مشتق تابع (محاسبه شیب خط مماس بر نمودار در یک نقطه)

مشتق تابع:

مشتق یک تابع در یک نقطه، نشاندهنده میزان سرعت تغییرات مقدار تابع یعنی $y$ با تغییرات $x$ است. پس در واقع برای پیدا کردن مشتق یک تابع در یک نقطه باید بررسی کنیم. $y$ آن تابع با چه سرعتی نسبت به $x$ تابع تغییر می‌کند. برای این منظور کافیست شیب خطی که بر تابع در آن نقطه مماس است را بیابیم. شیب این خط را با $f'\left( {{x_0}} \right)$ نمایش می‌دهند که همان مشتق تابع در نقطه ${x_0}$ است.

واضح است که با داشتن یک نقطه از یک خط راست، مانند $\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ . نمی‌توان شیب یک خط گذرنده از آن نقطه را یافت زیرا از هر نقطه‌ای بی‌نهایت خط گذرنده وجود دارد. برای یافتن شیب یک خط نیاز به دو نقطه داریم.تا از فرمول شیب خط $m = \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ شیب خط گذرنده از آنها را بیابیم. پس یک نقطه در نزدیکی ${x_0}$ مانند $x$ در نظر می‌گیریم و شیب خط گذرنده از این دو نقطه را می‌یابیم.

نکته:

شیب خط بدست آمده نزدیک به شیب خط مماس است ولی برابر نیست و خطای زیادی دارد. با نزدیک کردن نقطه $x$ به ${x_0}$ می‌توان خطا را کاهش داده.و شیب خط گذرنده را به مشتق تابع در ${x_0}$ نزدیکتر کرد:

ملاحظه می‌کنید که با نزدیک شدن نقطه $x$ به ${x_0}$ شیب خط گذرنده. از دو نقطه به شیب خط مماس که همان مشتق تابع است نزدیک می‌شود. در واقع اگر حد این شیب را وقتی $x$ به ${x_0}$ میل می‌کند را حساب کنیم میتوانیم به مشتق تابع دست بیابیم:

$f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$

باتوجه به اینکه نقطه ${x_0}$ ثابت است و $x$ از طرفین به آن نزدیک می‌شود، پیوستگی در هر نقطه‌ای شرط لازم (نه کافی) برای مشتق‌پذیری است. می‌توان به جای تعریف بالا، از تعریف زیر برای محاسبه مشتق تابع در نقطه دلخواه $x$ استفاده کرد:

$f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}$

توجه:

رابطه $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ زمانی کاربرد دارد.که مشتق تابع را در یک نقطه خاص بخواهیم بدست آوریم.و رابطه $f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}$ .زمانی استفاده می‌شود.که رابطه‌ای کلی برای مشتق تابع در هر نقطه بر حسب $x$ را از ما بخواهند. در این حالت، مشتق را به صورت $y' = f'\left( x \right) = \frac{{dy}}{{dx}}$ نیز نمایش می‌دهند.

مثال: مشتق تابع $f\left( x \right) = {x^2}$ را در نقطه $x = 1$ بیابید.

حل: مشتق تابع را در یک نقطه خاص مانند . $x = 1$ می‌خواهیم پس رابطه . $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ .را استفاده می‌کنیم:

$\begin{array}{l} f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\mathop \Rightarrow \limits_{{x_0} = 1}^{f\left( x \right) = {x^2}} \\ \\ f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - {1^2}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}} = 2 \end{array}$

تمرین: مشتق توابع زیر را در نقاط خواسته شده بیابید.

$f\left( x \right) = {x^3},{x_0} = 2$
$f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}},{x_0} = 2$
$f\left( x \right) = 5{x^2} + 3x - 1,{x_0} = - 1$

مثال: مشتق تابع $f\left( x \right) = {x^3}$ را بیابید.

حل: در این مسئله مشتق در نقطه مشخصی خواسته نشده است. پس باید رابطه مشتق آن را به کمک رابطه . $f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}$ بدست آوریم:

$\begin{array}{l} f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\mathop \Rightarrow \limits^{f\left( x \right) = {x^3}} \\ \\ f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{{\left( {x + h} \right)}^3} - {x^3}}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{x^3} + 3{x^2}h + 3x{h^2} + {h^3} - {x^3}}}{h}\\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{3{x^2}h + 3x{h^2} + {h^3}}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{h(3{x^2} + 3xh + {h^2})}}{h}\\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} 3{x^2} + 3xh + {h^2} = 3{x^2} \end{array}$

پس رابطه مشتق تابع $f\left( x \right) = {x^3}$ برابر است با: $f'\left( x \right) = 3{x^2}$

تمرین: رابطه مشتق توابع زیر را بیابید.

$f\left( x \right) = {x^2} + 3x - 2$
$f\left( x \right) = \sin x$ (راهنمایی: $\sin \left( {x + h} \right) = \sin x\cosh + \sinh \cos x$ )

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1396-06-28

مشتق و کاربرد آن

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.