محاسبه حد به اختصار با   Hop   نمایش می‌دهند:

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{Ln\left( {{x^2} + x - 1} \right)}}{{x{e^x} - e}}\mathop = \limits^{Hop} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x - 1}}}}{{{e^x} + x{e^x}}} = \frac{{\frac{3}{1}}}{{e + e}} = \frac{3}{{2e}}\]

 

 

تمرین: حاصل حدود زیر را محاسبه کنید.

  1. \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 7{x^2} + 10x}}{{{x^2} + x - 6}}
  2. \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sin \left( {\pi x} \right)}}{{{x^2} - 16}}
  3. \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{Lnx}}{{{x^2} - x}}

 

نکته: اگر جواب حد به فرم مبهم  0 \times \infty  در بیاید کافیست یکی از عبارات را به مخرج ببریم (  x = \frac{1}{{1/x}}  ) که در اینصورت جواب حد به فرم  \frac{0}{0}   یا   \frac{\infty }{\infty }  تبدیل شده و به کمک هوپیتال حل می‌شود.

مثال: حاصل حد  \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 - x} \right)\tan \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right)  را بیابید.

حل: ابتدا عدد ۱ را در حد جایگذاری می‌کنیم:

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 - x} \right)\tan \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right) = 0 \times \tan \left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0 \times \infty \]

جواب حد به فرم مبهم  0 \times \infty  است پس به کمک نکته بالا داریم:

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 - x} \right)\tan \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {1 - x} \right)}}{{1/\tan \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {1 - x} \right)}}{{\cot \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right)}} = \frac{0}{{\cot \left( {\frac{\pi }{2}} \right)}} = \frac{0}{0}\]

مشاهده می‌کنیم که جواب به فرم مبهم   \frac{0}{0}   در آمده است پس میتوانیم از دستور هوپیتال استفاده کنیم:

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {1 - x} \right)}}{{\cot \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right)}}\mathop = \limits^{Hop} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 1}}{{ - \frac{\pi }{2}(1 + {{\cot }^2}\left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right))}} = \frac{{ - 1}}{{ - \frac{\pi }{2}(1 + 0)}} = \frac{2}{\pi }\]

تمرین: حاصل حدود زیر را محاسبه کنید.

  1. \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} xLnx
  2. \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cot 2x\sin 6x
  3. \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } x\left( {{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} \frac{{x + 1}}{{x + 2}} - \frac{\pi }{4}} \right)

این آموزش را نیز مطالعه کنید: محاسبه حد چندجمله‌ای ها به کمک هم‌ارزی‌ها 


نکته: اکثر حدود به فرم   \infty - \infty   را میتوان با مخرج مشترک گرفتن به فرم  \frac{0}{0}   یا    \frac{\infty }{\infty }   تبدیل کرده و از هوپیتال استفاده کنیم.

مثال: حاصل حد  \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{1}{{Lnx}} - \frac{1}{{x - 1}}} \right)   را بیابید.

حل: مشاهده می‌کنیم که جواب به صورت  \infty - \infty  است:

\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{1}{{Lnx}} - \frac{1}{{x - 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{1}{0} - \frac{1}{0}} \right) = \infty - \infty

ابتدا از دو کسر مخرج مشترک می‌گیریم سپس از هوپیتال کمک می‌گیریم:

    \[\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{1}{{Lnx}} - \frac{1}{{x - 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{x - 1 - Lnx}}{{\left( {x - 1} \right)Lnx}}} \right) = \frac{0}{0}\mathop = \limits^{Hop} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{1 - \frac{1}{x}}}{{Lnx + \frac{{x - 1}}{x}}}} \right)\\ = \frac{0}{0}\mathop = \limits^{Hop} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{\frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{1}{x} + \frac{{1\left( x \right) - 1\left( {x - 1} \right)}}{x}}}} \right) = \frac{1}{{1 + \frac{{1 - 0}}{1}}} = \frac{1}{2} \end{array}\]

نکته: همانطور که در مثال بالا دیدیم، میتوان ۲ یا حتی چند بار متوالی از هوپیتال استفاده کنیم.

 

تمرین: حاصل حدود زیر را محاسبه کنید.

  1. \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\cos x}}{{{{\tan }^2}x}} - \frac{1}{{{{\tan }^2}x}}} \right)
  2. \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{\sin x}}} \right) (راهنمایی: پس از هوپیتال از هم‌ارزی‌های مثلثاتی استفاده کنید)
  3. \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) (راهنمایی: مشابه بالا)

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

مشتق و کاربرد آن

مشتقهوپیتال

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *