مقدار میانگین انتگرال

مقدار میانگین انتگرال:

برای یافتن مقدار میانگین انتگرال ابتدا بازه‌ای که مقدار انتگرال در آن قرار می‌گیرد را بررسی می‌کنیم. اگر مینیمم مطلق و ماکزیمم مطلق تابع بر بازه  \left[ {a,b} \right]   به ترتیب  m   و  M   باشند آنگاه انتگرال تابع در آن بازه یعنی   \int_a^b {f(x)dx}   بیشتر از  m\left( {b - a} \right) و کمتر از  M\left( {b - a} \right)  خواهد بود. این موضوع از شکل زیر به راحتی قابل درک است:

مقدار میانگین انتگرال

زیرا مطابق شکل فوق، مساحت مستطیل  aa''b''b   برابر با  m\left( {b - a} \right) و مساحت مستطیل  aa'b'b   برابر با  M\left( {b - a} \right)  هستند که انتگرال تابع بین این دو مقدار قرار دارد زیرا  m  کمترین و  M   بیشترین مقادیر تابع در بازه انتگرال‌گیری هستند.

\begin{array}{l} m\left( {b - a} \right) < \int_a^b {f(x)dx} < M\left( {b - a} \right)\\ \\ \Rightarrow m < \frac{{\int_a^b {f(x)dx} }}{{b - a}} < M \end{array}

\frac{{\int_a^b {f(x)dx} }}{{b - a}}  را مقدار میانگین انتگرال در بازه  \left[ {a,b} \right]  گویند که عددی بین  m   و  M   است. مقدار میانگین انتگرال از آن جهت کاربردی می‌باشد که با ضرب کردن در طول بازه می‌توان جواب انتگرال را یافت:

\frac{{\int_a^b {f(x)dx} }}{{b - a}} \times \left( {b - a} \right) = \int_a^b {f(x)dx}


این آموزش را نیز مطالعه کنید: مشتق انتگرال


در واقع مستطیلی که مساحت آن با جواب انتگرال برابر است. قسمت اضافی بالای خط  y = \frac{{\int_a^b {f(x)dx} }}{{b - a}}   با قسمت نقصانی پایین آن برابر است. در شکل زیر مساحت دو قسمت A (ناحیه سبز) و B (ناحیه آبی) با هم برابر است:

مقدار میانگین انتگرال

پس مساحت مستطیل abcd با مساحت زیر نمودار (جواب انتگرال  \int_a^b {f(x)dx} ) برابر است.

مثال: مقدار میانگین انتگرال برای تابع  f\left( x \right) = x{e^x}  در بازه  \left[ {0,1} \right]  را بیابید.

حل:

    \[\frac{{\int_0^1 {x{e^x}dx} }}{{1 - 0}} = x{e^x} - {e^x}\mathop |\nolimits_0^1 = \left( {e - e} \right) - \left( {0 - 1} \right) = 1\]

تمرین: مقدار میانگین انتگرال برای تابع  f\left( x \right) = \sin x  در بازه  \left[ {0,\pi } \right]  را بیابید.


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

انتگرال و کاربرد آن

انتگرال معینکاربرد انتگرالکاربرد انتگرال معینمقدار میانگینمقدار میانگین انتگرالمقدار میانگین تابع

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

guest
3 دیدگاه ها
قدیمی ترین
جدیدترین بیشترین آرا
Inline Feedbacks
مشاهده همه دیدگاه ها