محاسبه طول قوس یک منحنی:

تاکنون از انتگرال معین عمدتاً برای محاسبه مساحت زیر نمودار استفاده کرده‌ایم. ولی انتگرال معین برای محاسبه طول قوس توابع نیز کاربرد دارد. یعنی به جای محاسبه مساحت زیر منحنی تابع، طول قوس خود منحنی را حساب کنیم. جهت محاسبه طول قوس منحنی  f( x ) در بازه  [ {a,b} ]   از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

L = \int_a^b {\sqrt {1 + {{y'}^2}} dx}

محاسبه طول قوس یک منحنی

زیرا اگر یک المان‌طول منحنی (طول بسیار کوچکی از قوس منحنی) را به صورت زیر فرض کنیم:

محاسبه طول قوس یک منحنی

آنگاه داریم:

    \[\begin{array}{l}dL = \sqrt {d{x^2} + d{y^2}} = \sqrt {d{x^2}\left( {1 + \frac{{d{y^2}}}{{d{x^2}}}} \right)} \\\\= \sqrt {d{x^2}\left( {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \right)} = \sqrt {d{x^2}\left( {1 + {{y'}^2}} \right)} \\\\= \sqrt {1 + {{y'}^2}} dx\end{array}\]

پس طول کل منحنی که انتگرال (مجموع) طول همه المان‌ها است برابر می‌شود با:

L = \int {dL} = \int_a^b {\sqrt {1 + {{y'}^2}} dx}

مثال: محیط دایره‌ای به شعاع  ۳ را به کمک انتگرال معین محاسبه کنید.

حل: معادله دایره به شعاع  ۳ عبارت است از   {x^2} + {y^2} = 9   که برای نیم‌دایره بالایی داریم:

y = \sqrt {9 - {x^2}}\qquad {\rm{ - 3}} \le {\rm{x}} \le 3

که مشتق آن برابر است با:

    \[\begin{array}{l}y' = \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {9 - {x^2}} }} = \frac{{ - x}}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}\\\\\\\Rightarrow \sqrt {1 + {{y'}^2}} = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{{ - x}}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}} \right)}^2}} = \sqrt {1 + \frac{{{x^2}}}{{9 - {x^2}}}} \\\\\\= \sqrt {\frac{{9 - {x^2} + {x^2}}}{{9 - {x^2}}}} = \sqrt {\frac{9}{{9 - {x^2}}}} = \frac{3}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}\end{array}\]

محیط دایره برابر است با ۲ برابر طول قوس نیم‌دایره بالایی:

    \[\begin{array}{l}L = 2\int_{ - 3}^3 {\frac{3}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}dx} = \left. {6{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} \frac{x}{3}} \right|_{ - 3}^3\\\\\\= 6\left( {{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} 1 - {\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} \left( { - 1} \right)} \right) = 6\left( {\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{2}} \right) = 6\pi\end{array}\]


این آموزش را نیز مطالعه کنید: انتگرال توابع گنگ (توابع رادیکالی با فرجه‌های متفاوت)  


تمرین: طول قوس منحنی تابع   f\left( x \right) = Ln\left( {\cos x} \right) در بازه  \left[ {0,\frac{\pi }{4}} \right] ‌ را محاسبه کنید.


آموزش تصویری این مبحث:


جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

 

انتگرال و کاربرد آن

طول قوس یک منحنیکاربرد انتگرالکاربرد انتگرال معینمحاسبه طول قوسمحاسبه طول قوس یک منحنی

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

guest
4 دیدگاه ها
قدیمی ترین
جدیدترین بیشترین آرا
Inline Feedbacks
مشاهده همه دیدگاه ها