مشتق انتگرال:

هرگاه بخواهیم از تابعی شامل انتگرال، مشتق بگیریم باید از قاعده زیر استفاده کنیم که مستقیماً فرمول محاسبه مشتق انتگرال را به ما می‌دهد. مشتق انتگرال $\int_{n\left( x \right)}^{m\left( x \right)} {h\left( t \right)} dt$ برابر است با:

${\left( {\int_{n\left( x \right)}^{m\left( x \right)} {h\left( t \right)} dt} \right)^\prime } = m'\left( x \right).h\left( {m\left( x \right)} \right) - n'\left( x \right).h\left( {n\left( x \right)} \right)$

که به آن قضیه «لایب نیتز» (یا لایب نیتس) می‌گویند. یعنی مشتق تابعی که شامل انتگرالی با یک تابع تک‌متغیره مانند $h\left( t \right)$ و کران‌هایی بر حسب $x$ مانند $m\left( x \right)$ (کران بالا) و $n\left( x \right)$ (کران پایین) باشد برابر است با مشتق کران بالا ضربدر تابع داخل انتگرال که کران بالا به جای متغیر آن جایگزین شده است منهای مشتق کران پایین ضربدر تابع داخل انتگرال که کران پایین به جای متغیر آن جایگزین شده باشد.

مثال: مشتق انتگرال $f\left( x \right) = \int_{Ln\left( x \right)}^{{x^3} + 2x} {\frac{{2t}}{{3 - t}}} dt$ را بیابید.

حل:

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = \int_{Ln\left( x \right)}^{{x^3} + 2x} {\frac{{2t}}{{3 - t}}} dt\\ \\ \Rightarrow f'\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 2} \right).\frac{{2\left( {{x^3} + 2x} \right)}}{{3 - \left( {{x^3} + 2x} \right)}} - \frac{1}{x}.\frac{{2Ln\left( x \right)}}{{3 - Ln\left( x \right)}} \end{array}$

این آموزش را نیز مطالعه کنید: روش تغییر متغیر برای حل انتگرال‌های معین و نامعین

در حالت کلی‌تر، اگر تابع زیر انتگرال دومتغیره (مثلاً بر حسب $t$ و $x$ ) باشد فرمول مشتق انتگرال یعنی قضیه لایب نیتز چنین توابعی یک ترم اضافه خواهد داشت. زیرا می‌توان از تابع زیر انتگرال هم بر حسب $x$ مشتق گرفت.

مشتق انتگرال $\int_{n\left( x \right)}^{m\left( x \right)} {h\left( {x,t} \right)} dt$ برابر است با:

$\begin{array}{l} {\left( {\int_{n\left( x \right)}^{m\left( x \right)} {h\left( {x,t} \right)} dt} \right)^\prime } = \\ \\ m'\left( x \right).h\left( {x,m\left( x \right)} \right) - n'\left( x \right).h\left( {x,n\left( x \right)} \right) + \int_{n\left( x \right)}^{m\left( x \right)} {\frac{{\partial h\left( {x,t} \right)}}{{\partial x}}} dt \end{array}$

در این رابطه، $h$ تابعی دو متغیره بر حسب $x$ و $t$ بوده و $\frac{{\partial h\left( {x,t} \right)}}{{\partial x}}$ یعنی مشتق $h$ بر حسب $x$ وقتی $t$ را عدد ثابت فرض کنیم.

مثال: مشتق انتگرال $f\left( x \right) = \int_{{x^2}}^{\sin x} {{e^{xt}}} dt$ را به کمک قضیه لایب نیتز بیابید.

حل:

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = \int_{{x^2}}^{\sin x} {{e^{xt}}} dt\\ \\ \Rightarrow f'\left( x \right) = \cos x.{e^{x\sin x}} - 2x.{e^{{x^3}}} + \int_{{x^2}}^{\sin x} {t{e^{xt}}} dt \end{array}$

تمرین: مشتق توابع زیر را بیابید.

$f\left( x \right) = \int_{\cos x}^x {\frac{{\sin x}}{{x - 1}}} dt$

$f\left( x \right) = \int_{5x}^{{e^{3x}}} {Ln({x^2} + t)} dt$

$f\left( x \right) = \int_2^{{x^2}} {\sec \left( {{t^2}{x^3}} \right)} dt$

آموزش تصویری این مبحث:

جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:

پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه (۵ فصل + ضمیمه مثلثات)
امتیاز 4.75 از 5
۱۳۹,۰۰۰ تومان افزودن به سبد خرید

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1396-12-29

انتگرال و کاربرد آن

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.