محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)

دستور هوپیتال:

محاسبه حد به کمک هوپیتال

در فصل بعد با مفهوم مشتق آشنا می‌شویم و در بحث کاربرد مشتق خواهیم دید که جواب حدهایی که به صورتهای مبهم $quicklatex.com 0b04601726a2983d4280a1ad86828684 l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$ یا $quicklatex.com 04200c6e584fd2fcce39f0b0ceba6958 l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$ باشند‌ با مشتق‌گیری از صورت و مخرج بدست می‌آیند:

که در فصل بعد در مورد آن مفصل صحبت خواهیم کرد.

نکته: حاصل حد حاصلضرب دو تابع که یکی به صفر میل میکند و دیگری تابعی کراندار است (به بی‌نهایت میل نمی‌کند) برابر است با صفر.

از این نکته اکثرا در حل حدهای شامل توابع مثلثاتی استفاده میکنیم زیرا میدانیم توابع $quicklatex.com 3ed82b53e0e072fd7a2e9164a6cf91e5 l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$ و $quicklatex.com 268f2a92abc5fa86b1b07a9bdf436051 l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$ کراندار بوده و به ازای هر مقدار داخل خود، جوابی بین ۱- و ۱ دارند.

مثال: حاصل حد $quicklatex.com 53dfb0d95c614291274b305b9b83b931 l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$ را بیابید.

حل: واضح است که وقتی $quicklatex.com d7cda7d7cf954714f6e6353909c0733d l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$ به سمت ۰ میل می‌کند داخل سینوس به بی‌نهایت میل میکند. ولی هر چند که باشد سینوس آن بین ۱- و ۱ است و حاصل حد $quicklatex.com eabbea8b4849e5950ca9d0c5a3b78f66 l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$ نیز صفر است. پس جواب حد حاصلضرب $quicklatex.com eabbea8b4849e5950ca9d0c5a3b78f66 l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$ در تابع کراندار $quicklatex.com 0c47248efeeacf3e1dddb218e89bd7f3 l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$ در $quicklatex.com e6a1a964fcc76cb35b06313937b59817 l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$ برابر با صفر است.

نکته: برای محاسبه حدهای به فرم $quicklatex.com 30d4c4a5d673c08324cc1243225e52ec l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$ (تابع به توان تابع) که با جایگذاری عدد داده شده. به یکی فرمهای مبهم $quicklatex.com 1d6a2c0eb90d09fa9ffd7281ba09b02a l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$ برسند. باید از رابطه $quicklatex.com 7f95c7123e1136bed221bdfc2149ee87 l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$ استفاده کرده و سپس از هوپیتال استفاده کنیم.

محاسبه حد به کمک هوپیتال

یعنی:

$quicklatex.com cccfabb3bd31eb6adc91823ee55b7376 l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$

مثال: حاصل حد $quicklatex.com 0c6c76f34819cd7c1c44072e568580eb l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$ را بیابید

حل:

$quicklatex.com efc33a863938aad02fb0b186f131d628 l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$

ابتدا حاصل حد $quicklatex.com ae1434841e7870bbd01514fba7be15bd l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$ را می‌یابیم:

پس حاصل حد موردنظر برابر است با: $quicklatex.com 853eb0178e8dedfa3785e7c9a377f46f l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$

(در حل این حد از روش هوپیتال استفاده کردیم. در صورت داشتن اشکال در مشتقگیری،. به فصل بعد باید رجوع کنید)

تمرین: حاصل حدود زیر را بیابید:

$quicklatex.com da343d70783bd11002134116da42d4e4 l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$
$quicklatex.com 4fd728c764dd11989acb98726c6f4dfa l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$
$quicklatex.com 14ea802ae454794e81f49fd41924ec52 l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$

نکته: با استفاده از روش بالا می‌توان ثابت کرد: $quicklatex.com 47cec5cdf382037e9ec50ad77cda5285 l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$

محاسبه حد به کمک هوپیتال

مثال:

برای استفاده از نکته بالا باید حتما کسر را به فرم مربوط به آن تبدیل کنیم که با تفکیک کسر و تقسیم صورت و مخرج بر ضریب $quicklatex.com d7cda7d7cf954714f6e6353909c0733d l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$ در مخرج این کار را انجام دادیم.

تمرین: حاصل حدود زیر را بیابید:

$quicklatex.com 30c5e24a1cec6ea94c3562f23939bbd7 l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$
$quicklatex.com e6267550bb6f570d842d0bf5e266a61b l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$
$quicklatex.com 67c733e9117dd4c9cfc615ab1e3cf091 l3 - محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)$