مجانب‌های منحنی (یافتن خطوط مماس برتابع در فواصل دور)

تلفن:09123872834ایمیل:info[at]masirefarda.com

وبلاگ ریاضی عمومی ۱ دانشگاه مشتق و کاربرد آن مجانب‌های منحنی (یافتن خطوط مماس برتابع در فواصل دور)

مجانب‌های منحنی:

مجانب‌های منحنی خطوطی هستند که تابع در فاصله بسیار دور بر آن‌ها مماس است. و بر سه نوع افقی، قائم و مایل است:

مجانب‌ قائم در هر نقطه‌ای مانند ${x_0}$ می‌تواند اتفاق بیفتد. پس یک تابع می‌تواند بی‌نهایت مجانب‌ قائم داشته باشد. مانند توابع $f\left( x \right) = \tan x$ و $f\left( x \right) = \cot x$ . ولی مجانب‌های افقی و مایل در بی‌نهایت ( $- \infty$ یا $+ \infty$ ) اتفاق می‌افتند. پس یک تابع حداکثر ۲ مجانب افقی یا ۲ مجانب مایل یا همزمان ۱ مجانب افقی و ۱ مجانب مایل می‌تواند داشته باشد.

برای یافتن مجانب‌های قائم کافیست مخرج تابع را مساوی صفر قرار دهیم. (برخی استثنائات نیز وجود دارد مثلاً $f\left( x \right) = \log x$ که در $x = 0$ مجانب قائم دارد)

برای یافتن مجانب‌های افقی کافیست حد تابع در $- \infty$ و $+ \infty$ را بیابیم. اگر جواب حد یک عدد ثابت مانند $b$ بود، $y = b$ مجانب افقی آن تابع است.

اگر جواب حد به سمت $\pm \infty$ میل کند احتمالاً تابع دارای مجانب مایل است. (ممکن است جواب حد به سمت $\pm \infty$ میل کند ولی تابع دارای مجانب مایل نباشد)

مجانب مایل خطی است مانند $y = ax + b$ که $a$ و $b$ از روابط زیر بدست می‌آیند:

$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}{\rm{ , }}b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {f\left( x \right) - ax} \right)$

که ممکن است جواب‌ها برای $- \infty$ و $+ \infty$ متفاوت باشند. پس در مواقعی که جواب احتمال دارد در $- \infty$ و $+ \infty$ متفاوت باشد، $a$ و $b$ را جداگانه برای $- \infty$ و $+ \infty$ محاسبه می‌کنیم. اگر $a$ و $b$ دو عدد حقیقی باشند تابع دارای مجانب مایل است.

این آموزش را نیز مطالعه کنید: روش‌های محاسبه حد

مثال: مجانب‌های منحنی تابع $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{x + 1}}$ را بیابید.

حل: ابتدا برای یافتن مجانب‌های افقی، مخرج را مساوی صفر قرار می‌دهیم:

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1$

پس ${x = - 1}$ تنها مجانب قائم تابع است.

سپس حد تابع را در $\pm \infty$ می‌یابیم تا مجانب‌های افقی تابع را بیابیم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2}}}{x}\mathop { = \lim }\limits_{x \to \pm \infty } x = \pm \infty$

پس تابع دارای مجانب افقی نیست.

‏برای بررسی اینکه تابع مجانب مایل دارد یا نه، باید $a$ و $b$ را از روابط زیر محاسبه کنیم:

$\begin{array}{l} a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{\frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{x + 1}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} = 1\\ \\ b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {f\left( x \right) - ax} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{x + 1}} - x} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 2x - 1 - {x^2} - x}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right) \Rightarrow b = 1\\ \end{array}$

پس ${y = x + 1}$ مجانب مایل تابع است.‌ شکل این تابع به این صورت است:

تمرین: مجانب‌های منحنی تابع $f\left( x \right) = \frac{{2x + 5}}{{x - 3}}$ را بیابید.

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1396-10-05

مشتق و کاربرد آن

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.