مجانب‌های منحنی:

مجانب‌های منحنی خطوطی هستند که تابع در فاصله بسیار دور بر آن‌ها مماس است. و بر سه نوع افقی، قائم و مایل است:

 

مجانب‌های منحنی

 

مجانب‌ قائم در هر نقطه‌ای مانند  {x_0}   می‌تواند اتفاق بیفتد. پس یک تابع می‌تواند بی‌نهایت مجانب‌ قائم داشته باشد. مانند توابع  f\left( x \right) = \tan x   و  f\left( x \right) = \cot x .  ولی مجانب‌های افقی و مایل در بی‌نهایت (  - \infty  یا  + \infty  ) اتفاق می‌افتند. پس یک تابع حداکثر ۲ مجانب افقی یا ۲ مجانب مایل یا همزمان ۱ مجانب افقی و ۱ مجانب مایل می‌تواند داشته باشد.

برای یافتن مجانب‌های قائم کافیست مخرج تابع را مساوی صفر قرار دهیم. (برخی استثنائات نیز وجود دارد مثلاً  f\left( x \right) = \log x  که در  x = 0  مجانب قائم دارد)

برای یافتن مجانب‌های افقی کافیست حد تابع در  - \infty  و  + \infty  را بیابیم. اگر جواب حد یک عدد ثابت مانند  b  بود،   y = b  مجانب افقی آن تابع است.

اگر جواب حد به سمت  \pm \infty  میل کند احتمالاً تابع دارای مجانب مایل است. (ممکن است جواب حد به سمت  \pm \infty  میل کند ولی تابع دارای مجانب مایل نباشد)

مجانب مایل خطی است مانند  y = ax + b  که  a   و  b   از روابط زیر بدست می‌آیند:

a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}{\rm{ , }}b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {f\left( x \right) - ax} \right)

که ممکن است جواب‌ها برای  - \infty  و  + \infty  متفاوت باشند. پس در مواقعی که جواب احتمال دارد در  - \infty  و  + \infty  متفاوت باشد،  a   و  b   را جداگانه برای  - \infty  و  + \infty   محاسبه می‌کنیم. اگر  a   و  b   دو عدد حقیقی باشند تابع دارای مجانب مایل است.


این آموزش را نیز مطالعه کنید: روش‌های محاسبه حد 


مثال: مجانب‌های منحنی تابع  f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{x + 1}}  را بیابید.

حل: ابتدا برای یافتن مجانب‌های افقی، مخرج را مساوی صفر قرار می‌دهیم:

x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1

پس  {x = - 1}  تنها مجانب قائم تابع است.

سپس حد تابع را در  \pm \infty  می‌یابیم تا مجانب‌های افقی تابع را بیابیم:

\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2}}}{x}\mathop { = \lim }\limits_{x \to \pm \infty } x = \pm \infty

پس تابع دارای مجانب افقی نیست.

برای بررسی اینکه تابع مجانب مایل دارد یا نه، باید  a   و  b   را از روابط زیر محاسبه کنیم:

\begin{array}{l} a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{\frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{x + 1}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} = 1\\ \\ b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {f\left( x \right) - ax} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{x + 1}} - x} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 2x - 1 - {x^2} - x}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right) \Rightarrow b = 1\\  \end{array}

پس  {y = x + 1}  مجانب مایل تابع است.‌ شکل این تابع به این صورت است:

 

مجانب‌های منحنی

 

تمرین: مجانب‌های منحنی تابع  f\left( x \right) = \frac{{2x + 5}}{{x - 3}}   را بیابید.


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

مشتق و کاربرد آن

مجانب افقیمجانب قائممجانب مایلمجانب‌های افقیمجانب‌های قائممجانب‌های مایلمجانب‌های منحنیمماس

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *