محاسبه حجم به کمک انتگرال:
برای محاسبه حجم به کمک انتگرال باید ابتدا مشخص کنیم مساحت ناحیه موردنظر حول چه محور یا خطی دوران می‌کند. در حالت کلی میتوان دوران حول چهار محور را در نظر گرفت.
دوران حول محور 
ها:
اگر مساحت زیر منحنی تابع 
در بازه 
را حول محور 
ها دوران دهیم، برای محاسبه حجم به کمک انتگرال از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:
به همین ترتیب اگر مساحت بین دو منحنی و 
را در بازه را حول محور ها دوران دهیم، محاسبه حجم به کمک انتگرال به کمک رابطه زیر خواهد بود:
دوران حول خط 
:
اگر مساحت زیر منحنی تابع در بازه را حول خط 
دوران دهیم، محاسبه حجم به کمک انتگرال از رابطه زیر انجام می‌گردد:
دوران حول محور 
ها:
اگر مساحت ناحیه بین منحنی تابع و محور 
ها در بازه را حول محور ها دوران دهیم، برای محاسبه حجم بدست آمده باید ابتدا را بر حسب بدست آورده ( 
) و سپس از رابطه زیر حجم را محاسبه کنیم (c و d نقاط متناظر a و b روی محور y هستند):
دوران حول خط 
:
: اگر مساحت ناحیه بین منحنی تابع f(x) و خط x = k در بازه [a,b] را حول خط x = k دوران دهیم، حجم بدست آمده از رابطه زیر بدست می‌آید:
این آموزش را نیز مطالعه کنید: یافتن جواب سری‌ها به کمک انتگرال
مثال: حجم حاصل از دوران 
در بازه 
را حول محورهای زیر بیابید:
الف) محور ها ب) محور ها ج) خط 
د) خط 
حل:
الف)
ب)
ج)
د)
برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:
){kind=link}
15 ديدگاه
zahra
ممنون مطلبتون کمک زیادی بهم کرد❤️❤️
حسين
با سلام. اگر مساحت یک سطح را داشته باشیم وبخواهیم حجم ان ناشی از دوران حول محور خط تقارن ان
(در طراحی دو بعدی جسمی بصورت دوبعدی ترسیم میشود نیاز است که حجم انرا بدست اوریم)
امین یارمحمدی
سلام
اگر منظورتان این است که آیا میتوان صرفاً با داشتن مساحت یک شکل، حجم ناشی از دوران حول محور تقارن را یافت جوابتان خیر هست. بستگی به شکل هم دارد.
بهترین راه، داشتن فرمول تابع ایجاد کننده سطح و استفاده از فرمولهای مقاله بالاست.
احمد
سلام عرض میکنم خدمت شما استاد بزرگوار.
واقعاً متشکرم. سایت شما بهترین سایتی بود که ریاضی دانشگاه آموزش میده. من پکیجهاتون رو هم گرفتم و تازه فهمیدم ریاضی چیه!
اگه تشریف آوردید بوشهر حتماً اطلاع بدید برسم خدمتتون.
متشکرم
123864Ali
ببخشید میشه نحوه به دست امدن فرمول هارو توضیح بدین؟؟
امین یارمحمدی
با سلام
کافیست نسبت به هر محور دوران دلخواه یک المان طول مناسب (dx یا dy) در نظر گرفته و سطح بدست آمده از محور دوران تا تابع (dA) رو حول آن محور دوران دهیم تا المان حجم (یعنی dV) بدست آید. با انتگرال‌گیری از المان حجم، میتوان فرمول حجم کل را یافت.
توضیح کامل این قسمت در پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ به تفصیل ارائه شده است که از طریق لینک زیر میتوانید تهیه کنید:
لینک پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه
سید جواد
باعرض سلام وخسته نباشید. من ریاضی رو اصلا متوجه نمیشم و میخام ریاضی رو یاد بگیرم برای مبحث های استاتیک وغیره لطفا راهنمایی کنید
امین یارمحمدی
با سلام
برای شروع یادگیری ریاضیات مورد نیاز برای درس استاتیک (ایستایی) و بقیه دروس مهندسی، به ترتیب پکیج‌های زیر را تهیه و مشاهده کنید:
پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه
پکیج آموزش ریاضی عمومی ۲ دانشگاه
پکیج آموزش معادلات دیفرانسیل دانشگاه
ماهان
سپاس آقای مهندس. خوب و واقعا مفید بود.
وحیده
خدا به همراهتان. امیدوارم در عمر خودتون برکت رو ببینید.
Kausar
عالی بود
فروهر
خیلی خوب بود ولی اگه نتونیم معکوس تابع رو به این راحتی پیداکنیم چی؟
مثلا بخواهیم قسمتی از منحنی
y=xsinx رو که در ربع اوله،
حول x=0 یا همون محور yها دوران دهیم
چطور عمل کنیم؟ اگه ممکنه راهنمائی کنید
ممنونم
فروهر
شایدمسخره بنظربرسه که خودم به خودم جواب میدم (:
بعداز حدود ۲:۳۰ ساعت کلنجار با مسئله، تونستم مشکل رو حل کنم و آخرش بگم ااااا چقدر ساده!!!…خب زیبایی ریاضی همینه
بهرحال ممنون
فروهر
یا منحنی y^2=-x^3+x^2
درفاصله x0
که حول محور y دوران کند
…………………………
این مسائل از کتاب ریاضی جورج توماس هستن که الان دارم مطالعه میکنم
فروهر
ببخشید در سوال قبلی محدوده x بین ۰ و ۱ است
بازم ممنون