قضیه رول:

هرگاه تابع     بر بازه     پیوسته و بر     مشتق‌پذیر باشد و     آنگاه مطابق قضیه رول حتماً حداقل یک نقطه مانند     وجود دارد که:    

از قضیه رول برای اثبات وجود ریشه یا پیدا کردن تعداد ریشه‌ها در یک بازه استفاده می‌کنیم.

مثال:  معادله     در بازه    چند ریشه دارد؟

حل: تابع    در بازه    پیوسته و مشتق‌پذیر است و :

پس طبق قضیه بولتزانو (فصل حد و پیوستگی) حداقل یک     وجود دارد که    

مشتق تابع به صورت زیر است:

پس مشتق تابع در بازه    ریشه ندارد در نتیجه طبق قضیه رول معادله    نمی‌تواند ۲ ریشه داشته باشد، زیرا اگر ۲ ریشه داشت باید    حداقل یک ریشه در این بازه داشت که ندارد، پس حداکثر یک ریشه دارد و با توجه به اینکه ثابت کردیم حداقل یک ریشه دارد پس میتوان نتیجه گرفت دقیقاً یک ریشه دارد.

تمرین: مقدار    مربوط به قضیه رول را برای تابع     بر بازه    بیابید.

قضیه مقدار میانگین (لاگرانژ):

هرگاه تابع     بر بازه     پیوسته و بر     مشتق‌پذیر باشد آنگاه حداقل یک     در این بازه وجود دارد که:

شکل زیر این موضوع را به خوبی نمایش می‌دهد:

یعنی حداقل یک نقطه وجود دارد که شیب خط مماس بر تابع در آن نقطه (یعنی مشتق تابع در آن نقطه) با شیب خط گذرنده از ابتدا و انتهای بازه برابر است.

مثال: مقدار     مربوط به قضیه مقدار میانگین را در بازه     برای تابع     بیابید.

حل:

تمرین: به کمک قضیه مقدار میانگین ثابت کنید:

این آموزش را نیز مطالعه کنید: تقریب تابع (یافتن مقدار تابع در یک نقطه به کمک نقاط اطراف آن نقطه)

قضیه کوشی:

هرگاه توابع     و     بر بازه     پیوسته و بر     مشتق‌پذیر باشند و    در این بازه ناصفر باشد، آنگاه حداقل یک     در این بازه وجود دارد که:

مثال: مقدار     مربوط به قضیه کوشی را در بازه     برای توابع     و     بیابید.

حل: دو تابع در شرایط قضیه کوشی صدق می‌کنند پس داریم:

تمرین: مقدار     مربوط به قضیه کوشی را در بازه     برای توابع     و     بیابید.

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید: