هوپیتال:

در فصل حد و پیوستگی مختصراً توضیح دادیم که اگر جواب یک حد به صورت مبهم $\frac{0}{0}$ یا $\frac{\infty }{\infty }$ باشد، جواب حد‌ با مشتق‌گیری از صورت و مخرج بدست می‌آید. به این روش، دستور هوپیتال می‌گوییم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{0}{0}{\rm{ or }}\frac{\infty }{\infty }\mathop { \Rightarrow \lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f'(x)}}{{g'\left( x \right)}}$

مثال: حاصل حد $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{Ln\left( {{x^2} + x - 1} \right)}}{{x{e^x} - e}}$ را بیابید.

حل: ابتدا عدد ۱ را در حد قرار می‌دهیم تا جواب را بررسی کنیم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{Ln\left( {{x^2} + x - 1} \right)}}{{x{e^x} - e}} = \frac{{Ln\left( {{1^2} + 1 - 1} \right)}}{{1{e^1} - e}} = \frac{{Ln\left( 1 \right)}}{{e - e}} = \frac{0}{0}$

جواب به فرم مبهم $\frac{0}{0}$ در آمده است پس میتوانیم از دستور هوپیتال استفاده کنیم که در محاسبه حد به اختصار با $Hop$ نمایش می‌دهند:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{Ln\left( {{x^2} + x - 1} \right)}}{{x{e^x} - e}}\mathop = \limits^{Hop} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x - 1}}}}{{{e^x} + x{e^x}}} = \frac{{\frac{3}{1}}}{{e + e}} = \frac{3}{{2e}}$

تمرین: حاصل حدود زیر را محاسبه کنید.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 7{x^2} + 10x}}{{{x^2} + x - 6}}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sin \left( {\pi x} \right)}}{{{x^2} - 16}}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{Lnx}}{{{x^2} - x}}$

نکته: اگر جواب حد به فرم مبهم $0 \times \infty$ در بیاید کافیست یکی از عبارات را به مخرج ببریم ( $x = \frac{1}{{1/x}}$ ) که در اینصورت جواب حد به فرم $\frac{0}{0}$ یا $\frac{\infty }{\infty }$ تبدیل شده و به کمک هوپیتال حل می‌شود.

مثال: حاصل حد $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 - x} \right)\tan \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right)$ را بیابید.

حل: ابتدا عدد ۱ را در حد جایگذاری می‌کنیم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 - x} \right)\tan \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right) = 0 \times \tan \left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0 \times \infty$

جواب حد به فرم مبهم $0 \times \infty$ است پس به کمک نکته بالا داریم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 - x} \right)\tan \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {1 - x} \right)}}{{1/\tan \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {1 - x} \right)}}{{\cot \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right)}} = \frac{0}{{\cot \left( {\frac{\pi }{2}} \right)}} = \frac{0}{0}$

مشاهده می‌کنیم که جواب به فرم مبهم $\frac{0}{0}$ در آمده است پس میتوانیم از دستور هوپیتال استفاده کنیم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {1 - x} \right)}}{{\cot \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right)}}\mathop = \limits^{Hop} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 1}}{{ - \frac{\pi }{2}(1 + {{\cot }^2}\left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right))}} = \frac{{ - 1}}{{ - \frac{\pi }{2}(1 + 0)}} = \frac{2}{\pi }$

تمرین: حاصل حدود زیر را محاسبه کنید.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} xLnx$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cot 2x\sin 6x$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } x\left( {{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} \frac{{x + 1}}{{x + 2}} - \frac{\pi }{4}} \right)$

این آموزش را نیز مطالعه کنید: محاسبه حد چندجمله‌ای ها به کمک هم‌ارزی‌ها

نکته: اکثر حدود به فرم $\infty - \infty$ را میتوان با مخرج مشترک گرفتن به فرم $\frac{0}{0}$ یا $\frac{\infty }{\infty }$ تبدیل کرده و از هوپیتال استفاده کنیم.

مثال: حاصل حد $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{1}{{Lnx}} - \frac{1}{{x - 1}}} \right)$ را بیابید.

حل: مشاهده می‌کنیم که جواب به صورت $\infty - \infty$ است:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{1}{{Lnx}} - \frac{1}{{x - 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{1}{0} - \frac{1}{0}} \right) = \infty - \infty$

ابتدا از دو کسر مخرج مشترک می‌گیریم سپس از هوپیتال کمک می‌گیریم:

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{1}{{Lnx}} - \frac{1}{{x - 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{x - 1 - Lnx}}{{\left( {x - 1} \right)Lnx}}} \right) = \frac{0}{0}\mathop = \limits^{Hop} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{1 - \frac{1}{x}}}{{Lnx + \frac{{x - 1}}{x}}}} \right)\\ = \frac{0}{0}\mathop = \limits^{Hop} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{\frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{1}{x} + \frac{{1\left( x \right) - 1\left( {x - 1} \right)}}{x}}}} \right) = \frac{1}{{1 + \frac{{1 - 0}}{1}}} = \frac{1}{2} \end{array}$

نکته: همانطور که در مثال بالا دیدیم، میتوان ۲ یا حتی چند بار متوالی از هوپیتال استفاده کنیم.

تمرین: حاصل حدود زیر را محاسبه کنید.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\cos x}}{{{{\tan }^2}x}} - \frac{1}{{{{\tan }^2}x}}} \right)$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{\sin x}}} \right)$ (راهنمایی: پس از هوپیتال از هم‌ارزی‌های مثلثاتی استفاده کنید)
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)$ (راهنمایی: مشابه بالا)

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1396-08-23

مشتق و کاربرد آن

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.