مشتق چپ و راست

مشتق چپ و راست

همانطور که حد چپ و راست داشتیم، مشتق چپ و راست هم داریم. اگر  x ‌ فقط از سمت راست به  {x_0}   نزدیک شود مشتق راست به دست می‌آید و به صورت زیر تعریف و محاسبه می‌شود:

{f'_ + }\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}

و اگر  x ‌ فقط از سمت چپ به   {x_0}   نزدیک شود مشتق چپ به دست می‌آید:

{f'_ - }\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}

برای اینکه تابعی در یک نقطه مشتق داشته باشد باید مشتق چپ و راست آن موجود و با یکدیگر برابر باشند.

مثال: مشتق تابع زیر را در نقطه   x = 2   بیابید.

f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 5x + 1{\rm{ }} \qquad \qquad x \ge 2\\ {x^2} + 4x - 1{\rm{ }} \qquad x < 2 \end{array} \right.

حل: شرط لازم برای مشتق‌پذیری، پیوستگی است. حد چپ و راست و مقدار تابع در  x = 2  برابر با  11    است پس تابع در این نقطه پیوسته است. تابع   f\left( x \right)   دو ضابطه‌ای می‌باشد پس باید مشتق چپ و راست را جداگانه حساب کنیم:

\begin{array}{l} {{f'}_ + }\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{5x + 1 - 11}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{5x - 10}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{5(x - 2)}}{{x - 2}} = 5\\ \\ {{f'}_ - }\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} + 4x - 1 - 11}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} + 4x - 12}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 6} \right)}}{{x - 2}} = 8 \end{array}

مشتق راست و چپ با یکدیگر برابر نیست پس تابع در   x = 2  مشتق ندارد.

تمرین: مشتق تابع زیر را در نقطه   x = 1   بیابید. 

f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2}{\rm{ - 3x + 1 }} \qquad\qquad x \ge 1\\ - 2{x^2} - x + 2{\rm{ }} \qquad x < 1 \end{array} \right.

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

 

مشتق و کاربرد آن

مشتقمشتق چپ و راست

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *