قضیه رول ، قضیه مقدار میانگین (لاگرانژ) و قضیه کوشی

قضیه رول:

هرگاه تابع   f\left( x \right)  بر بازه  \left[ {a,b} \right]   پیوسته و بر  \left( {a,b} \right)   مشتق‌پذیر باشد و  f\left( a \right) = f\left( b \right)   آنگاه مطابق قضیه رول حتماً حداقل یک نقطه مانند  c   وجود دارد که:   f'\left( c \right) = 0 

قضیه رول ، قضیه مقدار میانگین (لاگرانژ) و قضیه کوشی

 

از قضیه رول برای اثبات وجود ریشه یا پیدا کردن تعداد ریشه‌ها در یک بازه استفاده می‌کنیم.

مثال:  معادله  x{e^x} - 1 = 0   در بازه  \left[ {0,1} \right]  چند ریشه دارد؟

حل: تابع  f\left( x \right) = x{e^x} - 1  در بازه  \left[ {0,1} \right]  پیوسته و مشتق‌پذیر است و :

    \[\begin{array}{l} f\left( 0 \right) = - 1 < 0\\ f\left( 1 \right) = e - 1 > 0 \end{array}\]

پس طبق قضیه بولتزانو (فصل حد و پیوستگی) حداقل یک  c   وجود دارد که  f\left( c \right) = 0  

مشتق تابع به صورت زیر است:

\begin{array}{l} f'\left( x \right) = {e^x} + x{e^x} = {e^x}\left( {x + 1} \right)\\ f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = - 1 \end{array}

پس مشتق تابع در بازه  \left[ {0,1} \right]  ریشه ندارد در نتیجه طبق قضیه رول معادله  f\left( x \right) = 0  نمی‌تواند ۲ ریشه داشته باشد، زیرا اگر ۲ ریشه داشت باید  f'\left( x \right)  حداقل یک ریشه در این بازه داشت که ندارد، پس حداکثر یک ریشه دارد و با توجه به اینکه ثابت کردیم حداقل یک ریشه دارد پس میتوان نتیجه گرفت دقیقاً یک ریشه دارد.

 

تمرین: مقدار  c  مربوط به قضیه رول را برای تابع  f(x) = {x^4} + 4{x^2} + 1   بر بازه  \left[ { - 2,2} \right]  بیابید.

 

 


قضیه مقدار میانگین (لاگرانژ):

هرگاه تابع  f\left( x \right)   بر بازه  \left[ {a,b} \right]   پیوسته و بر  \left( {a,b} \right)   مشتق‌پذیر باشد آنگاه حداقل یک  c   در این بازه وجود دارد که:

f'\left( c \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}

 

شکل زیر این موضوع را به خوبی نمایش می‌دهد:

قضیه رول ، قضیه مقدار میانگین (لاگرانژ) و قضیه کوشی

یعنی حداقل یک نقطه وجود دارد که شیب خط مماس بر تابع در آن نقطه (یعنی مشتق تابع در آن نقطه) با شیب خط گذرنده از ابتدا و انتهای بازه برابر است.

 

مثال: مقدار  c   مربوط به قضیه مقدار میانگین را در بازه  \left[ {1,3} \right]   برای تابع  f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 1   بیابید.

حل:

\begin{array}{l} f'\left( c \right) = \frac{{f\left( 3 \right) - f\left( 1 \right)}}{{3 - 1}} = \frac{{\left( {{3^2} - 3 \times 3 + 1} \right) - \left( {{1^2} - 3 \times 1 + 1} \right)}}{2} = \frac{{1 - \left( { - 1} \right)}}{2} = 1\\ f'\left( x \right) = 2x - 3 \Rightarrow f'\left( c \right) = 2c - 3 = 1 \Rightarrow c = 2 \end{array}

تمرین: به کمک قضیه مقدار میانگین ثابت کنید:

\forall x > 0:{\rm{ }}\frac{x}{{1 + {x^2}}} < {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x < x


این آموزش را نیز مطالعه کنید: تقریب تابع (یافتن مقدار تابع در یک نقطه به کمک نقاط اطراف آن نقطه)


قضیه کوشی:

هرگاه توابع  f\left( x \right)   و  g\left( x \right)   بر بازه  \left[ {a,b} \right]   پیوسته و بر  \left( {a,b} \right)   مشتق‌پذیر باشند و  g'\left( x \right)  در این بازه ناصفر باشد، آنگاه حداقل یک  c   در این بازه وجود دارد که:

    \[\frac{{f'\left( c \right)}}{{g'\left( c \right)}} = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{g\left( b \right) - g\left( a \right)}}\]

مثال: مقدار  c   مربوط به قضیه کوشی را در بازه  \left[ {0,\pi } \right]   برای توابع  f\left( x \right) = \sin x   و  g\left( x \right) = \cos x   بیابید.

حل: دو تابع در شرایط قضیه کوشی صدق می‌کنند پس داریم:

    \[\begin{array}{l} \frac{{f'\left( c \right)}}{{g'\left( c \right)}} = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{g\left( b \right) - g\left( a \right)}} \Rightarrow \frac{{\cos c}}{{ - \sin c}} = \frac{{\sin \pi - \sin 0}}{{\cos \pi - \cos 0}} \Rightarrow - \frac{{\cos c}}{{\sin c}} = \frac{0}{{ - 2}} = 0\\ \Rightarrow \cos c = 0 \Rightarrow c = \frac{\pi }{2} \end{array}\]

تمرین: مقدار  c   مربوط به قضیه کوشی را در بازه  \left[ {0,2} \right]   برای توابع  f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 1   و  g\left( x \right) = - 3{x^2} + 4x - 1   بیابید.


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

مشتق و کاربرد آن

قضیه رولقضیه کوشیقضیه لاگرانژقضیه مقدار میانگین

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

8 دیدگاه

  • مطالب کاربردی و کوتاه هستن. کارم رو راه انداخت ممنون از زحماتتون.

  • سلام چطور پی دی اف رو دانلود کنیم
    نوشته برای دانلود پی دی اف روی لینک زیر کلیک کنید
    لینک زیر مطلب نیست😔😐😐😐😐

  • سلام مجدد منظور من اين هست كه تمام اين آموزش هاي پراكنده كه در سايت قرار دارد در پكيج ها موجود هستند به صورت كامل يا خير ؟

    • با سلام
      بله در پکیج ها به صورت کامل و تصویری و pdf موجود هستند.
      موفق باشید.

  • سلام میشه لطفا مثال اخر قضیه مقدار میانگین رو حل کنید ممنون

    • سلام
      آموزش قضیه مقدار میانگین به همراه مثال و تمرین در پکیج موجود هست

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *