نمایش اعداد مختلط در صفحه

نمایش اعداد مختلط در صفحه:

برای نمایش اعداد مختلط در صفحه کافیست محورهای عمود برهم x-y را که قبلاً برای نمایش تابع استفاده میکردیم را رسم کرده و همانطور که از نامگذاری z = x + iy مشخص است، محور افقی یا x برای قسمت حقیقی ( {\mathop{\rm Re}\nolimits} (z) = x) و محور عمودی یا y برای قسمت موهومی ({{\mathop{\rm Im}\nolimits} (z) = y})

نمایش عدد مختلط در صفحه

نمایش اعداد مختلط در صفحه

همانطور که از شکل پیداست، فاصله عدد z = x + iy تا مبدأ برابر است با \left| z \right| = r = \sqrt {{x^2} + {y^2}} که به این مقدار، اندازه (یا مدول یا قدرمطلق) عدد مختلط z = x + iy گویند.

 بطور مثال اندازه چند عدد مختلط به صورت زیر است:

    \[\begin{array}{l} z = 3 + 4i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = \sqrt {9 + 16} = 5\\ z = 2 - 6i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{( - 6)}^2}} = \sqrt {4 + 36} = \sqrt {40} = 2\sqrt {10} \\ z = - 5 + 12i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{( - 5)}^2} + {{12}^2}} = \sqrt {25 + 144} = 13 \end{array}\]

زاویه r با طرف مثبت محور ‌Re را با \theta نمایش داده و آرگومان عدد مختلط می‌نامند:

نمایش عدد مختلط در صفحه

نمایش اعداد مختلط در صفحه

که  \tan \theta  = \frac{y}{x}  پس  \theta  = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{y}{x}) .

نکته مهم: آرگومان عدد مختلط را حتما بر حسب رادیان باید نمایش دهیم.

توجه کنید که در صورتی‌که  x < 0  باشد باید ۱۸۰ درجه یا \pi رادیان به جواب اضافه کنیم:

\theta = \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0 \Rightarrow {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{y}{x})\\ x < 0 \Rightarrow \pi + {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{y}{x}) \end{array} \right.

مثلاً:

    \[\begin{array}{l} z = 1 - i\sqrt 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{( - \sqrt 3 )}^2}} = \sqrt 4 = 2\\ \theta = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{{ - \sqrt 3 }}{1}) = - \frac{\pi }{3} \end{array} \right.\\ z = - 1 - i\sqrt 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - \sqrt 3 )}^2}} = \sqrt 4 = 2\\ \theta = \pi + {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{{ - \sqrt 3 }}{{ - 1}}) = \pi + \frac{\pi }{3} = \frac{{4\pi }}{3} \end{array} \right. \end{array}\]

تمرین: اندازه و آرگومان اعداد مختلط زیر را بیابید

1-  z = 2 - 2i

2- z = \sqrt 3  + 3i

3- z =  - \sqrt 3  - \sqrt 3 i

4- z = - 2 - 2i

5- z =  - 2i

6-  z = 3i

7-   z =  - 4

8-  z = 2

 

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

اعداد و توابع مختلط

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *