قضیه رول:
هرگاه تابع بر بازه
پیوسته و بر
مشتقپذیر باشد و
آنگاه مطابق قضیه رول حتماً حداقل یک نقطه مانند
وجود دارد که:
از قضیه رول برای اثبات وجود ریشه یا پیدا کردن تعداد ریشهها در یک بازه استفاده میکنیم.
مثال: معادله در بازه
چند ریشه دارد؟
حل: تابع در بازه
پیوسته و مشتقپذیر است و :
پس طبق قضیه بولتزانو (فصل حد و پیوستگی) حداقل یک وجود دارد که
مشتق تابع به صورت زیر است:
پس مشتق تابع در بازه ریشه ندارد در نتیجه طبق قضیه رول معادله
نمیتواند ۲ ریشه داشته باشد، زیرا اگر ۲ ریشه داشت باید
حداقل یک ریشه در این بازه داشت که ندارد، پس حداکثر یک ریشه دارد و با توجه به اینکه ثابت کردیم حداقل یک ریشه دارد پس میتوان نتیجه گرفت دقیقاً یک ریشه دارد.
تمرین: مقدار مربوط به قضیه رول را برای تابع
بر بازه
بیابید.
قضیه مقدار میانگین (لاگرانژ):
هرگاه تابع بر بازه
پیوسته و بر
مشتقپذیر باشد آنگاه حداقل یک
در این بازه وجود دارد که:
شکل زیر این موضوع را به خوبی نمایش میدهد:
یعنی حداقل یک نقطه وجود دارد که شیب خط مماس بر تابع در آن نقطه (یعنی مشتق تابع در آن نقطه) با شیب خط گذرنده از ابتدا و انتهای بازه برابر است.
مثال: مقدار مربوط به قضیه مقدار میانگین را در بازه
برای تابع
بیابید.
حل:
تمرین: به کمک قضیه مقدار میانگین ثابت کنید:
این آموزش را نیز مطالعه کنید: تقریب تابع (یافتن مقدار تابع در یک نقطه به کمک نقاط اطراف آن نقطه)
قضیه کوشی:
هرگاه توابع و
بر بازه
پیوسته و بر
مشتقپذیر باشند و
در این بازه ناصفر باشد، آنگاه حداقل یک
در این بازه وجود دارد که:
مثال: مقدار مربوط به قضیه کوشی را در بازه
برای توابع
و
بیابید.
حل: دو تابع در شرایط قضیه کوشی صدق میکنند پس داریم:
تمرین: مقدار مربوط به قضیه کوشی را در بازه
برای توابع
و
بیابید.
برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:
برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشدهاید، همین الان عضو شوید و از آموزشهای رایگان استفاده کنید