تلفن:09123872834ایمیل:info[at]masirefarda.com

وبلاگ ریاضی عمومی ۱ دانشگاه انتگرال و کاربرد آن مفهوم انتگرال (یافتن مساحت زیر نمودار به کمک ضدمشتق)

مفهوم انتگرال:

اگر بخواهیم مساحت زیر نمودار تابعی در یک بازه مانند $\left[ {a,b} \right]$ را بیابیم باید از مفهوم انتگرال کمک بگیریم.

اگر شکل مورد نظر مستطیلی بود به راحتی با ضرب کردن طول در عرض می‌توانستیم مساحت ناحیه مورد نظر را به‌ دست آوریم. ولی برای نمودار‌های دلخواه باید به کمک مفهوم انتگرال ابتدا یک فاصله بسیار کوتاه در راستای محور $x$ ها به طول $dx$ در نظر می‌گیریم. اگر فاصله مورد نظر به اندازه کافی کوچک باشد (طول بازه به صفر میل کند) می‌توان ارتفاع دو سمت آن را یکسان فرض کرده و مساحت آن را با ضرب کردن طول در عرض یافت. شکل زیر این موضوع را به خوبی نمایش می‌دهد:

اگر مساحت تمام مستطیل‌هایی که به این صورت در بازه $\left[ {a,b} \right]$ ایجاد می‌شوند را با هم جمع کنیم، مساحت زیر نمودار به دست می‌آید:

$S = \sum {f\left( x \right)dx}$

عبارت زیگما ( $\sum {}$ ) معمولا برای مجموع عبارات در حالت گسسته به کار می‌رود. در حالیکه انتگرال، مجموع بی‌شمار مساحت کوچک ( $ds$ ) با عرض بسیار کوچک است. پس برای نمایش مجموع $ds$ ها از $S$ کشیده شده (مخفف Summation) به شکل $\int {}$ استفاده می‌کنیم:

$S = \int_{x = a}^{x = b} {f\left( x \right)dx}$

این عبارت بیانگر این است که مساحت زیر نمودار تابع $f\left( x \right)$ در بازه $\left[ {a,b} \right]$ (یعنی $S$ ) برابر است با انتگرال تابع از $x = a$ تا $x = b$ . که برای محاسبه مقدار آن باید ابتدا از تابع $f\left( x \right)$ انتگرال بگیریم. انتگرال تابع $f\left( x \right)$ ، تابعی است مانند $F\left( x \right)$ که: $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$

این آموزش را نیز مطالعه کنید: بهینه‌سازی (یافتن حداقل یا حداکثر توابع با دو متغیر و یک شرط)

به طور مثال:

$\left. \begin{array}{l} {\left( {{x^2} + 1} \right)^\prime } = 2x\\ {\left( {{x^2} - 3} \right)^\prime } = 2x\\ {\left( {{x^2} + 100} \right)^\prime } = 2x \end{array} \right\} \Rightarrow {\left( {{x^2} + c} \right)^\prime } = 2x \Rightarrow \int {2xdx = } {x^2} + c$

یعنی بعد از عبارت انتگرال‌گیری شده باید عدد ثابت دلخواه $c$ را اضافه کنیم. زیرا مشتق آن صفر است و جواب انتگرال می‌تواند با آن عدد ثابت جمع شود.

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1396-11-17

انتگرال و کاربرد آن

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.