مشتق زنجیره‌ای

مشتق زنجیره‌ای:

هر گاه   y  تابعی از  x  (مانند:  y = f\left( x \right) ) و  x .تابعی از پارامتری دیگر مانند   t  (مانند:  x = g\left( t \right)  )  باشد،.برای محاسبه مشتق  y   برحسب   t   باید از مشتق زنجیره‌ای..به فرم زیر کمک گرفت:

\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{dy}}{{dx}} \times \frac{{dx}}{{dt}}

 

یعنی به جای مشتق گرفتن از  y  نسبت به  t   کافیست. از   y  نسبت به  x   مشتق گرفته و سپس از  x   نسبت به  t  مشتق بگیریم. و این دو عبارت را در هم ضرب کنیم زیرا   dx  در صورت و مخرج می‌تواند ساده شود. و فقط  \frac{{dy}}{{dt}}  باقی می‌ماند.


مثال: اگر   y = {x^2} + Lnx   و   x = 2\sin 4t   باشد. مشتق  y  برحسب  t  را بیابید.

حل: در این مثال مشتق  y  برحسب  t  خواسته شده است. ولی ما  y  را بر حسب  x   و  x   را بر حسب  t  داریم، .پس به کمک رابطه مشتق زنجیره ای می‌توانیم بنویسیم:

\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{dy}}{{dx}} \times \frac{{dx}}{{dt}} = \left( {2x + \frac{1}{x}} \right) \times \left( {8\cos 4t} \right)

در نهایت معادل  x  را بر حسب  t  جایگذاری می‌کنیم. زیرا در صورت سوال، مشتق  y  برحسب  t  را خواسته. پس باید جواب نهایی کلاً بر حسب  t  باشد:

\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{dy}}{{dx}} \times \frac{{dx}}{{dt}} = \left( {2x + \frac{1}{x}} \right) \times \left( {8\cos 4t} \right) = \left( {4\sin 4t + \frac{1}{{2\sin 4t}}} \right) \times \left( {8\cos 4t} \right)


تمرین: اگر  y = \frac{{2x - 3}}{{3x + 7}}   و   x = 3{e^{5t}} + 2Lnt   باشد. مشتق  y  برحسب  t  را بیابید.

 

 

نکته: برای ۳ یا چند تابع متوالی نیز می‌توان رابطه مشتق زنجیره‌ای را بسط داد. یعنی به طور مثال اگر  y  برحسب  t   و  t  برحسب  u  و  u  .برحسب  x باشد، برای محاسبه مشتق  y  برحسب  x .کافیست تمام مشتق‌ها را محاسبه و در یکدیگر ضرب کنیم تا به جواب برسیم. زیرا دیفرانسیل‌های صورت با دیفرانسیل‌های مخرج ساده شده و در نهایت مشتق مورد نظر به دست می‌آید.


مثال: اگر   y = 5{t^2} - 3t   و  t = 3{e^{2u}} - {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} u  و   u = \frac{1}{{4{x^2} - 1}}  ‌ باشد، مشتق  y  برحسب  x  را بیابید.

حل: مطابق نکته بالا کافیست تمام مشتق‌ها را در همدیگر ضرب کنیم.تا مشتق  y  برحسب  x به دست آید (به ساده شدن دیفرانسیل‌ها در صورت و مخرج دقت کنید):

\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}} \times \frac{{dt}}{{du}} \times \frac{{du}}{{dx}} = \left( {10t - 3} \right) \times \left( {6{e^{2u}} - \frac{1}{{{u^2} + 1}}} \right) \times \left( { - \frac{{8x}}{{{{\left( {4{x^2} - 1} \right)}^2}}}} \right)


تمرین: اگر   y = 3{\mathop{\rm Arccos}\nolimits} \left( {Lnx} \right) + 2{e^{5x}}   و   t = 4{u^3} + 2u  و   u = {\mathop{\rm Arcsinh}\nolimits} 3x + \frac{{7{x^3} + 3{x^2} - 4}}{{6x + 1}}  ‌ باشد، مشتق  y  برحسب  x  را بیابید.


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

مشتق و کاربرد آن

مشتقمشتق زنجیره‌ای

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *