مشتق چپ و راست (مشتق یک‌طرفه و شرط لازم برای مشتق‌پذیری)

تلفن:09123872834ایمیل:info[at]masirefarda.com

وبلاگ ریاضی عمومی ۱ دانشگاه مشتق و کاربرد آن مشتق چپ و راست (مشتق یک‌طرفه و شرط لازم برای مشتق‌پذیری)

مشتق چپ و راست

همانطور که حد چپ و راست داشتیم، مشتق چپ و راست هم داریم. اگر $x$ ‌ فقط از سمت راست به ${x_0}$ نزدیک شود مشتق راست به دست می‌آید و به صورت زیر تعریف و محاسبه می‌شود:

${f'_ + }\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$

و اگر $x$ ‌ فقط از سمت چپ به ${x_0}$ نزدیک شود مشتق چپ به دست می‌آید:

${f'_ - }\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$

برای اینکه تابعی در یک نقطه مشتق داشته باشد باید مشتق چپ و راست آن موجود و با یکدیگر برابر باشند.

مثال: مشتق تابع زیر را در نقطه $x = 2$ بیابید.

$f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 5x + 1{\rm{ }} \qquad \qquad x \ge 2\\ {x^2} + 4x - 1{\rm{ }} \qquad x < 2 \end{array} \right.$

حل: شرط لازم برای مشتق‌پذیری، پیوستگی است. حد چپ و راست و مقدار تابع در $x = 2$ برابر با $11$ است پس تابع در این نقطه پیوسته است. تابع $f\left( x \right)$ دو ضابطه‌ای می‌باشد پس باید مشتق چپ و راست را جداگانه حساب کنیم:

$\begin{array}{l} {{f'}_ + }\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{5x + 1 - 11}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{5x - 10}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{5(x - 2)}}{{x - 2}} = 5\\ \\ {{f'}_ - }\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} + 4x - 1 - 11}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} + 4x - 12}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 6} \right)}}{{x - 2}} = 8 \end{array}$

مشتق راست و چپ با یکدیگر برابر نیست پس تابع در $x = 2$ مشتق ندارد.

تمرین: مشتق تابع زیر را در نقطه $x = 1$ بیابید.

$f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2}{\rm{ - 3x + 1 }} \qquad\qquad x \ge 1\\ - 2{x^2} - x + 2{\rm{ }} \qquad x < 1 \end{array} \right.$

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1396-07-04

مشتق و کاربرد آن

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.