محاسبه حد چندجمله‌ای ها به کمک هم‌ارزی‌ها

محاسبه حد چندجمله‌ای ها به کمک هم‌ارزی‌ها

در محاسبه حد چندجمله‌ای ها در بی‌نهایت، عبارات بزرگتر را نگه داشته و بقیه عبارات را صرفنظر میکنیم (این کار برای توابعی که زیر رادیکال هستند مجاز نیست)

مثال:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4{x^3} + 2{x^2} - 2x + 5}}{{3{x^3} - 7x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4{x^3}}}{{3{x^3}}} = \frac{4}{3}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6{x^3} - 4{x^2} + 2x - 6}}{{4{x^2} - 2x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6{x^3}}}{{4{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6x}}{4} = + \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6{x^3} - 2{x^2} + x}}{{2{x^4} + 3x + 7}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6{x^3}}}{{2{x^4}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{6}{{2x}} = \frac{6}{\infty } = 0$

نکته: حاصل تقسیم هر عدد (چه مثبت چه منفی) بر $+ \infty$ یا $- \infty$ برابر با صفر می‌شود و حاصل تقسیم بینهایت بر هر عددی (و حتی حاصل‌ضربشان) برابر با بی‌نهایت می‌شود که علامت بی‌نهایت جواب برابر است با حاصلضرب علامتهای عدد و بی‌نهایت داده شده. مثلا:

$\begin{array}{l} \frac{{ - 3}}{{ + \infty }} = 0\\ \\ \frac{{ + \infty }}{{ - 3}} = - \infty \\ \\ \frac{{ - \infty }}{{ - 4}} = + \infty \\ \\ 2 \times ( - \infty ) = - \infty \end{array}$

محاسبه حد چندجمله‌ای

نکته: در محاسبه حد در $x = 0$ توان‌های کوچکتر را نگه داشته و بقیه عبارات را حذف می‌کنیم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4{x^3} + 2{x^2} - 2x}}{{3{x^3} - 7{x^2} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2x}}{{ - x}} = \frac{{ - 2}}{{ - 1}} = 2$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{7{x^3} + 5{x^2} + 5x}}{{{x^3} - 2{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5x}}{{ - 4}} = \frac{0}{{ - 4}} = 0$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4{x^3} - {x^2} + x - 4}}{{{x^4} - 5{x^3} + 9{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 4}}{{9{x^2}}} = \frac{{ - 4}}{{{0^ + }}} = - \infty$

نکته: ‌برای محاسبه حد توابع چندجمله‌ای زیر رادیکال از روابط زیر (معروف به هم‌ارزی‌های نیوتن) استفاده میکنیم:

اگر زوج باشد: $\sqrt[n]{{a{x^n} + b{x^{n - 1}} + ...}} \sim \sqrt[n]{a}\left| {x + \frac{b}{{na}}} \right|$

اگر فرد باشد: $\sqrt[n]{{a{x^n} + b{x^{n - 1}} + ...}} \sim \sqrt[n]{a}\left( {x + \frac{b}{{na}}} \right)$

مثال:

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt[3]{{4{x^3} + 7{x^2} - 3x + 2}} - \sqrt[3]{4}x}}{{\sqrt[4]{5}x + \sqrt[4]{{5{x^4} - {x^3} + {x^2} - 8x + 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt[3]{4}\left( {x + \frac{7}{{3 \times 4}}} \right) - \sqrt[3]{4}x}}{{\sqrt[4]{5}x + \sqrt[4]{5}\left| {x + \frac{{ - 1}}{{4 \times 5}}} \right|}}\\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt[3]{4}x + \frac{{7\sqrt[3]{4}}}{{12}} - \sqrt[3]{4}x}}{{\sqrt[4]{5}x - \sqrt[4]{5}\left( {x + \frac{{ - 1}}{{20}}} \right)}}\\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{{7\sqrt[3]{4}}}{{12}}}}{{\sqrt[4]{5}x - \sqrt[4]{5}x + \frac{{\sqrt[4]{5}}}{{20}}}} = \frac{{\frac{{7\sqrt[3]{4}}}{{12}}}}{{\frac{{\sqrt[4]{5}}}{{20}}}}\\ \\ = \frac{{7\sqrt[3]{4} \times 20}}{{\sqrt[4]{5} \times 12}} = \frac{{7\sqrt[3]{4} \times 5}}{{\sqrt[4]{5} \times 3}} = \frac{{35\sqrt[3]{4}}}{{3\sqrt[4]{5}}} \end{array}$

در مخرج قدرمطلق عدد منفی باید مثبت شود پس قدرمطلق را حذف و پشت عبارت یک منفی می‌گذاریم:

$x{\rm{ < 0}} \Rightarrow \left| x \right| = - x$

محاسبه حد چندجمله‌ای

تمرین:حاصل حدهای زیر را حساب کنید

$\begin{array}{l} 1 - \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt[5]{{6{x^5} - 2{x^4} - x}} - \sqrt[5]{6}x}}{{\sqrt 2 x - \sqrt[{}]{{2{x^2} + 4x - 1}}}}\\ \\ 2 - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt[4]{{2{x^4} - 5{x^3} + 4{x^2} + 6}} + \sqrt[4]{2}x}}{{\sqrt 5 x + \sqrt {5{x^2} - 2x + 7} }} \end{array}$

مرتبه در بی‌نهایت:

اگر $x$ به سمت مثبت بی‌نهایت کند از عبارات ضعیف‌تر در مقابل عبارات قوی‌تر صرفنظر میکنیم:

$\begin{array}{l} {x^x} \gg x! \gg {a^x} \gg {x^b} \gg Lnx{\rm{ }}\left( {a > 1,b > 0} \right)\\ {a^x} \gg {b^x}{\rm{ }}\left( {{\rm{ a > b > 1}}} \right) \end{array}$

مثال:

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {{e^x} + 5x - 3Lnx + {e^{5x}}} \right)^{\frac{1}{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {{e^{5x}}} \right)^{\frac{1}{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {e^{\frac{{5x}}{x}}} = {e^5}\\ \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{x + 2}}{{x + 1}}} \right)^{\frac{{3{x^2}}}{{x - 2Lnx}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{x + 1 + 1}}{{x + 1}}} \right)^{\frac{{3{x^2}}}{x}}} = = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right)^{3x}} = {e^3} \end{array}$

تمرین: حاصل حدهای زیر را بیابید

$\begin{array}{l} 1 - \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt[x]{{{4^x} + {6^x} - {5^x}}}\\ 2 - \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{4^{x + 1}} - {4^{x - 1}} + 7x - 3}}{{{4^{x + 2}} + {4^x} + x + 1}} \end{array}$

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1396-05-31

حد و پیوستگی

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.