فرم قطبی اعداد مختلط:

میتوان فرم قطبی اعداد مختلط   ( z = x + iy )  را به صورت زیر به دست آورد: ( فرم قطبی  ( r,\theta ) )

فرم قطبی عدد مختلط  

    \[\begin{array}{l} \cos \theta = \frac{x}{r} \Rightarrow x = r\cos \theta \\ \sin \theta = \frac{y}{r} \Rightarrow y = r\sin \theta \\ \Rightarrow z = x + iy = r\cos \theta + ir\sin \theta \\ \Rightarrow z = r(\cos \theta + i\sin \theta ) \end{array}\]

با توجه به اینکه داریم

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
cos \theta  + i\sin \theta  = e^{i\theta

*** Error message:
Missing } inserted.
leading text: $cos \theta  + i\sin \theta  = e^{i\theta$

 (اگه نمی‌دونستید بدونید!) پس: 

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
z = r{e^{i\theta

*** Error message:
Missing } inserted.
leading text: $z = r{e^{i\theta$

جهت یادآوری تکرار می‌کنم که آرگومان اعداد مختلط باید بر حسب رادیان نوشته شود نه بر حسب درجه.

مثال: فرم قطبی اعداد مختلط زیر را بیابید.

    \[\begin{array}{l} {z = 1 - i} \\ \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} = \sqrt 2 \\ \theta = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{{ - 1}}{1}) = - \frac{\pi }{4} \end{array} \right. \Rightarrow z = r{e^{i\theta }} = \sqrt 2 {e^{ - i\frac{\pi }{4}}}\\ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - \\ {z = - 1 + i\sqrt 3} \\ \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {{(\sqrt 3 )}^2}} = \sqrt 4 = 2\\ \theta = \pi + {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{{\sqrt 3 }}{{ - 1}}) = \pi - \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right. \Rightarrow z = r{e^{i\theta }} = 2{e^{\frac{{2\pi i}}{3}}} \end{array}\]

فرم قطبی اعداد مختلط ساده را می‌توان از روی نمودار براحتی بدست آورد. مثلا:

    \[z = 3i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = 3\\ \theta = \frac{\pi }{2} \end{array} \right. \Rightarrow z = r{e^{i\theta }} = 3{e^{i\frac{\pi }{2}}}\]

فرم قطبی اعداد مختلط

زیرا  r  یعنی فاصله از مبدا که فاصله نقطه  z = 3i  از مبدا  3   است و  \theta  زاویه  r  آن عدد با سمت مثبت محور  xها است که اینجا  {90^ \circ }  یا \frac{\pi }{2}  رادیان است.

نکته:

\begin{array}{l} {(\cos \theta + i\sin \theta )^n} = {({e^{i\theta }})^n} = {e^{in\theta }} = \cos n\theta + i\sin n\theta \\ \Rightarrow {(\cos \theta + i\sin \theta )^n} = \cos n\theta + i\sin n\theta \end{array}

به این فرمول، رابطه دموآور گویند.

مثال: مقدار {\left( {\frac{{1 - \sqrt 3 i}}{{1 + \sqrt 3 i}}} \right)^{12}} را بیابید.

حل: ابتدا اعداد مختلط داده شده را به فرم قطبی تبدیل می‌کنیم:

    \[\begin{array}{l} z = 1 - \sqrt 3 i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{( - \sqrt 3 )}^2}} = \sqrt 4 = 2\\ \theta = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{{ - \sqrt 3 }}{1}) = - \frac{\pi }{3} \end{array} \right. \Rightarrow z = r{e^{i\theta }} = 2{e^{ - \frac{{\pi i}}{3}}}\\ z = 1 + \sqrt 3 i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{(\sqrt 3 )}^2}} = \sqrt 4 = 2\\ \theta = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{{\sqrt 3 }}{1}) = \frac{\pi }{3} \end{array} \right. \Rightarrow z = r{e^{i\theta }} = 2{e^{\frac{{\pi i}}{3}}} \end{array}\]

سپس این اعداد را در رابطه داده شده قرار می‌دهیم:

    \[\begin{array}{l} {\left( {\frac{{1 - \sqrt 3 i}}{{1 + \sqrt 3 i}}} \right)^{12}} = {\left( {\frac{{2{e^{ - \frac{{\pi i}}{3}}}}}{{2{e^{\frac{{\pi i}}{3}}}}}} \right)^{12}} = {\left( {\frac{{{e^{ - \frac{{\pi i}}{3}}}}}{{{e^{\frac{{\pi i}}{3}}}}}} \right)^{12}} = {\left( {{e^{ - \frac{{2\pi i}}{3}}}} \right)^{12}}\\ = {e^{ - \frac{{24\pi i}}{3}}} = {e^{ - 8\pi i}} = \cos ( - 8\pi ) + i\sin \left( { - 8\pi } \right) = 1 \end{array}\]

تمرین: حاصل عبارت  {\left( {\cos 2 + i\sin 2 + 1} \right)^n}  را بیابید. (راهنمایی:  \sin 2 = 2\sin 1\cos 1  و  1 + \cos 2 = 2{\cos ^2}1 )


جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری این مبحث، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

اعداد و توابع مختلط

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

15 دیدگاه

  • بسیار ممنون از مطلب کوتاه اما بسیار کاربردی شما

    • درود بر شما.
      از اینکه مطالب سایت ما به شما کمک کرده بسیار خرسندیم.

  • چطور زاویه تتا رو بدست اوردید؟
    چرا این زاویه از ارک تانژانت بدست میاد .. دلیلش!؟ این مبحث اگه مفصله به کجا برمیگرده؟

    • با سلام
      از مبحث مثلثات دوره متوسطه به یاد داریم که تانژانت تتا برابر است با ضلع مقابل بر ضلع مجاور که در این مبحث با توجه به شکل داریم: tan θ = y / x
      پس θ = Arctan y / x

    • فقط یک سوال …
      چرا در مثال دوم تتا به صورت : θ=π+Arctg (√3∕-1) شد ولی در مثال بعدی فقط θ=Arctg (√3∕-1) شد؟
      با تشکر!

      • خوشحالیم که از مطالب آموزشی سایت ما استفاده می‌کنید.
        تتا در کل برابر است با آرک تانژانت y بر x ولی هرگاه x منفی باشد به این زاویه π رادیان یا ۱۸۰ درجه اضافه می‌کنیم چون کمان در سمت چپ محور y قرار می‌گیرد.

  • سلام
    واقعا وب سایتتون دست مریزاد داره
    ایکاش استاد های ماهم مثل شما به فکر دانشجو بودند و نه فقط به فکر جیب خودشون که ذره ای به دانشجو اهمیت نمیدن.

  • سلام
    به چه صورت می توان مبدا مختصات قطبی را به نقطه دیگری جابجا کرد؟

    • سلام
      با تغییر متغیر x=X+a و y=Y+b میتوان مختصات (x,y) را به مختصات جدید (X,Y) با مبدا جدید (a,b) منتقل کرد.
      البته جابجایی مبدا در مختصات قطبی زیاد انجام نمیشه.
      موفق باشید.

  • باسلام . ببخشید این تمرین ها که در بخش اعداد مختلط قرار دادید جواب ندارند؟

    • سلام
      پاسخ تمارین در فیلم‌های آموزشی و به صورت pdf داخل فایل‌های ارسالی قرار دارند.
      میتوانید از طریق لینک‌های زیر این فیلم‌ها را تهیه کنید:
      فصل اول: اعداد مختلط
      پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه
      جواب تمرین‌های اعداد مختلط در هر دو محصول بالا موجود است که توصیه می‌کنیم پکیج کامل را تهیه کنید تا تمام ریاضی ۱ دانشگاه را به خوبی آموزش ببینید.
      موفق باشید.

  • سلام جواب این مثال رو توضيح می دهید چطور بدست آمده:
    (13.4-i50)÷(i5) البته جابجا شده جای دو پرانتز.
    جواب شده به صورت:
    (-10 – 2.68i)

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *