قضیه رول:

هرگاه تابع $f\left( x \right)$ بر بازه $\left[ {a,b} \right]$ پیوسته و بر $\left( {a,b} \right)$ مشتق‌پذیر باشد و $f\left( a \right) = f\left( b \right)$ آنگاه مطابق قضیه رول حتماً حداقل یک نقطه مانند $c$ وجود دارد که: $f'\left( c \right) = 0$

از قضیه رول برای اثبات وجود ریشه یا پیدا کردن تعداد ریشه‌ها در یک بازه استفاده می‌کنیم.

مثال: معادله $x{e^x} - 1 = 0$ در بازه $\left[ {0,1} \right]$ چند ریشه دارد؟

حل: تابع $f\left( x \right) = x{e^x} - 1$ در بازه $\left[ {0,1} \right]$ پیوسته و مشتق‌پذیر است و :

$\begin{array}{l} f\left( 0 \right) = - 1 < 0\\ f\left( 1 \right) = e - 1 > 0 \end{array}$

پس طبق قضیه بولتزانو (فصل حد و پیوستگی) حداقل یک $c$ وجود دارد که $f\left( c \right) = 0$

مشتق تابع به صورت زیر است:

$\begin{array}{l} f'\left( x \right) = {e^x} + x{e^x} = {e^x}\left( {x + 1} \right)\\ f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = - 1 \end{array}$

پس مشتق تابع در بازه $\left[ {0,1} \right]$ ریشه ندارد در نتیجه طبق قضیه رول معادله $f\left( x \right) = 0$ نمی‌تواند ۲ ریشه داشته باشد، زیرا اگر ۲ ریشه داشت باید $f'\left( x \right)$ حداقل یک ریشه در این بازه داشت که ندارد، پس حداکثر یک ریشه دارد و با توجه به اینکه ثابت کردیم حداقل یک ریشه دارد پس میتوان نتیجه گرفت دقیقاً یک ریشه دارد.

تمرین: مقدار $c$ مربوط به قضیه رول را برای تابع $f(x) = {x^4} + 4{x^2} + 1$ بر بازه $\left[ { - 2,2} \right]$ بیابید.

قضیه مقدار میانگین (لاگرانژ):

هرگاه تابع $f\left( x \right)$ بر بازه $\left[ {a,b} \right]$ پیوسته و بر $\left( {a,b} \right)$ مشتق‌پذیر باشد آنگاه حداقل یک $c$ در این بازه وجود دارد که:

$f'\left( c \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}$

شکل زیر این موضوع را به خوبی نمایش می‌دهد:

یعنی حداقل یک نقطه وجود دارد که شیب خط مماس بر تابع در آن نقطه (یعنی مشتق تابع در آن نقطه) با شیب خط گذرنده از ابتدا و انتهای بازه برابر است.

مثال: مقدار $c$ مربوط به قضیه مقدار میانگین را در بازه $\left[ {1,3} \right]$ برای تابع $f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 1$ بیابید.

حل:

$\begin{array}{l} f'\left( c \right) = \frac{{f\left( 3 \right) - f\left( 1 \right)}}{{3 - 1}} = \frac{{\left( {{3^2} - 3 \times 3 + 1} \right) - \left( {{1^2} - 3 \times 1 + 1} \right)}}{2} = \frac{{1 - \left( { - 1} \right)}}{2} = 1\\ f'\left( x \right) = 2x - 3 \Rightarrow f'\left( c \right) = 2c - 3 = 1 \Rightarrow c = 2 \end{array}$

تمرین: به کمک قضیه مقدار میانگین ثابت کنید:

$\forall x > 0:{\rm{ }}\frac{x}{{1 + {x^2}}} < {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x < x$

این آموزش را نیز مطالعه کنید: تقریب تابع (یافتن مقدار تابع در یک نقطه به کمک نقاط اطراف آن نقطه)

قضیه کوشی:

هرگاه توابع $f\left( x \right)$ و $g\left( x \right)$ بر بازه $\left[ {a,b} \right]$ پیوسته و بر $\left( {a,b} \right)$ مشتق‌پذیر باشند و $g'\left( x \right)$ در این بازه ناصفر باشد، آنگاه حداقل یک $c$ در این بازه وجود دارد که:

$\frac{{f'\left( c \right)}}{{g'\left( c \right)}} = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{g\left( b \right) - g\left( a \right)}}$

مثال: مقدار $c$ مربوط به قضیه کوشی را در بازه $\left[ {0,\pi } \right]$ برای توابع $f\left( x \right) = \sin x$ و $g\left( x \right) = \cos x$ بیابید.

حل: دو تابع در شرایط قضیه کوشی صدق می‌کنند پس داریم:

$\begin{array}{l} \frac{{f'\left( c \right)}}{{g'\left( c \right)}} = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{g\left( b \right) - g\left( a \right)}} \Rightarrow \frac{{\cos c}}{{ - \sin c}} = \frac{{\sin \pi - \sin 0}}{{\cos \pi - \cos 0}} \Rightarrow - \frac{{\cos c}}{{\sin c}} = \frac{0}{{ - 2}} = 0\\ \Rightarrow \cos c = 0 \Rightarrow c = \frac{\pi }{2} \end{array}$

تمرین: مقدار $c$ مربوط به قضیه کوشی را در بازه $\left[ {0,2} \right]$ برای توابع $f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 1$ و $g\left( x \right) = - 3{x^2} + 4x - 1$ بیابید.

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1396-11-10

مشتق و کاربرد آن

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.