مشتق تابع:
مشتق یک تابع در یک نقطه، نشاندهنده میزان سرعت تغییرات مقدار تابع یعنی 
با تغییرات 
است. پس در واقع برای پیدا کردن مشتق یک تابع در یک نقطه باید بررسی کنیم. آن تابع با چه سرعتی نسبت به تابع تغییر می‌کند. برای این منظور کافیست شیب خطی که بر تابع در آن نقطه مماس است را بیابیم. شیب این خط را با 
نمایش می‌دهند که همان مشتق تابع در نقطه 
است.
واضح است که با داشتن یک نقطه از یک خط راست، مانند 
. نمی‌توان شیب یک خط گذرنده از آن نقطه را یافت زیرا از هر نقطه‌ای بی‌نهایت خط گذرنده وجود دارد. برای یافتن شیب یک خط نیاز به دو نقطه داریم.تا از فرمول شیب خط 
شیب خط گذرنده از آنها را بیابیم. پس یک نقطه در نزدیکی مانند در نظر می‌گیریم و شیب خط گذرنده از این دو نقطه را می‌یابیم.
نکته:
شیب خط بدست آمده نزدیک به شیب خط مماس است ولی برابر نیست و خطای زیادی دارد. با نزدیک کردن نقطه به می‌توان خطا را کاهش داده.و شیب خط گذرنده را به مشتق تابع در نزدیکتر کرد:
ملاحظه می‌کنید که با نزدیک شدن نقطه به شیب خط گذرنده. از دو نقطه به شیب خط مماس که همان مشتق تابع است نزدیک می‌شود. در واقع اگر حد این شیب را وقتی به میل می‌کند را حساب کنیم میتوانیم به مشتق تابع دست بیابیم:
باتوجه به اینکه نقطه ثابت است و از طرفین به آن نزدیک می‌شود، پیوستگی در هر نقطه‌ای شرط لازم (نه کافی) برای مشتق‌پذیری است. می‌توان به جای تعریف بالا، از تعریف زیر برای محاسبه مشتق تابع در نقطه دلخواه استفاده کرد:
توجه:
رابطه زمانی کاربرد دارد.که مشتق تابع را در یک نقطه خاص بخواهیم بدست آوریم.و رابطه .زمانی استفاده می‌شود.که رابطه‌ای کلی برای مشتق تابع در هر نقطه بر حسب را از ما بخواهند. در این حالت، مشتق را به صورت 
نیز نمایش می‌دهند.
مثال: مشتق تابع 
را در نقطه 
بیابید.
حل: مشتق تابع را در یک نقطه خاص مانند . می‌خواهیم پس رابطه . .را استفاده می‌کنیم:
تمرین: مشتق توابع زیر را در نقاط خواسته شده بیابید.
مثال: مشتق تابع 
را بیابید.
حل: در این مسئله مشتق در نقطه مشخصی خواسته نشده است. پس باید رابطه مشتق آن را به کمک رابطه . بدست آوریم:
پس رابطه مشتق تابع برابر است با: 
تمرین: رابطه مشتق توابع زیر را بیابید.
(راهنمایی: 
)
(راهنمایی: 
)
برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:
){kind=link}
4 ديدگاه
ایرانی
ممنون از اینکه نوشته را با دیگران به اشتراک گذاشتی،
خسته نباشی 🙂
نگین
سلام من دانشجو اقتصاد هستم ولی متاسفانه در ریاضی مشکل دارم بیشترین مورد استفاده ما در مسائل مشتق هست و توابع که به نوعی با مشتق در ارتباط هست شما چ پیشنهادی برای من دارید؟
امین یارمحمدی
با سلام
با تهیه پکیج ریاضی عمومی ۱ و دیدن تمام فیلم‌ها و انجام تمرینات میتونید روی مشتق تسلط پیدا کنید.
امین
بعد از ۱۲ سال سر و کار داشتن با مشتق این اولین تعریفی بود که واقعا درکش کردم..باورتون نمیشه ولی این مدت فقط فرمول حفظ کردن کارمو راه می انداخت…این صفحه حجابی بشه بین شما و آتش دوزخ به گفته پیامبر ( علم و صاحبش) …واقعا ممنون.