مشتق مراتب بالاتر (مشتق مرتبه دوم، سوم و ... و ارتباط آنها با مشتق اول)

تلفن:09123872834ایمیل:info[at]masirefarda.com

وبلاگ ریاضی عمومی ۱ دانشگاه مشتق و کاربرد آن مشتق مراتب بالاتر (مشتق مرتبه دوم، سوم و ... و ارتباط آنها با مشتق اول)

مشتق مراتب بالاتر:

برای یافتن مشتق مراتب بالاتر ابتدا باید مشتق مرتبه دوم را بیابیم. اگر از رابطه مشتق اول یک تابع یعنی $f'\left( x \right)$ یک بار دیگر مشتق بگیریم، مشتق دوم بدست می‌آید که با $f''\left( x \right)$ نمایش می‌دهند. بطور مثال:

$f\left( x \right) = 3{x^4} + 6{x^3} - 9x + 2 \to f'\left( x \right) = 12{x^3} + 18{x^2} - 9$

به همین ترتیب میتوان مشتق مراتب بالاتر ( $f'''\left( x \right)$ ، ${f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)$ و …) را نیز محاسبه کرد. برای جلوگیری از تکرار زیاد علامت پریم در توان، مشتقات بالاتر از سوم را با ${f^{\left( n \right)}}\left( x \right)$ که $n$ مرتبه مشتق است نمایش می‌دهند.

مثال:

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = \sin 2x \Rightarrow \\ f'\left( x \right) = 2\cos 2x \Rightarrow \\ f''\left( x \right) = - 4\sin 2x \Rightarrow \\ f'''\left( x \right) = - 8\cos 2x \Rightarrow \\ {f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = 16\sin 2x \Rightarrow \\ {f^{\left( 5 \right)}}\left( x \right) = 32\cos 2x \end{array}$

نکته: مشتق مراتب بالاتر برخی توابع، مشابه تابع اصلی است که با چند بار مشتق‌گیری می‌توان یک رابطه برای یافتن مشتق مرتبه $n$ ام با تابع اولیه یافت. راه اساسی و اصولی برای یافتن این رابطه، ۴ یا ۵ بار مشتق گرفتن و مقایسه جوابها با یکدیگر است. به طور مثال مشتق مرتبه $n$ ام تابع ${e^x}$ همان ${e^x}$ و مشتق مرتبه $n$ ام تابع ${e^{^{4x}}}$ تابع ${4^n}{e^{^{4x}}}$ است. به همین ترتیب مشتق تابع $\sin x$ تابع $\sin \left( {x + \frac{{n\pi }}{2}} \right)$ و مشتق تابع $\cos x$ تابع $\cos \left( {x + \frac{{n\pi }}{2}} \right)$ است. مشخصاً این نوع روابط بیشتر برای توابع نمایی و مثلثاتی و برخی توابع کسری قابل استخراج است. مثلاً مشتق مرتبه $n$ ام تابع $\frac{1}{{1 - x}}$ برابر است با $\frac{{n!}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^{n + 1}}}}$ ‌ است.

تمرین: مشتق مرتبه چهارم توابع زیر را بیابید.

$f\left( x \right) = 3{x^5} + {x^4} - 5{x^3} + 2{x^2} + 9x - 13$
$f\left( x \right) = 7\cos 2x - 3Ln4x$
$f\left( x \right) = 5{e^{2x}} - 5{x^4}$

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1396-07-18

مشتق و کاربرد آن

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.