مشتق زنجیره‌ای (یافتن مشتق یک پارامتر بر حسب پارامتری که مستقیماً بر حسب آن نوشته نشده است)

تلفن:09123872834ایمیل:info[at]masirefarda.com

وبلاگ ریاضی عمومی ۱ دانشگاه مشتق و کاربرد آن مشتق زنجیره‌ای (یافتن مشتق یک پارامتر بر حسب پارامتری که مستقیماً بر حسب آن نوشته نشده است)

مشتق زنجیره‌ای:

هر گاه $y$ تابعی از $x$ (مانند: $y = f\left( x \right)$ ) و $x$ .تابعی از پارامتری دیگر مانند $t$ (مانند: $x = g\left( t \right)$ ) باشد،.برای محاسبه مشتق $y$ برحسب $t$ باید از مشتق زنجیره‌ای..به فرم زیر کمک گرفت:

$\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{dy}}{{dx}} \times \frac{{dx}}{{dt}}$

یعنی به جای مشتق گرفتن از $y$ نسبت به $t$ کافیست. از $y$ نسبت به $x$ مشتق گرفته و سپس از $x$ نسبت به $t$ مشتق بگیریم. و این دو عبارت را در هم ضرب کنیم زیرا $dx$ در صورت و مخرج می‌تواند ساده شود. و فقط $\frac{{dy}}{{dt}}$ باقی می‌ماند.

مثال: اگر $y = {x^2} + Lnx$ و $x = 2\sin 4t$ باشد. مشتق $y$ برحسب $t$ را بیابید.

حل: در این مثال مشتق $y$ برحسب $t$ خواسته شده است. ولی ما $y$ را بر حسب $x$ و $x$ را بر حسب $t$ داریم، .پس به کمک رابطه مشتق زنجیره ای می‌توانیم بنویسیم:

$\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{dy}}{{dx}} \times \frac{{dx}}{{dt}} = \left( {2x + \frac{1}{x}} \right) \times \left( {8\cos 4t} \right)$

در نهایت معادل $x$ را بر حسب $t$ جایگذاری می‌کنیم. زیرا در صورت سوال، مشتق $y$ برحسب $t$ را خواسته. پس باید جواب نهایی کلاً بر حسب $t$ باشد:

$\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{dy}}{{dx}} \times \frac{{dx}}{{dt}} = \left( {2x + \frac{1}{x}} \right) \times \left( {8\cos 4t} \right) = \left( {4\sin 4t + \frac{1}{{2\sin 4t}}} \right) \times \left( {8\cos 4t} \right)$

تمرین: اگر $y = \frac{{2x - 3}}{{3x + 7}}$ و $x = 3{e^{5t}} + 2Lnt$ باشد. مشتق $y$ برحسب $t$ را بیابید.

نکته: برای ۳ یا چند تابع متوالی نیز می‌توان رابطه مشتق زنجیره‌ای را بسط داد. یعنی به طور مثال اگر $y$ برحسب $t$ و $t$ برحسب $u$ و $u$ .برحسب $x$ باشد، برای محاسبه مشتق $y$ برحسب $x$ .کافیست تمام مشتق‌ها را محاسبه و در یکدیگر ضرب کنیم تا به جواب برسیم. زیرا دیفرانسیل‌های صورت با دیفرانسیل‌های مخرج ساده شده و در نهایت مشتق مورد نظر به دست می‌آید.

مثال: اگر $y = 5{t^2} - 3t$ و $t = 3{e^{2u}} - {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} u$ و $u = \frac{1}{{4{x^2} - 1}}$ ‌ باشد، مشتق $y$ برحسب $x$ را بیابید.

حل: مطابق نکته بالا کافیست تمام مشتق‌ها را در همدیگر ضرب کنیم.تا مشتق $y$ برحسب $x$ به دست آید (به ساده شدن دیفرانسیل‌ها در صورت و مخرج دقت کنید):

$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}} \times \frac{{dt}}{{du}} \times \frac{{du}}{{dx}} = \left( {10t - 3} \right) \times \left( {6{e^{2u}} - \frac{1}{{{u^2} + 1}}} \right) \times \left( { - \frac{{8x}}{{{{\left( {4{x^2} - 1} \right)}^2}}}} \right)$

تمرین: اگر $y = 3{\mathop{\rm Arccos}\nolimits} \left( {Lnx} \right) + 2{e^{5x}}$ و $t = 4{u^3} + 2u$ و $u = {\mathop{\rm Arcsinh}\nolimits} 3x + \frac{{7{x^3} + 3{x^2} - 4}}{{6x + 1}}$ ‌ باشد، مشتق $y$ برحسب $x$ را بیابید.

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1396-07-25

مشتق و کاربرد آن

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.