مشتق انتگرال

مشتق  انتگرال:

 هرگاه بخواهیم از تابعی شامل انتگرال، مشتق بگیریم باید از قاعده زیر استفاده کنیم که مستقیماً فرمول محاسبه مشتق انتگرال را به ما می‌دهد. مشتق انتگرال  \int_{n\left( x \right)}^{m\left( x \right)} {h\left( t \right)} dt  برابر است با:

{\left( {\int_{n\left( x \right)}^{m\left( x \right)} {h\left( t \right)} dt} \right)^\prime } = m'\left( x \right).h\left( {m\left( x \right)} \right) - n'\left( x \right).h\left( {n\left( x \right)} \right)

که به آن قضیه «لایب نیتز» (یا لایب نیتس) می‌گویند. یعنی مشتق تابعی که شامل انتگرالی با یک تابع تک‌متغیره مانند  h\left( t \right)  و کران‌هایی بر حسب  x  مانند  m\left( x \right)  (کران بالا) و  n\left( x \right)  (کران پایین) باشد برابر است با مشتق کران بالا ضربدر تابع داخل انتگرال که کران بالا به جای متغیر آن جایگزین شده است منهای مشتق کران پایین ضربدر تابع داخل انتگرال که کران پایین به جای متغیر آن جایگزین شده باشد.

مثال: مشتق انتگرال  f\left( x \right) = \int_{Ln\left( x \right)}^{{x^3} + 2x} {\frac{{2t}}{{3 - t}}} dt  را بیابید.

حل:

\begin{array}{l} f\left( x \right) = \int_{Ln\left( x \right)}^{{x^3} + 2x} {\frac{{2t}}{{3 - t}}} dt\\ \\ \Rightarrow f'\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 2} \right).\frac{{2\left( {{x^3} + 2x} \right)}}{{3 - \left( {{x^3} + 2x} \right)}} - \frac{1}{x}.\frac{{2Ln\left( x \right)}}{{3 - Ln\left( x \right)}} \end{array}


این آموزش را نیز مطالعه کنید: روش تغییر متغیر برای حل انتگرال‌های معین و نامعین


در حالت کلی‌تر، اگر تابع زیر انتگرال دومتغیره (مثلاً بر حسب  t  و  x ) باشد فرمول مشتق انتگرال یعنی قضیه لایب نیتز چنین توابعی یک ترم اضافه خواهد داشت. زیرا می‌توان از تابع زیر انتگرال هم بر حسب  x  مشتق گرفت.

 مشتق انتگرال  \int_{n\left( x \right)}^{m\left( x \right)} {h\left( {x,t} \right)} dt   برابر است با:

\begin{array}{l} {\left( {\int_{n\left( x \right)}^{m\left( x \right)} {h\left( {x,t} \right)} dt} \right)^\prime } = \\ \\ m'\left( x \right).h\left( {x,m\left( x \right)} \right) - n'\left( x \right).h\left( {x,n\left( x \right)} \right) + \int_{n\left( x \right)}^{m\left( x \right)} {\frac{{\partial h\left( {x,t} \right)}}{{\partial x}}} dt \end{array}

در این رابطه،  h  تابعی دو متغیره بر حسب  x  و  t  بوده و  \frac{{\partial h\left( {x,t} \right)}}{{\partial x}}  یعنی مشتق  h  بر حسب  x  وقتی  t  را عدد ثابت فرض کنیم.

مثال: مشتق انتگرال  f\left( x \right) = \int_{{x^2}}^{\sin x} {{e^{xt}}} dt  را به کمک قضیه لایب نیتز بیابید.

حل:

\begin{array}{l} f\left( x \right) = \int_{{x^2}}^{\sin x} {{e^{xt}}} dt\\ \\ \Rightarrow f'\left( x \right) = \cos x.{e^{x\sin x}} - 2x.{e^{{x^3}}} + \int_{{x^2}}^{\sin x} {t{e^{xt}}} dt \end{array}

تمرین: مشتق توابع زیر را بیابید.

f\left( x \right) = \int_{\cos x}^x {\frac{{\sin x}}{{x - 1}}} dt

f\left( x \right) = \int_{5x}^{{e^{3x}}} {Ln({x^2} + t)} dt

f\left( x \right) = \int_2^{{x^2}} {\sec \left( {{t^2}{x^3}} \right)} dt


آموزش تصویری این مبحث:


جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

انتگرال و کاربرد آن

مشتق انتگرالمشتق تابع انتگرالیمشتق توابع انتگرالی

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

11 دیدگاه

  • سلام
    خدا خیرتون بده .
    دعای ما بدرقه ی راه و روش و کاراتون باشه …
    انشاالله

  • خیلی مختصر و مفید بدون هیچ گونه اضافه گویی. فرق مهندسی با ریاضی محض همینه. عالی بود. لطفا اثبات هم بزارید تا کامل بشه.

    • با سلام
      از اظهار لطف و محبت شما بی‌نهایت سپاسگزاریم.
      رویکرد سایت ما کمک به دانشجویان برای گرفتن نمرات بالا در امتحان پایان‌ترم و زدن درصد بالای ریاضی در کنکور کارشناسی ارشد است که در هیچ یک از این دو مورد نیازی به اثبات قضیه لایب نیتز نیست و ما برای خلاصه و مفید ماندن مبحث، اثبات آن را ننوشته‌ایم تا دانشجویان عزیز به جای حل سوال به کمک این قضیه، درگیر اثبات آن که غیرضروری است نشوند.
      با تشکر از حسن نظر شما

  • سلام و عرض ادب. ببخشید اگر حد انتگرال (مثلاً m(x)) بی‌نهایت باشه، مشتق (m(x)) صفر میشه یا اصلاً نمیشه از این راه حل استفاده کرد؟

    • سلام
      بله امکان داره ولی همیشه اینطور نیست و بستگی به تابع زیر انتگرال و کرانهای پایین و بالای انتگرال داره.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *