مشتق مراتب بالاتر

مشتق مراتب بالاتر:

برای یافتن مشتق مراتب بالاتر ابتدا باید مشتق مرتبه دوم را بیابیم. اگر از رابطه مشتق اول یک تابع یعنی   f'\left( x \right)  یک بار دیگر مشتق بگیریم، مشتق دوم بدست می‌آید که با   f''\left( x \right)  نمایش می‌دهند. بطور مثال:

f\left( x \right) = 3{x^4} + 6{x^3} - 9x + 2 \to f'\left( x \right) = 12{x^3} + 18{x^2} - 9

به همین ترتیب میتوان مشتق مراتب بالاتر (  f'''\left( x \right)  ،  {f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)   و …) را نیز محاسبه کرد. برای جلوگیری از تکرار زیاد علامت پریم در توان، مشتقات بالاتر از سوم را با   {f^{\left( n \right)}}\left( x \right)   که   n  مرتبه مشتق است نمایش می‌دهند.

 

مثال:

    \[\begin{array}{l} f\left( x \right) = \sin 2x \Rightarrow \\ f'\left( x \right) = 2\cos 2x \Rightarrow \\ f''\left( x \right) = - 4\sin 2x \Rightarrow \\ f'''\left( x \right) = - 8\cos 2x \Rightarrow \\ {f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = 16\sin 2x \Rightarrow \\ {f^{\left( 5 \right)}}\left( x \right) = 32\cos 2x \end{array}\]

 

نکته: مشتق مراتب بالاتر برخی توابع، مشابه تابع اصلی است که با چند بار مشتق‌گیری می‌توان یک رابطه برای یافتن مشتق مرتبه  nام با تابع اولیه یافت. راه اساسی و اصولی برای یافتن این رابطه، ۴ یا ۵ بار مشتق گرفتن و مقایسه جوابها با یکدیگر است. به طور مثال مشتق مرتبه  nام تابع  {e^x}  همان  {e^x}  و مشتق مرتبه  nام تابع   {e^{^{4x}}}   تابع   {4^n}{e^{^{4x}}}  است. به همین ترتیب مشتق تابع  \sin x  تابع   \sin \left( {x + \frac{{n\pi }}{2}} \right)   و  مشتق تابع  \cos x  تابع   \cos \left( {x + \frac{{n\pi }}{2}} \right)  است. مشخصاً این نوع روابط بیشتر برای توابع نمایی و مثلثاتی و برخی توابع کسری قابل استخراج است. مثلاً مشتق مرتبه   nام  تابع   \frac{1}{{1 - x}}  برابر است با   \frac{{n!}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^{n + 1}}}}‌  است.

 

تمرین: مشتق مرتبه چهارم توابع زیر را بیابید.

  1. f\left( x \right) = 3{x^5} + {x^4} - 5{x^3} + 2{x^2} + 9x - 13
  2. f\left( x \right) = 7\cos 2x - 3Ln4x
  3. f\left( x \right) = 5{e^{2x}} - 5{x^4}

 

 

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

مشتق و کاربرد آن

مشتقمشتق تابعمشتق مراتب بالاتر

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *