تلفن:09123872834ایمیل:info[at]masirefarda.com

وبلاگ ریاضی عمومی ۱ دانشگاه انتگرال و کاربرد آن مقدار میانگین انتگرال (محاسبه مقدار میانگین در انتگرال معین)

مقدار میانگین انتگرال:

برای یافتن مقدار میانگین انتگرال ابتدا بازه‌ای که مقدار انتگرال در آن قرار می‌گیرد را بررسی می‌کنیم. اگر مینیمم مطلق و ماکزیمم مطلق تابع بر بازه $\left[ {a,b} \right]$ به ترتیب $m$ و $M$ باشند آنگاه انتگرال تابع در آن بازه یعنی $\int_a^b {f(x)dx}$ بیشتر از $m\left( {b - a} \right)$ و کمتر از $M\left( {b - a} \right)$ خواهد بود. این موضوع از شکل زیر به راحتی قابل درک است:

زیرا مطابق شکل فوق، مساحت مستطیل $aa''b''b$ برابر با $m\left( {b - a} \right)$ و مساحت مستطیل $aa'b'b$ برابر با $M\left( {b - a} \right)$ هستند که انتگرال تابع بین این دو مقدار قرار دارد زیرا $m$ کمترین و $M$ بیشترین مقادیر تابع در بازه انتگرال‌گیری هستند.

$\begin{array}{l} m\left( {b - a} \right) < \int_a^b {f(x)dx} < M\left( {b - a} \right)\\ \\ \Rightarrow m < \frac{{\int_a^b {f(x)dx} }}{{b - a}} < M \end{array}$

$\frac{{\int_a^b {f(x)dx} }}{{b - a}}$ را مقدار میانگین انتگرال در بازه $\left[ {a,b} \right]$ گویند که عددی بین $m$ و $M$ است. مقدار میانگین انتگرال از آن جهت کاربردی می‌باشد که با ضرب کردن در طول بازه می‌توان جواب انتگرال را یافت:

$\frac{{\int_a^b {f(x)dx} }}{{b - a}} \times \left( {b - a} \right) = \int_a^b {f(x)dx}$

این آموزش را نیز مطالعه کنید: مشتق انتگرال

در واقع مستطیلی که مساحت آن با جواب انتگرال برابر است. قسمت اضافی بالای خط $y = \frac{{\int_a^b {f(x)dx} }}{{b - a}}$ با قسمت نقصانی پایین آن برابر است. در شکل زیر مساحت دو قسمت A (ناحیه سبز) و B (ناحیه آبی) با هم برابر است:

پس مساحت مستطیل abcd با مساحت زیر نمودار (جواب انتگرال $\int_a^b {f(x)dx}$ ) برابر است.

مثال: مقدار میانگین انتگرال برای تابع $f\left( x \right) = x{e^x}$ در بازه $\left[ {0,1} \right]$ را بیابید.

حل:

$\frac{{\int_0^1 {x{e^x}dx} }}{{1 - 0}} = x{e^x} - {e^x}\mathop |\nolimits_0^1 = \left( {e - e} \right) - \left( {0 - 1} \right) = 1$

تمرین: مقدار میانگین انتگرال برای تابع $f\left( x \right) = \sin x$ در بازه $\left[ {0,\pi } \right]$ را بیابید.

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1397-01-07

انتگرال و کاربرد آن

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.