لگاریتم اعداد مختلط و نسبت های مثلثاتی اعداد مختلط

لگاریتم اعداد مختلط و نسبت های مثلثاتی اعداد مختلط:

محاسبه لگاریتم اعداد مختلط ( Ln\left( z \right) ):

برای محاسبه لگاریتم اعداد مختلط   Ln\left( z \right)  باید حتما آرگومان را با   2k\pi  جمع کنیم:

    \[Ln\left( z \right) = Ln\left( r \right) + i(\theta + 2k\pi )\]

پس لگاریتم طبیعی یک عدد مختلط دارای بیشمار جواب است

مثال: حاصل   Ln\left( { - i} \right)  را بیابید.

حل: ابتدا   - i  را به فرم قطبی مینویسیم

    \[ - i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} r = 1\\ \theta = - \frac{\pi }{2} \end{array} \right.\]

پس داریم:

    \[Ln\left( { - i} \right) = \underbrace {Ln\left( 1 \right)}_0 + i( - \frac{\pi }{2} + 2k\pi ) = i( - \frac{\pi }{2} + 2k\pi )\]

که به ازای   k = 1,2,...  بیشمار جواب دارد.

تمرین: لگاریتم طبیعی اعداد مختلط زیر را بیابید

  1. 1 + i
  2. \sqrt 3 + i
  3. - 1
  4. 4i

 

نسبت های مثلثاتی اعداد مختلط:

نکته:

    \[\begin{array}{l} \cos i\theta = \cosh \theta \\ \sin \theta = i\sinh \theta \end{array}\]

مثال: حاصل   \cos (3 + 5i)  را بیابید.

حل: با استفاده از خواص مثلثات داریم:

    \[\cos (3 + 5i) = \cos 3\cos 5i - \sin 3\sin 5i = \cos 3\cosh 5 - i\sin 3\sinh 5\]

تمرین: حاصل   \sin (4 + 3i)  را بیابید.

 

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

اعداد و توابع مختلط

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

2 دیدگاه

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *