مکان هندسی در اعداد مختلط:

برای یافتن مکان هندسی در اعداد مختلط کافیست با جایگذاری $x + iy$ بجای $z$ و استفاده از مفاهیم گفته شده (مانند $\left| z \right| = r = \sqrt {{x^2} + {y^2}}$ ، $\overline z = x - iy$ ، ${\mathop{\rm Re}\nolimits} (z) = x$ ، ${\mathop{\rm Im}\nolimits} (z) = y$ و … ) و یافتن ارتباطی بین $x$ و $y$ یا یافتن هرکدام از آنها، نقاطی از صفحه مختلط $\left( {{\mathop{\rm Re}\nolimits} - {\mathop{\rm Im}\nolimits} } \right)$ را بیابیم که در رابطه داده شده صدق کنند.

مثال: مکان هندسی در اعداد مختلط مربوط به ${\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{1}{z} + 1) > \frac{1}{4}$ را بیابید.

حل:

$\begin{array}{l} {\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{1}{z} + 1) > \frac{1}{4} \Rightarrow {\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{1}{{x + iy}} + 1) > \frac{1}{4} \Rightarrow {\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{x - iy}}{{{x^2} + {y^2}}} + 1) > \frac{1}{4}\\ \Rightarrow {\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{x - iy + {x^2} + {y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}) > \frac{1}{4} \Rightarrow {\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{{x + {x^2} + {y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} + i\frac{{ - y}}{{{x^2} + {y^2}}}) > \frac{1}{4}\\ \Rightarrow \frac{{ - y}}{{{x^2} + {y^2}}} > \frac{1}{4} \Rightarrow - 4y > {x^2} + {y^2} \Rightarrow 0 > {x^2} + {y^2} + 4y\\ \Rightarrow {x^2} + \underbrace {{y^2} + 4y + 4}_{{{(y + 2)}^2}} - 4 < 0 \Rightarrow {x^2} + {(y + 2)^2} < 4 \end{array}$

داخل دایره‌ای به مرکز $\left( {0, - 2} \right)$ و شعاع $2$

نکته: از دبیرستان قطعاً!! همه شما به یاد دارید که ${(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}$ معادله یک دایره به مرکز $\left( {a,b} \right)$ و شعاع $R$ است و ${(x - a)^2} + {(y - b)^2} < {R^2}$ داخل آن دایره و ${(x - a)^2} + {(y - b)^2} > {R^2}$ خارج آن دایره است.

نکته جدید: عبارت $\left| {z - {z_0}} \right| = R$ معادله یک دایره به مرکز ${z_0}$ و شعاع $R$ است.

اثبات:

$\begin{array}{l} \left| {z - {z_0}} \right| = R \Rightarrow \left| {\left( {x + iy} \right) - \left( {{x_0} + i{y_0}} \right)} \right| = R\\ \Rightarrow \left| {\left( {x - {x_0}} \right) + i\left( {y - {y_0}} \right)} \right| = R\\ \Rightarrow \sqrt {{{\left( {x - {x_0}} \right)}^2} + {{\left( {y - {y_0}} \right)}^2}} = R\\ \Rightarrow {\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} = {R^2} \end{array}$

نکات مهم:

نکته: عبارت $\left| {z - {z_1}} \right| + \left| {z - {z_2}} \right| = R$ معادله یک بیضی به کانونهای ${z_1}$ و ${z_2}$ است که البته شرط $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| < R$ باید برقرار باشد.

نکته: عبارت $\left| {z - {z_1}} \right| - \left| {z - {z_2}} \right| = R$ معادله یک هذلولی به کانونهای ${z_1}$ و ${z_2}$ است که البته شرط $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| > R$ باید برقرار باشد.

نکته: عبارت $\left| {z - {z_1}} \right| = \left| {z - {z_2}} \right|$ معادله عمود منصف پاره‌خطی است که دو نقطه ${z_1}$ و ${z_2}$ را به همدیگر متصل می‌کند.

مثال:‌ مکان هندسی در اعداد مختلط نقاطی از صفحه را با رابطه ${\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\frac{{z - i}}{{z + i}}} \right) = 1$ بیابید.

حل:

$\begin{array}{l} {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\frac{{z - i}}{{z + i}}} \right) = 1 \Rightarrow {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\frac{{x + iy - i}}{{x + iy + i}}} \right) = 1\\ \Rightarrow {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\frac{{x + i(y - 1)}}{{x + i(y + 1)}}} \right) = 1\\ \Rightarrow {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\frac{{x + i(y - 1)}}{{x + i(y + 1)}} \times \frac{{x - i(y + 1)}}{{x - i(y + 1)}}} \right) = 1\\ \Rightarrow {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\frac{{{x^2} - ix(y + 1) + ix(y - 1) - {i^2}(y - 1)\left( {y + 1} \right)}}{{{x^2} + {{(y + 1)}^2}}}} \right) = 1\\ \Rightarrow {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\frac{{({x^2} + ({y^2} - 1)) + i\left[ { - x(y + 1) + x(y - 1)} \right]}}{{{x^2} + {{(y + 1)}^2}}}} \right) = 1\\ \Rightarrow \frac{{{x^2} + ({y^2} - 1)}}{{{x^2} + {{(y + 1)}^2}}} = 1\\ \Rightarrow {x^2} + ({y^2} - 1) = {x^2} + {(y + 1)^2}\\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} - 1 = {x^2} + {y^2} + 2y + 1\\ \Rightarrow 2y = - 2\\ \Rightarrow y = - 1 \end{array}$

پس مکان هندسی در اعداد مختلط رابطه داده شده خط $y = - 1$ است:

تمرین: مکان هندسی‌های زیر را بیابید

${\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{1}{z}) > 1$

${\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\frac{z}{{1 - z}}} \right) \ge - \frac{1}{2}$

${\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\frac{1}{z}} \right) \ge 1$

$\[{\mathop{\rm Im}\nolimits} (\frac{1}{{z - 2i}}) = \frac{1}{4}$

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

لینک دانلود

امین یارمحمدی

1396-04-09

اعداد و توابع مختلط

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.