نمایش اعداد مختلط در صفحه

نمایش اعداد مختلط در صفحه:

برای نمایش اعداد مختلط در صفحه کافیست محورهای عمود برهم x-y را که قبلاً برای نمایش تابع استفاده میکردیم را رسم کرده و همانطور که از نامگذاری z = x + iy مشخص است، محور افقی یا x برای قسمت حقیقی ( {\mathop{\rm Re}\nolimits} (z) = x) و محور عمودی یا y برای قسمت موهومی ({{\mathop{\rm Im}\nolimits} (z) = y})

نمایش عدد مختلط در صفحه

نمایش اعداد مختلط در صفحه

همانطور که از شکل پیداست، فاصله عدد z = x + iy تا مبدأ برابر است با \left| z \right| = r = \sqrt {{x^2} + {y^2}} که به این مقدار، اندازه (یا مدول یا قدرمطلق) عدد مختلط z = x + iy گویند.

 بطور مثال اندازه چند عدد مختلط به صورت زیر است:

    \[\begin{array}{l} z = 3 + 4i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = \sqrt {9 + 16} = 5\\ z = 2 - 6i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{( - 6)}^2}} = \sqrt {4 + 36} = \sqrt {40} = 2\sqrt {10} \\ z = - 5 + 12i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{( - 5)}^2} + {{12}^2}} = \sqrt {25 + 144} = 13 \end{array}\]

زاویه r با طرف مثبت محور ‌Re را با \theta نمایش داده و آرگومان عدد مختلط می‌نامند:

نمایش عدد مختلط در صفحه

نمایش اعداد مختلط در صفحه

که  \tan \theta  = \frac{y}{x}  پس  \theta  = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{y}{x}) .

نکته مهم: آرگومان عدد مختلط را حتما بر حسب رادیان باید نمایش دهیم.

توجه کنید که در صورتی‌که  x < 0  باشد باید ۱۸۰ درجه یا \pi رادیان به جواب اضافه کنیم:

\theta = \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0 \Rightarrow {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{y}{x})\\ x < 0 \Rightarrow \pi + {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{y}{x}) \end{array} \right.

مثلاً:

    \[\begin{array}{l} z = 1 - i\sqrt 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{( - \sqrt 3 )}^2}} = \sqrt 4 = 2\\ \theta = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{{ - \sqrt 3 }}{1}) = - \frac{\pi }{3} \end{array} \right.\\ z = - 1 - i\sqrt 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - \sqrt 3 )}^2}} = \sqrt 4 = 2\\ \theta = \pi + {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{{ - \sqrt 3 }}{{ - 1}}) = \pi + \frac{\pi }{3} = \frac{{4\pi }}{3} \end{array} \right. \end{array}\]

تمرین: اندازه و آرگومان اعداد مختلط زیر را بیابید

1-  z = 2 - 2i

2- z = \sqrt 3  + 3i

3- z =  - \sqrt 3  - \sqrt 3 i

4- z = - 2 - 2i

5- z =  - 2i

6-  z = 3i

7-   z =  - 4

8-  z = 2

 

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

اعداد و توابع مختلط

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

guest
0 دیدگاه ها
Inline Feedbacks
مشاهده همه دیدگاه ها