محاسبه مساحت زیر منحنی به کمک انتگرال:

از ابتدای فصل به یاد داریم که مفهوم انتگرال، محاسبه مساحت زیر منحنی است. یعنی هرگاه از تابع داده شده در بازه داده شده انتگرال معین بگیریم، مساحت زیر منحنی آن تابع در آن بازه به دست می‌آید. مفهوم انتگرال جهت محاسبه مساحت زیر منحنی به کمک شکل زیر نشان داده می‌شود:

محاسبه مساحت زیر منحنی از رابطه $S = \left| {\int_a^b {f\left( x \right)dx} } \right|$ امکان‌پذیر است. قرار دادن قدرمطلق به جهت آن است که اگر منحنی (یا بیشتر قسمت‌های منحنی) در زیر محور $x$ باشند جواب نهایی انتگرال منفی می‌شود ولی مساحت یک عبارت مثبت است. پس به کمک قدرمطلق می‌توانیم مقدار مساحت را صرفنظر از مثبت یا منفی بودن جواب انتگرال بیابیم.

حال اگر مساحت بین دو منحنی را بخواهیم به دست آوریم کافیست از حاصل تفریق آن دو تابع در بازه‌هایی که علامت حاصل تفریق دو تابع تغییر نمی‌کند ( $f\left( x \right) - g\left( x \right)$ یا همواره مثبت یا همواره منفی باشد) انتگرال بگیریم محاسبه مساحت به درستی انجام پذیرد.

به طور مثال، مساحت سطح محصور به دو منحنی $y = f\left( x \right)$ و $y = g\left( x \right)$ در بازه $\left[ {a,b} \right]$ برابر است با:

$S = \left| {\int_a^b {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} } \right|$

حال اگر $f\left( x \right) - g\left( x \right)$ در بازه‌های مختلف علامت‌های مختلف داشته باشند باید حتماً در آن بازه‌های کوچکتر به صورت جداگانه $S = \left| {\int_a^b {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} } \right|$ را محاسبه کرده و در نهایت اعداد مثبت را با یکدیگر جمع کنیم. پس اگر دو شکل در بیش از ۲ نقطه همدیگر را قطع کنند باید مساحت هر بازه را جداگانه محاسبه و سپس نتایج مثبت را با هم جمع کنیم.

این آموزش را نیز مطالعه کنید: تجزیه کسر – روشی برای حل انتگرال

مثال: مطلوبست محاسبه مساحت ناحیه محصور به دو منحنی $y = {x^2} + 3$ و $y = 4x$

حل: ابتدا دو منحنی را با هم مساوی قرار می‌دهیم تا نقاط تلاقی دو منحنی که بازه انتگرال‌گیری را تشکیل می‌دهند را بیابیم. سپس از فرمول بالا، مساحت بین دو منحنی را می‌یابیم:

$\begin{array}{l}{x^2} + 3 = 4x \Rightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0\\\\\Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\end{array}$

$\begin{array}{l}S = \left| {\int_1^3 {\left( {{x^2} + 3 - 4x} \right)dx} } \right| = \left| {\frac{{{x^3}}}{3} + 3x - 2{x^2}} \right|_1^3\\\\= \left| {\left( {9 + 9 - 18} \right) - \left( {\frac{1}{3} + 3 - 2} \right)} \right| = \left| { - \frac{4}{3}} \right| = \frac{4}{3}\end{array}$

تمرین: مطلوبست محاسبه مساحت ناحیه محصور به دو منحنی $y = {x^2} - 4$ و $y = 4 - {x^2}$

آموزش تصویری این مبحث:

جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:

پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه (۵ فصل + ضمیمه مثلثات)
نمره 4.75 از 5
۱۳۹,۰۰۰ تومان افزودن به سبد خرید

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

لینک دانلود

امین یارمحمدی

1397-01-21

انتگرال و کاربرد آن

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.