مشتق زنجیره‌ای

مشتق زنجیره‌ای:

هر گاه   y  تابعی از  x  (مانند:  y = f\left( x \right) ) و  x .تابعی از پارامتری دیگر مانند   t  (مانند:  x = g\left( t \right)  )  باشد،.برای محاسبه مشتق  y   برحسب   t   باید از مشتق زنجیره‌ای..به فرم زیر کمک گرفت:

\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{dy}}{{dx}} \times \frac{{dx}}{{dt}}

 

یعنی به جای مشتق گرفتن از  y  نسبت به  t   کافیست. از   y  نسبت به  x   مشتق گرفته و سپس از  x   نسبت به  t  مشتق بگیریم. و این دو عبارت را در هم ضرب کنیم زیرا   dx  در صورت و مخرج می‌تواند ساده شود. و فقط  \frac{{dy}}{{dt}}  باقی می‌ماند.


مثال: اگر   y = {x^2} + Lnx   و   x = 2\sin 4t   باشد. مشتق  y  برحسب  t  را بیابید.

حل: در این مثال مشتق  y  برحسب  t  خواسته شده است. ولی ما  y  را بر حسب  x   و  x   را بر حسب  t  داریم، .پس به کمک رابطه مشتق زنجیره ای می‌توانیم بنویسیم:

\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{dy}}{{dx}} \times \frac{{dx}}{{dt}} = \left( {2x + \frac{1}{x}} \right) \times \left( {8\cos 4t} \right)

در نهایت معادل  x  را بر حسب  t  جایگذاری می‌کنیم. زیرا در صورت سوال، مشتق  y  برحسب  t  را خواسته. پس باید جواب نهایی کلاً بر حسب  t  باشد:

\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{dy}}{{dx}} \times \frac{{dx}}{{dt}} = \left( {2x + \frac{1}{x}} \right) \times \left( {8\cos 4t} \right) = \left( {4\sin 4t + \frac{1}{{2\sin 4t}}} \right) \times \left( {8\cos 4t} \right)


تمرین: اگر  y = \frac{{2x - 3}}{{3x + 7}}   و   x = 3{e^{5t}} + 2Lnt   باشد. مشتق  y  برحسب  t  را بیابید.

 

 

نکته: برای ۳ یا چند تابع متوالی نیز می‌توان رابطه مشتق زنجیره‌ای را بسط داد. یعنی به طور مثال اگر  y  برحسب  t   و  t  برحسب  u  و  u  .برحسب  x باشد، برای محاسبه مشتق  y  برحسب  x .کافیست تمام مشتق‌ها را محاسبه و در یکدیگر ضرب کنیم تا به جواب برسیم. زیرا دیفرانسیل‌های صورت با دیفرانسیل‌های مخرج ساده شده و در نهایت مشتق مورد نظر به دست می‌آید.


مثال: اگر   y = 5{t^2} - 3t   و  t = 3{e^{2u}} - {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} u  و   u = \frac{1}{{4{x^2} - 1}}  ‌ باشد، مشتق  y  برحسب  x  را بیابید.

حل: مطابق نکته بالا کافیست تمام مشتق‌ها را در همدیگر ضرب کنیم.تا مشتق  y  برحسب  x به دست آید (به ساده شدن دیفرانسیل‌ها در صورت و مخرج دقت کنید):

\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}} \times \frac{{dt}}{{du}} \times \frac{{du}}{{dx}} = \left( {10t - 3} \right) \times \left( {6{e^{2u}} - \frac{1}{{{u^2} + 1}}} \right) \times \left( { - \frac{{8x}}{{{{\left( {4{x^2} - 1} \right)}^2}}}} \right)


تمرین: اگر   y = 3{\mathop{\rm Arccos}\nolimits} \left( {Lnx} \right) + 2{e^{5x}}   و   t = 4{u^3} + 2u  و   u = {\mathop{\rm Arcsinh}\nolimits} 3x + \frac{{7{x^3} + 3{x^2} - 4}}{{6x + 1}}  ‌ باشد، مشتق  y  برحسب  x  را بیابید.


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

مشتق و کاربرد آن

مشتقمشتق زنجیره‌ای

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

guest
1 دیدگاه
قدیمی ترین
جدیدترین بیشترین آرا
Inline Feedbacks
مشاهده همه دیدگاه ها