محاسبه حجم به کمک انتگرال

محاسبه حجم به کمک انتگرال:

برای محاسبه حجم به کمک انتگرال باید ابتدا مشخص کنیم مساحت ناحیه موردنظر حول چه محور یا خطی دوران می‌کند. در حالت کلی میتوان دوران حول چهار محور را در نظر گرفت.

دوران حول محور  xها:

اگر مساحت زیر منحنی تابع  f( x ) در بازه  [ {a,b} ] را حول محور  xها دوران دهیم، برای محاسبه حجم به کمک انتگرال از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

{V_x} = \pi \int_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}

محاسبه حجم به کمک انتگرال

به همین ترتیب اگر مساحت بین دو منحنی  f( x )   و  g( x )   را در بازه  [ {a,b} ]  را حول محور  xها دوران دهیم، محاسبه حجم به کمک انتگرال به کمک رابطه زیر خواهد بود:

    \[{V_x} = \pi \int_a^b {\left( {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right)dx} \]

دوران حول خط  y = k :

اگر مساحت زیر منحنی تابع  f( x )  در بازه  [ {a,b} ]  را حول خط  y = k  دوران دهیم، محاسبه حجم به کمک انتگرال از رابطه زیر انجام می‌گردد:

{V_{y = k}} = \pi \int_a^b {{{\left[ {f\left( x \right) - k} \right]}^2}dx}

محاسبه حجم به کمک انتگرال

دوران حول محور  yها:

اگر مساحت ناحیه بین منحنی تابع  f( x )  و محور  yها در بازه  [ {a,b} ]  را حول محور  yها دوران دهیم، برای محاسبه حجم بدست آمده باید ابتدا  x   را بر حسب  y   بدست آورده (  x = {f^{ - 1}}( y ) ) و سپس از رابطه زیر حجم را محاسبه کنیم (c و d نقاط متناظر a و b روی محور y هستند):

{V_y} = \pi \int_c^d {{x^2}dy}

محاسبه حجم به کمک انتگرال

دوران حول خط   x = k :

اگر مساحت ناحیه بین منحنی تابع  f(x)  و خط  x = k  در بازه    را حول خط  x = k  دوران دهیم، حجم بدست آمده از رابطه زیر بدست می‌آید:

{V_{x = k}} = \pi \int_c^d {{{\left( {x - k} \right)}^2}dy}

محاسبه حجم به کمک انتگرال


این آموزش را نیز مطالعه کنید:  یافتن جواب سری‌ها به کمک انتگرال


مثال: حجم حاصل از دوران  y = {x^2}   در بازه  [ {0,1} ]  را حول محورهای زیر بیابید:

الف) محور   xها    ب) محور   yها    ج) خط  y = - 1      د) خط  x = - 2

حل:

الف)

{V_x} = \pi \int_0^1 {{x^4}dx} = \left. {\pi {{{x^5}} \over 5}} \right|_0^1 = \pi \left( {{1 \over 5} - 0} \right) = {\pi \over 5}

ب)

    \[\begin{array}{l} y = {x^2} \Rightarrow x = \sqrt y {\rm{ }},{\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l} {\rm{ }}x = 0 \Rightarrow y = 0\\ x = 1 \Rightarrow y = 1 \end{array} \right.\\ \\ \\ {V_y} = \pi \int_{y = 0}^1 {{x^2}dy} = \pi \int_{y = 0}^1 {ydy} = \left. {\pi \frac{{{y^2}}}{2}} \right|_0^1 = \frac{\pi }{2} \end{array}\]

ج)

    \[\begin{array}{l} {V_{y = - 1}} = \pi \int_0^1 {{{\left[ {{x^2} - \left( { - 1} \right)} \right]}^2}dx} = \pi \int_0^1 {{{\left[ {{x^2} + 1} \right]}^2}dx} \\ \\ = \pi \int_0^1 {\left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right)dx} = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^5}}}{5} + \frac{2}{3}{x^3} + x} \right)} \right|_0^1\\ \\ = \frac{{28}}{{15}}\pi \end{array}\]

د)

    \[\begin{array}{l} {V_{x = - 2}} = \pi \int_0^1 {{{\left( {x - ( - 2)} \right)}^2}dy} = \pi \int_0^1 {{{\left( {\sqrt y + 2} \right)}^2}dy} \\ \\ = \pi \int_0^1 {\left( {y + 4{y^{\frac{1}{2}}} + 4} \right)dy} = \pi \left. {\left( {\frac{{{y^2}}}{2} + 4 \times \frac{2}{3}{y^{\frac{3}{2}}} + 4y} \right)} \right|_0^1\\ \\ = \pi \left( {\frac{1}{2} + \frac{8}{3} + 4} \right) = \frac{{43}}{6}\pi \end{array}\]


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

انتگرال و کاربرد آن

محاسبه حجممحاسبه حجم انتگرالمحاسبه حجم به کمک انتگرالمحاسبه حجم جسم دوار

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

15 دیدگاه

  • با سلام. اگر مساحت يك سطح را داشته باشيم وبخواهيم حجم ان ناشي از دوران حول محور خط تقارن ان
    (در طراحي دو بعدي جسمي بصورت دوبعدي ترسيم ميشود نياز است كه حجم انرا بدست اوريم)

    • سلام
      اگر منظورتان این است که آیا میتوان صرفاً با داشتن مساحت یک شکل، حجم ناشی از دوران حول محور تقارن را یافت جوابتان خیر هست. بستگی به شکل هم دارد.
      بهترین راه، داشتن فرمول تابع ایجاد کننده سطح و استفاده از فرمولهای مقاله بالاست.

  • سلام عرض میکنم خدمت شما استاد بزرگوار.
    واقعاً متشکرم. سایت شما بهترین سایتی بود که ریاضی دانشگاه آموزش میده. من پکیجهاتون رو هم گرفتم و تازه فهمیدم ریاضی چیه!
    اگه تشریف آوردید بوشهر حتماً اطلاع بدید برسم خدمتتون.
    متشکرم

  • ببخشيد ميشه نحوه به دست امدن فرمول هارو توضيح بدين؟؟

    • با سلام
      کافیست نسبت به هر محور دوران دلخواه یک المان طول مناسب (dx یا dy) در نظر گرفته و سطح بدست آمده از محور دوران تا تابع (dA) رو حول آن محور دوران دهیم تا المان حجم (یعنی dV) بدست آید. با انتگرال‌گیری از المان حجم، میتوان فرمول حجم کل را یافت.
      توضیح کامل این قسمت در پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ به تفصیل ارائه شده است که از طریق لینک زیر میتوانید تهیه کنید:
      لینک پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه

  • باعرض سلام وخسته نباشید. من ریاضی رو اصلا متوجه نمیشم و میخام ریاضی رو یاد بگیرم برای مبحث های استاتیک وغیره لطفا راهنمایی کنید

  • خدا به همراهتان. امیدوارم در عمر خودتون برکت رو ببینید.

  • خیلی خوب بود ولی اگه نتونیم معکوس تابع رو به این راحتی پیداکنیم چی؟
    مثلا بخواهیم قسمتی از منحنی
    y=xsinx رو که در ربع اوله،
    حول x=0 یا همون محور yها دوران دهیم
    چطور عمل کنیم؟ اگه ممکنه راهنمائی کنید
    ممنونم

    • شایدمسخره بنظربرسه که خودم به خودم جواب میدم (:
      بعداز حدود 2:30 ساعت کلنجار با مسئله، تونستم مشکل رو حل کنم و آخرش بگم ااااا چقدر ساده!!!…خب زیبایی ریاضی همینه
      بهرحال ممنون

  • یا منحنی y^2=-x^3+x^2
    درفاصله x0
    که حول محور y دوران کند
    …………………………
    این مسائل از کتاب ریاضی جورج توماس هستن که الان دارم مطالعه میکنم

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *