محاسبه حجم به کمک انتگرال

محاسبه حجم به کمک انتگرال:

برای محاسبه حجم به کمک انتگرال باید ابتدا مشخص کنیم مساحت ناحیه موردنظر حول چه محور یا خطی دوران می‌کند. در حالت کلی میتوان دوران حول چهار محور را در نظر گرفت.

دوران حول محور  xها:

اگر مساحت زیر منحنی تابع  f( x ) در بازه  [ {a,b} ] را حول محور  xها دوران دهیم، برای محاسبه حجم به کمک انتگرال از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

{V_x} = \pi \int_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}

محاسبه حجم به کمک انتگرال

به همین ترتیب اگر مساحت بین دو منحنی  f( x )   و  g( x )   را در بازه  [ {a,b} ]  را حول محور  xها دوران دهیم، محاسبه حجم به کمک انتگرال به کمک رابطه زیر خواهد بود:

    \[{V_x} = \pi \int_a^b {\left( {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right)dx} \]

دوران حول خط  y = k :

اگر مساحت زیر منحنی تابع  f( x )  در بازه  [ {a,b} ]  را حول خط  y = k  دوران دهیم، محاسبه حجم به کمک انتگرال از رابطه زیر انجام می‌گردد:

{V_{y = k}} = \pi \int_a^b {{{\left[ {f\left( x \right) - k} \right]}^2}dx}

محاسبه حجم به کمک انتگرال

دوران حول محور  yها:

اگر مساحت ناحیه بین منحنی تابع  f( x )  و محور  yها در بازه  [ {a,b} ]  را حول محور  yها دوران دهیم، برای محاسبه حجم بدست آمده باید ابتدا  x   را بر حسب  y   بدست آورده (  x = {f^{ - 1}}( y ) ) و سپس از رابطه زیر حجم را محاسبه کنیم (c و d نقاط متناظر a و b روی محور y هستند):

{V_y} = \pi \int_c^d {{x^2}dy}

محاسبه حجم به کمک انتگرال

دوران حول خط   x = k :

اگر مساحت ناحیه بین منحنی تابع  f(x)  و خط  x = k  در بازه    را حول خط  x = k  دوران دهیم، حجم بدست آمده از رابطه زیر بدست می‌آید:

{V_{x = k}} = \pi \int_c^d {{{\left( {x - k} \right)}^2}dy}

محاسبه حجم به کمک انتگرال


این آموزش را نیز مطالعه کنید:  یافتن جواب سری‌ها به کمک انتگرال


مثال: حجم حاصل از دوران  y = {x^2}   در بازه  [ {0,1} ]  را حول محورهای زیر بیابید:

الف) محور   xها    ب) محور   yها    ج) خط  y = - 1      د) خط  x = - 2

حل:

الف)

{V_x} = \pi \int_0^1 {{x^4}dx} = \left. {\pi {{{x^5}} \over 5}} \right|_0^1 = \pi \left( {{1 \over 5} - 0} \right) = {\pi \over 5}

ب)

    \[\begin{array}{l} y = {x^2} \Rightarrow x = \sqrt y {\rm{ }},{\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l} {\rm{ }}x = 0 \Rightarrow y = 0\\ x = 1 \Rightarrow y = 1 \end{array} \right.\\ \\ \\ {V_y} = \pi \int_{y = 0}^1 {{x^2}dy} = \pi \int_{y = 0}^1 {ydy} = \left. {\pi \frac{{{y^2}}}{2}} \right|_0^1 = \frac{\pi }{2} \end{array}\]

ج)

    \[\begin{array}{l} {V_{y = - 1}} = \pi \int_0^1 {{{\left[ {{x^2} - \left( { - 1} \right)} \right]}^2}dx} = \pi \int_0^1 {{{\left[ {{x^2} + 1} \right]}^2}dx} \\ \\ = \pi \int_0^1 {\left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right)dx} = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^5}}}{5} + \frac{2}{3}{x^3} + x} \right)} \right|_0^1\\ \\ = \frac{{28}}{{15}}\pi \end{array}\]

د)

    \[\begin{array}{l} {V_{x = - 2}} = \pi \int_0^1 {{{\left( {x - ( - 2)} \right)}^2}dy} = \pi \int_0^1 {{{\left( {\sqrt y + 2} \right)}^2}dy} \\ \\ = \pi \int_0^1 {\left( {y + 4{y^{\frac{1}{2}}} + 4} \right)dy} = \pi \left. {\left( {\frac{{{y^2}}}{2} + 4 \times \frac{2}{3}{y^{\frac{3}{2}}} + 4y} \right)} \right|_0^1\\ \\ = \pi \left( {\frac{1}{2} + \frac{8}{3} + 4} \right) = \frac{{43}}{6}\pi \end{array}\]


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

انتگرال و کاربرد آن

محاسبه حجممحاسبه حجم انتگرالمحاسبه حجم به کمک انتگرالمحاسبه حجم جسم دوار

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

guest
15 دیدگاه ها
قدیمی ترین
جدیدترین بیشترین آرا
Inline Feedbacks
مشاهده همه دیدگاه ها