قضیه مقدار میانی و قضیه بولتزانو (اثبات وجود ریشه در یک بازه)

تلفن:09123872834ایمیل:info[at]masirefarda.com

وبلاگ ریاضی عمومی ۱ دانشگاه حد و پیوستگی قضیه مقدار میانی و قضیه بولتزانو (اثبات وجود ریشه در یک بازه)

قضیه مقدار میانی و قضیه بولتزانو:

قضایای اساسی ریاضیات از فصل مشتق به بعد معرفی می‌شوند زیرا شرط مشتقپذیری در اکثر قضایا نیاز است. ولی یادگیری قضیه مقدار میانی و قضیه بولتزانو (بولزانو) نیازی به دانستن مشتق ندارد.

قضیه مقدار میانی:

اگر تابع $f\left( x \right)$ بر بازه $\left[ {a,b} \right]$ پیوسته و $f\left( a \right) < d < f\left( b \right)$ باشد آنگاه حداقل یک $c$ وجود دارد. که مقدار تابع در $x = c$ برابر با $d$ باشد یعنی:

$f\left( c \right) = d$

این قضیه را به صورت هندسی میتوان به شکل زیر نمایش داد:

به دلیل پیوسته بودن تابع $f\left( x \right)$ به ازای هر $d$ دلخواه بین $f\left( a \right)$ و $f\left( b \right)$ باید حتما حداقل یک بین $a$ و $b$ وجود داشته باشد. که مقدار تابع در $x = c$ برابر با $d$ باشد.

نکته: واژه «حداقل» به این معناست که $c$ می‌تواند بیشتر از یک عدد باشد. یعنی $x$ های دیگری نیز وجود داشته باشند که $f\left( {{c_i}} \right) = d$

قضیه بولتزانو:

اگر تابع $f\left( x \right)$ بر بازه $\left[ {a,b} \right]$ پیوسته و $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0$ باشد آنگاه حداقل یک $c$ وجود دارد که مقدار تابع در $x=c$ برابر با صفر باشد یعنی:

$f\left( c \right) = 0$

این قضیه را به صورت هندسی میتوان به شکل زیر نمایش داد:

مشخصاً اگر $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0$ باشد یعنی یکی منفی و دیگری مثبت است به دلیل پیوسته بودن تابع $f\left( x \right)$ بر این بازه، باید حتما حداقل از. یک نقطه با مقدار صفر (از محور xها) عبور کند که البته می‌تواند به تعداد بیش از یک بار هم محور xها را قطع کند:

از این قضیه برای اثبات وجود ریشه بین دو نقطه استفاده می‌شود.

مثال: ثابت کنید تابع $f\left( x \right) = {x^4} - 5x + 2$ بر بازه $\left[ {1,2} \right]$ حداقل یک ریشه دارد.

حل: این تابع از نوع چندجمله‌ای است پس همه جا پیوسته است و با توجه به اینکه $f\left( 1 \right) = {1^4} - 5 \times 1 + 2 = - 2$ و $f\left( 2 \right) = {2^4} - 5 \times 2 + 2 = 8$ پس $f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) < 0$ پس در شرایط قضیه بولتزانو صدق می‌کند در نتیجه بر بازه $\left[ {1,2} \right]$ حداقل یک ریشه دارد.

تمرین: نشان دهید که معادله $\sin x = {x^2} - x - 3$ بر بازه $\left[ {0,\pi } \right]$ حداقل یک ریشه دارد.

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1396-06-21

حد و پیوستگی

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.