مشتق پارامتری

مشتق پارامتری:

اگر  y   و   x  هر دو تابعی از یک پارامتر دیگر مانند   t   باشند،.برای محاسبه مشتق  y   برحسب  x  باید از مشتق پارامتری به فرم زیر کمک گرفت:

y' = \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{\frac{{dy}}{{dt}}}}{{\frac{{dx}}{{dt}}}}

در واقع صورت و مخرج را بر   dt   تقسیم میکنیم تا رابطه مشتق را به کمک پارامتر سوم بدست آوریم. مشتق پارامتری اکثراً در مسائلی استفاده می‌شود که سرعت یک پارامتر مجهول یا معلوم باشد.زیرا مشتق نسبت به زمان همان سرعت است. به عنوان مثال مشتق جابجایی یک جسم بر حسب زمان،.سرعت خطی و مشتق زاویه یک جسم.با محوری ثابت، سرعت زاویه‌ای جسم را نتیجه می‌دهد.که.در مورد این موضوع در مبحث «نسبت‌های وابسته».به طور مفصل توضیح خواهیم داد.

البته مشتق پارامتری لزوماً بر حسب زمان نیست.و پارامترهای موجود می‌توانند.بر حسب پارامتری دیگر که زمان نیست نیز به صورت پارامتری مشتق‌گیری شوند.

مثال: اگر  y = 3{t^2} + t - 4   و   x = 2\sin 5t - 5Ln\left( {{t^2} + 1} \right)   ‌ باشد، مشتق  y   برحسب  x   را بیابید.

حل: در این مثال با وجود اینکه y  و  x  بر حسب  t  هستند ولی مشتق  y  بر حسب  x  خواسته شده است. پس طبق قاعده مشتق‌گیری از توابع پارامتری داریم:

y' = \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{\frac{{dy}}{{dt}}}}{{\frac{{dx}}{{dt}}}} = \frac{{6t + 1}}{{10\cos 5t - 5 \times \frac{{2t}}{{{t^2} + 1}}}}

 

مثال: اگر   z = 4\cos x - {e^{ - 2x}}   و   y = - 4{x^3} + \frac{3}{x}   ‌ باشد، مشتق  z   برحسب  y  را بیابید.

حل: مشابه حل مثال بالا عمل می‌کنیم.ولی در این مثال باید صورت و مخرج را بر  dx  تقسیم می‌کنیم.تا به جواب برسیم:

\frac{{dz}}{{dy}} = \frac{{\frac{{dz}}{{dx}}}}{{\frac{{dy}}{{dx}}}} = \frac{{ - 4\sin x + 2{e^{ - 2x}}}}{{ - 12{x^{12}} - \frac{3}{{{x^2}}}}}

تمرین: اگر  y = 7{\mathop{\rm Arccos}\nolimits} \left( {2t - 3} \right)   و   x = {t^3} - \frac{1}{{{t^2} - 3t}}  ‌ باشد، مشتق  y   برحسب  x  را بیابید.


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

مشتق و کاربرد آن

مشتق پارامتری، مشتق

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

guest
5 دیدگاه ها
قدیمی ترین
جدیدترین بیشترین آرا
Inline Feedbacks
مشاهده همه دیدگاه ها