مشتق تابع معکوس

مشتق تابع معکوس:

اگر  {f^{ - 1}}\left( x \right)  معکوس تابع   f\left( x \right)  باشد یعنی اگر  \left( {a,b} \right) \in f  باشد آنگاه  \left( {b,a} \right) \in {f^{ - 1}}   آنگاه برای یافتن مشتق تابع معکوس در نقطه  b . کافیست مشتق   f\left( x \right)   را در نقطه  a   یافته و معکوس کنیم. یعنی:

{\left( {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right)^\prime }_{\left( b \right)} = \frac{1}{{f'\left( a \right)}}

به زبان ساده‌تر، اگر مشتق تابع معکوس را در یک نقطه بخواهند کافیست ابتدا تابع داده شده را مساوی آن عدد قرار داده.تا   a   را بیابیم (  x  بدست آمده  a  است) سپس مشتق   f\left( x \right)   را در نقطه  a   یافته و معکوس کنیم.

مثال: مشتق تابع معکوس   y = f\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}   را در نقطه.  x = 1   بر روی تابع معکوس بیابید.

حل: در این مثال   b = 1  است پس ابتدا تابع  f\left( x \right)  را مساوی  1   قرار می‌دهیم.تا  a  را بیابیم:

\frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = 1 \Rightarrow 2x - 3 = x + 1 \Rightarrow 2x - x = 1 + 3 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow a = 4

اکنون از  f\left( x \right)  مشتق گرفته و مقدار مشتق را در   x = 4   می‌یابیم:

    \[f\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{2\left( {x + 1} \right) - 1\left( {2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{5}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow f'\left( 4 \right) = \frac{5}{{{{\left( {4 + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{5}\]

مشتق تابع معکوس در نقطه  x = 1  برابر است با:

{\left( {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right)^\prime }_{\left( ! \right)} = \frac{1}{{f'\left( 4 \right)}} = \frac{1}{{\frac{1}{5}}} = 5

تمرین: مشتق تابع معکوس   y = f\left( x \right) = \sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}}   .را در نقطه  x = 2 . بر روی تابع معکوس بیابید.


این آموزش را نیز مطالعه کنید: مشتق مراتب بالاتر


مشتق تابع معکوس

نکته: عبارت مربوط به مشتق توابع معکوس (مثلاً   {\left( {{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x} \right)^\prime } = \frac{1}{{1 + {x^2}}}  ) از رابطه بالا بدست آمده است.و شما برای محاسبه رابطه مشتق توابع معکوس دیگر نیز میتوانید از این روش استفاده کنید. مثلا:

\begin{array}{l} f\left( x \right) = \tan x \Rightarrow f'\left( x \right) = 1 + {\tan ^2}x\\ {\left( {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right)^\prime } = {\left( {{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x} \right)^\prime } = \frac{1}{{f'\left( {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right)}} = \frac{1}{{f'\left( {{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x} \right)}} = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\left( {{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x} \right)}} = \frac{1}{{1 + {x^2}}} \end{array}

مثال: رابطه مشتق  {\left( {{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} x} \right)^\prime } = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}   ‌را اثبات کنید.

حل:

\begin{array}{l} f\left( x \right) = \sin x \Rightarrow f'\left( x \right) = \cos x\\ {\left( {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right)^\prime } = {\left( {{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} x} \right)^\prime } = \frac{1}{{f'\left( {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right)}} = \frac{1}{{f'\left( {{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} x} \right)}} = \frac{1}{{\cos \left( {{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} x} \right)}}\\ \mathop \Rightarrow \limits^{\cos u = \sqrt {1 - {{\sin }^2}u} } {\left( {{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} x} \right)^\prime } = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( {{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} x} \right)} }} = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} \end{array}

 


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

مشتق و کاربرد آن

تابع معکوسمشتقمشتق تابع معکوس

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *