تلفن:09123872834ایمیل:info[at]masirefarda.com

وبلاگ ریاضی عمومی ۱ دانشگاه اعداد و توابع مختلط نمایش اعداد مختلط در صفحه (نمایش هندسی عدد مختلط روی محورها)

نمایش اعداد مختلط در صفحه:

برای نمایش اعداد مختلط در صفحه کافیست محورهای عمود برهم x-y را که قبلاً برای نمایش تابع استفاده میکردیم را رسم کرده و همانطور که از نامگذاری $z = x + iy$ مشخص است، محور افقی یا x برای قسمت حقیقی ( ${\mathop{\rm Re}\nolimits} (z) = x$ ) و محور عمودی یا y برای قسمت موهومی ( ${{\mathop{\rm Im}\nolimits} (z) = y}$ )

نمایش اعداد مختلط در صفحه

همانطور که از شکل پیداست، فاصله عدد $z = x + iy$ تا مبدأ برابر است با $\left| z \right| = r = \sqrt {{x^2} + {y^2}}$ که به این مقدار، اندازه (یا مدول یا قدرمطلق) عدد مختلط $z = x + iy$ گویند.

بطور مثال اندازه چند عدد مختلط به صورت زیر است:

$\begin{array}{l} z = 3 + 4i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = \sqrt {9 + 16} = 5\\ z = 2 - 6i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{( - 6)}^2}} = \sqrt {4 + 36} = \sqrt {40} = 2\sqrt {10} \\ z = - 5 + 12i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{( - 5)}^2} + {{12}^2}} = \sqrt {25 + 144} = 13 \end{array}$

زاویه r با طرف مثبت محور ‌Re را با $\theta$ نمایش داده و آرگومان عدد مختلط می‌نامند:

نمایش اعداد مختلط در صفحه

که $\tan \theta = \frac{y}{x}$ پس $\theta = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{y}{x})$ .

نکته مهم: آرگومان عدد مختلط را حتما بر حسب رادیان باید نمایش دهیم.

توجه کنید که در صورتی‌که $x < 0$ باشد باید ۱۸۰ درجه یا $\pi$ رادیان به جواب اضافه کنیم:

$\theta = \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0 \Rightarrow {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{y}{x})\\ x < 0 \Rightarrow \pi + {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{y}{x}) \end{array} \right.$

مثلاً:

$\begin{array}{l} z = 1 - i\sqrt 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{( - \sqrt 3 )}^2}} = \sqrt 4 = 2\\ \theta = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{{ - \sqrt 3 }}{1}) = - \frac{\pi }{3} \end{array} \right.\\ z = - 1 - i\sqrt 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - \sqrt 3 )}^2}} = \sqrt 4 = 2\\ \theta = \pi + {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{{ - \sqrt 3 }}{{ - 1}}) = \pi + \frac{\pi }{3} = \frac{{4\pi }}{3} \end{array} \right. \end{array}$

تمرین: اندازه و آرگومان اعداد مختلط زیر را بیابید

1- $z = 2 - 2i$

2- $z = \sqrt 3 + 3i$

3- $z = - \sqrt 3 - \sqrt 3 i$

4- $z = - 2 - 2i$

5- $z = - 2i$

6- $z = 3i$

7- $z = - 4$

8- $z = 2$

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1396-02-26

اعداد و توابع مختلط

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.