مشتق تابع معکوس (یافتن مشتق تابع معکوس به کمک مشتق تابع اصلی)

مشتق تابع معکوس:

اگر ${f^{ - 1}}\left( x \right)$ معکوس تابع $f\left( x \right)$ باشد یعنی اگر $\left( {a,b} \right) \in f$ باشد آنگاه $\left( {b,a} \right) \in {f^{ - 1}}$ آنگاه برای یافتن مشتق تابع معکوس در نقطه $b$ . کافیست مشتق $f\left( x \right)$ را در نقطه $a$ یافته و معکوس کنیم. یعنی:

${\left( {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right)^\prime }_{\left( b \right)} = \frac{1}{{f'\left( a \right)}}$

به زبان ساده‌تر، اگر مشتق تابع معکوس را در یک نقطه بخواهند کافیست ابتدا تابع داده شده را مساوی آن عدد قرار داده.تا $a$ را بیابیم ( $x$ بدست آمده $a$ است) سپس مشتق $f\left( x \right)$ را در نقطه $a$ یافته و معکوس کنیم.

مثال: مشتق تابع معکوس $y = f\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}$ را در نقطه. $x = 1$ بر روی تابع معکوس بیابید.

حل: در این مثال $b = 1$ است پس ابتدا تابع $f\left( x \right)$ را مساوی $1$ قرار می‌دهیم.تا $a$ را بیابیم:

$\frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = 1 \Rightarrow 2x - 3 = x + 1 \Rightarrow 2x - x = 1 + 3 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow a = 4$

اکنون از $f\left( x \right)$ مشتق گرفته و مقدار مشتق را در $x = 4$ می‌یابیم:

$f\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{2\left( {x + 1} \right) - 1\left( {2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{5}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow f'\left( 4 \right) = \frac{5}{{{{\left( {4 + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{5}$

مشتق تابع معکوس در نقطه $x = 1$ برابر است با:

${\left( {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right)^\prime }_{\left( ! \right)} = \frac{1}{{f'\left( 4 \right)}} = \frac{1}{{\frac{1}{5}}} = 5$

تمرین: مشتق تابع معکوس $y = f\left( x \right) = \sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}}$ .را در نقطه $x = 2$ . بر روی تابع معکوس بیابید.

این آموزش را نیز مطالعه کنید: مشتق مراتب بالاتر

مشتق تابع معکوس

نکته: عبارت مربوط به مشتق توابع معکوس (مثلاً ${\left( {{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x} \right)^\prime } = \frac{1}{{1 + {x^2}}}$ ) از رابطه بالا بدست آمده است.و شما برای محاسبه رابطه مشتق توابع معکوس دیگر نیز میتوانید از این روش استفاده کنید. مثلا:

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = \tan x \Rightarrow f'\left( x \right) = 1 + {\tan ^2}x\\ {\left( {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right)^\prime } = {\left( {{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x} \right)^\prime } = \frac{1}{{f'\left( {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right)}} = \frac{1}{{f'\left( {{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x} \right)}} = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\left( {{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x} \right)}} = \frac{1}{{1 + {x^2}}} \end{array}$

مثال: رابطه مشتق ${\left( {{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} x} \right)^\prime } = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}$ ‌را اثبات کنید.

حل:

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = \sin x \Rightarrow f'\left( x \right) = \cos x\\ {\left( {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right)^\prime } = {\left( {{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} x} \right)^\prime } = \frac{1}{{f'\left( {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right)}} = \frac{1}{{f'\left( {{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} x} \right)}} = \frac{1}{{\cos \left( {{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} x} \right)}}\\ \mathop \Rightarrow \limits^{\cos u = \sqrt {1 - {{\sin }^2}u} } {\left( {{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} x} \right)^\prime } = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( {{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} x} \right)} }} = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} \end{array}$

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1396-08-16

مشتق و کاربرد آن

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.