محاسبه حجم به کمک انتگرال:
برای محاسبه حجم به کمک انتگرال باید ابتدا مشخص کنیم مساحت ناحیه موردنظر حول چه محور یا خطی دوران میکند. در حالت کلی میتوان دوران حول چهار محور را در نظر گرفت.
دوران حول محور
ها:
اگر مساحت زیر منحنی تابع در بازه
را حول محور
ها دوران دهیم، برای محاسبه حجم به کمک انتگرال از رابطه زیر استفاده میکنیم:
به همین ترتیب اگر مساحت بین دو منحنی و
را در بازه
را حول محور
ها دوران دهیم، محاسبه حجم به کمک انتگرال به کمک رابطه زیر خواهد بود:
دوران حول خط
:
اگر مساحت زیر منحنی تابع در بازه
را حول خط
دوران دهیم، محاسبه حجم به کمک انتگرال از رابطه زیر انجام میگردد:
دوران حول محور
ها:
اگر مساحت ناحیه بین منحنی تابع و محور
ها در بازه
را حول محور
ها دوران دهیم، برای محاسبه حجم بدست آمده باید ابتدا
را بر حسب
بدست آورده (
) و سپس از رابطه زیر حجم را محاسبه کنیم (c و d نقاط متناظر a و b روی محور y هستند):
دوران حول خط
:
اگر مساحت ناحیه بین منحنی تابع f(x) و خط x = k در بازه را حول خط x = k دوران دهیم، حجم بدست آمده از رابطه زیر بدست میآید:
این آموزش را نیز مطالعه کنید: یافتن جواب سریها به کمک انتگرال
مثال: حجم حاصل از دوران در بازه
را حول محورهای زیر بیابید:
الف) محور ها ب) محور
ها ج) خط
د) خط
حل:
الف)
ب)
ج)
د)
برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:
برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشدهاید، همین الان عضو شوید و از آموزشهای رایگان استفاده کنید
ممنون مطلبتون کمک زیادی بهم کرد❤️❤️
با سلام. اگر مساحت يك سطح را داشته باشيم وبخواهيم حجم ان ناشي از دوران حول محور خط تقارن ان
(در طراحي دو بعدي جسمي بصورت دوبعدي ترسيم ميشود نياز است كه حجم انرا بدست اوريم)
سلام
اگر منظورتان این است که آیا میتوان صرفاً با داشتن مساحت یک شکل، حجم ناشی از دوران حول محور تقارن را یافت جوابتان خیر هست. بستگی به شکل هم دارد.
بهترین راه، داشتن فرمول تابع ایجاد کننده سطح و استفاده از فرمولهای مقاله بالاست.
سلام عرض میکنم خدمت شما استاد بزرگوار.
واقعاً متشکرم. سایت شما بهترین سایتی بود که ریاضی دانشگاه آموزش میده. من پکیجهاتون رو هم گرفتم و تازه فهمیدم ریاضی چیه!
اگه تشریف آوردید بوشهر حتماً اطلاع بدید برسم خدمتتون.
متشکرم
ببخشيد ميشه نحوه به دست امدن فرمول هارو توضيح بدين؟؟
با سلام
کافیست نسبت به هر محور دوران دلخواه یک المان طول مناسب (dx یا dy) در نظر گرفته و سطح بدست آمده از محور دوران تا تابع (dA) رو حول آن محور دوران دهیم تا المان حجم (یعنی dV) بدست آید. با انتگرالگیری از المان حجم، میتوان فرمول حجم کل را یافت.
توضیح کامل این قسمت در پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ به تفصیل ارائه شده است که از طریق لینک زیر میتوانید تهیه کنید:
لینک پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه
باعرض سلام وخسته نباشید. من ریاضی رو اصلا متوجه نمیشم و میخام ریاضی رو یاد بگیرم برای مبحث های استاتیک وغیره لطفا راهنمایی کنید
با سلام
برای شروع یادگیری ریاضیات مورد نیاز برای درس استاتیک (ایستایی) و بقیه دروس مهندسی، به ترتیب پکیجهای زیر را تهیه و مشاهده کنید:
پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه
پکیج آموزش ریاضی عمومی ۲ دانشگاه
پکیج آموزش معادلات دیفرانسیل دانشگاه
سپاس آقای مهندس. خوب و واقعا مفید بود.
خدا به همراهتان. امیدوارم در عمر خودتون برکت رو ببینید.
عالي بود
خیلی خوب بود ولی اگه نتونیم معکوس تابع رو به این راحتی پیداکنیم چی؟
مثلا بخواهیم قسمتی از منحنی
y=xsinx رو که در ربع اوله،
حول x=0 یا همون محور yها دوران دهیم
چطور عمل کنیم؟ اگه ممکنه راهنمائی کنید
ممنونم
شایدمسخره بنظربرسه که خودم به خودم جواب میدم (:
بعداز حدود 2:30 ساعت کلنجار با مسئله، تونستم مشکل رو حل کنم و آخرش بگم ااااا چقدر ساده!!!…خب زیبایی ریاضی همینه
بهرحال ممنون
یا منحنی y^2=-x^3+x^2
درفاصله x0
که حول محور y دوران کند
…………………………
این مسائل از کتاب ریاضی جورج توماس هستن که الان دارم مطالعه میکنم
ببخشید در سوال قبلی محدوده x بین 0 و 1 است
بازم ممنون