محاسبه حد به کمک هوپیتال (استفاده از مشتق برای محاسبه حدود تعریف نشده)

دستور هوپیتال:

محاسبه حد به کمک هوپیتال

در فصل بعد با مفهوم مشتق آشنا می‌شویم و در بحث کاربرد مشتق خواهیم دید که جواب حدهایی که به صورتهای مبهم $\frac{0}{0}$ یا $\frac{\infty }{\infty }$ باشند‌ با مشتق‌گیری از صورت و مخرج بدست می‌آیند:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{0}{0}{\rm{ or }}\frac{\infty }{\infty }\mathop { \Rightarrow \lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f'(x)}}{{g'\left( x \right)}}$

که در فصل بعد در مورد آن مفصل صحبت خواهیم کرد.

نکته: حاصل حد حاصلضرب دو تابع که یکی به صفر میل میکند و دیگری تابعی کراندار است (به بی‌نهایت میل نمی‌کند) برابر است با صفر.

از این نکته اکثرا در حل حدهای شامل توابع مثلثاتی استفاده میکنیم زیرا میدانیم توابع $\sin x$ و $\cos x$ کراندار بوده و به ازای هر مقدار داخل خود، جوابی بین ۱- و ۱ دارند.

مثال: حاصل حد $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}\sin \left( {\frac{1}{x}} \right)$ را بیابید.

حل: واضح است که وقتی $x$ به سمت 0 میل می‌کند داخل سینوس به بی‌نهایت میل میکند. ولی هر چند که باشد سینوس آن بین ۱- و ۱ است و حاصل حد ${x^2}$ نیز صفر است. پس جواب حد حاصلضرب ${x^2}$ در تابع کراندار $\sin \left( {\frac{1}{x}} \right)$ در $x = 0$ برابر با صفر است.

نکته: برای محاسبه حدهای به فرم $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} u{\left( x \right)^{v\left( x \right)}}$ (تابع به توان تابع) که با جایگذاری عدد داده شده. به یکی فرمهای مبهم ${0^0},{0^\infty },{\infty ^\infty },{1^\infty }$ برسند. باید از رابطه $x = {e^{Lnx}}$ استفاده کرده و سپس از هوپیتال استفاده کنیم.

محاسبه حد به کمک هوپیتال

یعنی:

$u{\left( x \right)^{v\left( x \right)}} = {e^{Ln{u^v}}} = {e^{vLnu}}$

مثال: حاصل حد $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\left( {1 + \sin \pi x} \right)^{\cot \pi x}}$ را بیابید

حل:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\left( {1 + \sin \pi x} \right)^{\cot \pi x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {e^{Ln{{\left( {1 + \sin \pi x} \right)}^{\cot \pi x}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {e^{\cot \pi xLn\left( {1 + \sin \pi x} \right)}}$

ابتدا حاصل حد $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \cot \pi xLn\left( {1 + \sin \pi x} \right)$ را می‌یابیم:

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \cot \pi xLn\left( {1 + \sin \pi x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{Ln\left( {1 + \sin \pi x} \right)}}{{\tan \pi x}}\\ \mathop = \limits^{Hop} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{{\pi \cos \pi x}}{{1 + \sin \pi x}}}}{{\pi (1 + {{\tan }^2}\pi x)}} = - 1 \end{array}$

پس حاصل حد موردنظر برابر است با: ${e^{ - 1}}$

(در حل این حد از روش هوپیتال استفاده کردیم. در صورت داشتن اشکال در مشتقگیری،. به فصل بعد باید رجوع کنید)

تمرین: حاصل حدود زیر را بیابید:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {\cosh x} \right)^{\frac{1}{x}}}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {1 + 4x} \right)^{\frac{1}{{Lnx}}}}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} {\left( {\tan x} \right)^{\tan 2x}}$

نکته: با استفاده از روش بالا می‌توان ثابت کرد: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {1 + \frac{a}{{x + b}}} \right)^{cx + d}} = {e^{ac}}$

محاسبه حد به کمک هوپیتال

مثال:

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {\frac{{3x - 2}}{{3x + 4}}} \right)^{5x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {\frac{{3x + 4 - 4 - 2}}{{3x + 4}}} \right)^{5x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {1 + \frac{{ - 6}}{{3x + 4}}} \right)^{5x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {1 + \frac{{ - 2}}{{x + \frac{4}{3}}}} \right)^{5x + 1}}\mathop {\mathop = \limits^{a = - 2} }\limits_{c = 5} {e^{ - 10}} \end{array}$

برای استفاده از نکته بالا باید حتما کسر را به فرم مربوط به آن تبدیل کنیم که با تفکیک کسر و تقسیم صورت و مخرج بر ضریب $x$ در مخرج این کار را انجام دادیم.

تمرین: حاصل حدود زیر را بیابید:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {1 + \frac{4}{{3x - 4}}} \right)^{9x - 1}}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {\frac{{x + 3}}{{x + 1}}} \right)^{2x}}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {\frac{{2x - 3}}{{2x + 1}}} \right)^{3x - 6}}$

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1396-05-24

حد و پیوستگی

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.