محاسبه حد به کمک هوپیتال

دستور هوپیتال:

محاسبه حد به کمک هوپیتال 

در فصل بعد با مفهوم مشتق آشنا می‌شویم و در بحث کاربرد مشتق خواهیم دید که جواب حدهایی که به صورتهای مبهم   \frac{0}{0}   یا   \frac{\infty }{\infty }  باشند‌ با مشتق‌گیری از صورت و مخرج بدست می‌آیند:

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{0}{0}{\rm{ or }}\frac{\infty }{\infty }\mathop { \Rightarrow \lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f'(x)}}{{g'\left( x \right)}}\]

که در فصل بعد در مورد آن مفصل صحبت خواهیم کرد.

 

نکته: حاصل حد حاصلضرب دو تابع که یکی به صفر میل میکند و دیگری تابعی کراندار است (به بی‌نهایت میل نمی‌کند) برابر است با صفر.

از این نکته اکثرا در حل حدهای شامل توابع مثلثاتی استفاده میکنیم زیرا میدانیم توابع   \sin x    و   \cos x   کراندار بوده و به ازای هر مقدار داخل خود، جوابی بین ۱- و ۱ دارند.

مثال: حاصل حد   \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}\sin \left( {\frac{1}{x}} \right)  را بیابید.

حل: واضح است که وقتی  x  به سمت 0 میل می‌کند داخل سینوس به بی‌نهایت میل میکند. ولی هر چند که باشد سینوس آن بین ۱- و ۱ است و حاصل حد  {x^2}  نیز صفر است. پس جواب حد حاصلضرب  {x^2}  در تابع کراندار \sin \left( {\frac{1}{x}} \right)  در  x = 0   برابر با صفر است.

 نکته: برای محاسبه حدهای به فرم   \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} u{\left( x \right)^{v\left( x \right)}}  (تابع به توان تابع) که با جایگذاری عدد داده شده. به یکی فرمهای مبهم   {0^0},{0^\infty },{\infty ^\infty },{1^\infty }  برسند. باید از رابطه   x = {e^{Lnx}}   استفاده کرده و سپس از هوپیتال استفاده کنیم.

محاسبه حد به کمک هوپیتال 

یعنی:

u{\left( x \right)^{v\left( x \right)}} = {e^{Ln{u^v}}} = {e^{vLnu}}

مثال: حاصل حد \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\left( {1 + \sin \pi x} \right)^{\cot \pi x}}  را بیابید

حل:

\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\left( {1 + \sin \pi x} \right)^{\cot \pi x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {e^{Ln{{\left( {1 + \sin \pi x} \right)}^{\cot \pi x}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {e^{\cot \pi xLn\left( {1 + \sin \pi x} \right)}}

ابتدا حاصل حد \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \cot \pi xLn\left( {1 + \sin \pi x} \right)  را می‌یابیم:

    \[\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \cot \pi xLn\left( {1 + \sin \pi x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{Ln\left( {1 + \sin \pi x} \right)}}{{\tan \pi x}}\\ \mathop = \limits^{Hop} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{{\pi \cos \pi x}}{{1 + \sin \pi x}}}}{{\pi (1 + {{\tan }^2}\pi x)}} = - 1 \end{array}\]

پس حاصل حد موردنظر برابر است با:  {e^{ - 1}}

(در حل این حد از روش هوپیتال استفاده کردیم. در صورت داشتن اشکال در مشتقگیری،. به فصل بعد باید رجوع کنید)

تمرین: حاصل حدود زیر را بیابید:

  1. \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {\cosh x} \right)^{\frac{1}{x}}}
  2. \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {1 + 4x} \right)^{\frac{1}{{Lnx}}}}
  3. \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} {\left( {\tan x} \right)^{\tan 2x}}

نکته: با استفاده از روش بالا می‌توان ثابت کرد:   \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {1 + \frac{a}{{x + b}}} \right)^{cx + d}} = {e^{ac}}

 

محاسبه حد به کمک هوپیتال

مثال:

    \[\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {\frac{{3x - 2}}{{3x + 4}}} \right)^{5x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {\frac{{3x + 4 - 4 - 2}}{{3x + 4}}} \right)^{5x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {1 + \frac{{ - 6}}{{3x + 4}}} \right)^{5x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {1 + \frac{{ - 2}}{{x + \frac{4}{3}}}} \right)^{5x + 1}}\mathop {\mathop = \limits^{a = - 2} }\limits_{c = 5} {e^{ - 10}} \end{array}\]

برای استفاده از نکته بالا باید حتما کسر را به فرم مربوط به  آن تبدیل کنیم که با تفکیک کسر و تقسیم صورت و مخرج بر ضریب  x   در مخرج این کار را انجام دادیم.

تمرین: حاصل حدود زیر را بیابید:

  1. \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {1 + \frac{4}{{3x - 4}}} \right)^{9x - 1}}
  2. \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {\frac{{x + 3}}{{x + 1}}} \right)^{2x}}
  3. \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {\frac{{2x - 3}}{{2x + 1}}} \right)^{3x - 6}}

 

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

حد و پیوستگی

کاربرد مشتقهوپیتال

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

guest
0 دیدگاه ها
Inline Feedbacks
مشاهده همه دیدگاه ها