مشتق ضمنی

مشتق ضمنی:

اگر  y   به صورت صریح بر حسب  x   (مانند  y = f\left( x \right)  ) داده نشده باشد.و یک فرمول کلی شامل  x  و  y  مانند  F\left( {x,y} \right) = 0  داده شده باشد (مانند:  2x{y^2} + {y^3} + 3y\sin x - 9{e^{2x}} = 0  ).برای محاسبه مشتق  y  بر حسب  x   باید از قاعده مشتق ضمنی استفاده کنیم.

مشتقگیری ضمنی را می‌توان به دو روش زیر انجام داد که تفاوتی در جواب ندارند.ولی در اغلب موارد روش اول راحتتر است:


روش اول: ‌در این روش ابتدا تمام عبارات را به سمت چپ منتقل می کنیم.تا به فرم  F\left( {x,y} \right) = 0  برسیم. سپس از قاعده   y' = - \frac{{{{F'}_x}}}{{{{F'}_y}}}   مشتق  y  بر حسب  x  را می‌یابیم. در این رابطه  {F'_x}  یعنی مشتق  F\left( {x,y} \right)  بر حسب  x   وقتی  y  ثابت فرض شود.(مانند یک عدد) و  {F'_y}  یعنی مشتق  F\left( {x,y} \right)  بر حسب  y  وقتی  x  ثابت فرض شود.

مثال: اگر داشته باشیم  {x^4}{y^3} + 4y = 5{y^2}{x^3} + 3xy - 7  ، مشتق  y  بر حسب  x   را به کمک مشتق ضمنی بیابید.

حل: ابتدا تمام عبارات را به سمت چپ منتقل می‌کنیم،.سپس از رابطه مشتقگیری ضمنی استفاده می‌کنیم:

\begin{array}{l} {x^4}{y^3} + 4y = 5{y^2}{x^3} + 3xy - 7\\ \\ \Rightarrow {x^4}{y^3} + 4y - 5{y^2}{x^3} - 3xy + 7 = 0\\ \\ \\ y' = - \frac{{{{F'}_x}}}{{{{F'}_y}}} = - \frac{{4{x^3}{y^3} - 15{y^2}{x^2} - 3y}}{{3{x^4}{y^2} + 4 - 10y{x^3} - 3x}} \end{array}

تمرین: اگر داشته باشیم  {x^2}\cos y + \frac{{2x - y}}{{{y^2} + 2x}} = x{y^2} - 4x + 5  ، مشتق  y  بر حسب  x   را از رابطه مشتق ضمنی بیابید.


روش دوم: در این روش نیازی نیست در ابتدا تمام عبارات به یک سمت منتقل شوند.و میتوان از عبارت داده شده به همان شکل مشتق گرفت. کافی است  y  را تابعی بر حسب  x   در نظر گرفته.(مشابه  u  در فرمول‌های مشتق‌گیری) و از کل عبارت مشتق بگیریم و برای مشتق  y  از  y'  استفاده می‌کنیم. در نهایت عبارات شامل  y'  را به سمت چپ تساوی و عبارات دیگر را به سمت راست منتقل کرده.و با فاکتور گرفتن از  y'  و انتقال ضرایب به سمت چپ، رابطه مشتق را بر حسب  x  و  y  را می‌یابیم.

مثال: اگر داشته باشیم  2{x^2}{y^5} - 2xy = {y^2}{x^3} + \sin y  ، مشتق  y  بر حسب  x  .را به کمک مشتق ضمنی بیابید.

حل:

    \[\begin{array}{l} 2{x^2}{y^5} - 2xy = {y^2}{x^3} + \sin y\\ \\ \Rightarrow 4x{y^5} + 10{x^2}y'{y^4} - 2y - 2xy' = 2y'y{x^3} + 3{y^2}{x^2} + y'\cos y\\ \\ \Rightarrow 10{x^2}y'{y^4} - 2xy' - y'\cos y - 2y'y{x^3} = 3{y^2}{x^2} - 4x{y^5} + 2y\\ \\ \Rightarrow y'\left( {10{x^2}{y^4} - 2x - \cos y - 2y{x^3}} \right) = 3{y^2}{x^2} - 4x{y^5} + 2y\\ \\ \Rightarrow y' = \frac{{3{y^2}{x^2} - 4x{y^5} + 2y}}{{10{x^2}{y^4} - 2x - \cos y - 2y{x^3}}} \end{array}\]

تمرین: اگر داشته باشیم  {e^{2x + 3y}} = {x^2} - Ln\left( {x{y^3}} \right) .، مشتق  y  بر حسب  x   را بیابید.


جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری این مبحث، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

مشتق و کاربرد آن

مشتقمشتق ضمنی

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

guest
8 دیدگاه ها
قدیمی ترین
جدیدترین بیشترین آرا
Inline Feedbacks
مشاهده همه دیدگاه ها