فرم قطبی اعداد مختلط:
میتوان فرم قطبی اعداد مختلط 
را به صورت زیر به دست آورد: ( فرم قطبی 
)
![\[\begin{array}{l} \cos \theta = \frac{x}{r} \Rightarrow x = r\cos \theta \\ \sin \theta = \frac{y}{r} \Rightarrow y = r\sin \theta \\ \Rightarrow z = x + iy = r\cos \theta + ir\sin \theta \\ \Rightarrow z = r(\cos \theta + i\sin \theta ) \end{array}\]](https://masirefarda.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-54ab40137ededb747bf3200ec5f21eb4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
با توجه به اینکه داریم
*** QuickLaTeX cannot compile formula:
cos \theta + i\sin \theta = e^{i\theta
*** Error message:
Missing } inserted.
leading text: $cos \theta + i\sin \theta = e^{i\theta$
(اگه نمی‌دونستید بدونید!) پس:
*** QuickLaTeX cannot compile formula:
z = r{e^{i\theta
*** Error message:
Missing } inserted.
leading text: $z = r{e^{i\theta$
جهت یادآوری تکرار می‌کنم که آرگومان اعداد مختلط باید بر حسب رادیان نوشته شود نه بر حسب درجه.
مثال: فرم قطبی اعداد مختلط زیر را بیابید.
![\[\begin{array}{l} {z = 1 - i} \\ \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} = \sqrt 2 \\ \theta = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{{ - 1}}{1}) = - \frac{\pi }{4} \end{array} \right. \Rightarrow z = r{e^{i\theta }} = \sqrt 2 {e^{ - i\frac{\pi }{4}}}\\ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - \\ {z = - 1 + i\sqrt 3} \\ \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {{(\sqrt 3 )}^2}} = \sqrt 4 = 2\\ \theta = \pi + {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{{\sqrt 3 }}{{ - 1}}) = \pi - \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right. \Rightarrow z = r{e^{i\theta }} = 2{e^{\frac{{2\pi i}}{3}}} \end{array}\]](https://masirefarda.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0e4b8013bc7b1661398ab1ce4a5826b7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
فرم قطبی اعداد مختلط ساده را میتوان از روی نمودار براحتی بدست آورد. مثلا:
![\[z = 3i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = 3\\ \theta = \frac{\pi }{2} \end{array} \right. \Rightarrow z = r{e^{i\theta }} = 3{e^{i\frac{\pi }{2}}}\]](https://masirefarda.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b79fa33b10cbdb81d002661da7244332_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
زیرا 
یعنی فاصله از مبدا که فاصله نقطه 
از مبدا 
است و 
زاویه آن عدد با سمت مثبت محور 
ها است که اینجا 
یا 
رادیان است.
نکته:
به این فرمول، رابطه دموآور گویند.
مثال: مقدار 
را بیابید.
حل: ابتدا اعداد مختلط داده شده را به فرم قطبی تبدیل می‌کنیم:
![\[\begin{array}{l} z = 1 - \sqrt 3 i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{( - \sqrt 3 )}^2}} = \sqrt 4 = 2\\ \theta = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{{ - \sqrt 3 }}{1}) = - \frac{\pi }{3} \end{array} \right. \Rightarrow z = r{e^{i\theta }} = 2{e^{ - \frac{{\pi i}}{3}}}\\ z = 1 + \sqrt 3 i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{(\sqrt 3 )}^2}} = \sqrt 4 = 2\\ \theta = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{{\sqrt 3 }}{1}) = \frac{\pi }{3} \end{array} \right. \Rightarrow z = r{e^{i\theta }} = 2{e^{\frac{{\pi i}}{3}}} \end{array}\]](https://masirefarda.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4b67a8faf695e375607cb0279fd6e6dd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
سپس این اعداد را در رابطه داده شده قرار می‌دهیم:
![\[\begin{array}{l} {\left( {\frac{{1 - \sqrt 3 i}}{{1 + \sqrt 3 i}}} \right)^{12}} = {\left( {\frac{{2{e^{ - \frac{{\pi i}}{3}}}}}{{2{e^{\frac{{\pi i}}{3}}}}}} \right)^{12}} = {\left( {\frac{{{e^{ - \frac{{\pi i}}{3}}}}}{{{e^{\frac{{\pi i}}{3}}}}}} \right)^{12}} = {\left( {{e^{ - \frac{{2\pi i}}{3}}}} \right)^{12}}\\ = {e^{ - \frac{{24\pi i}}{3}}} = {e^{ - 8\pi i}} = \cos ( - 8\pi ) + i\sin \left( { - 8\pi } \right) = 1 \end{array}\]](https://masirefarda.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-87505a091e652e3cb7947aec42bc99d1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
تمرین: حاصل عبارت 
را بیابید. (راهنمایی: 
و 
)
جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری این مبحث، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:
برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:
برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید
){kind=link}
بسیار ممنون از مطلب کوتاه اما بسیار کاربردی شما
درود بر شما.
از اینکه مطالب سایت ما به شما کمک کرده بسیار خرسندیم.
چطور زاویه تتا رو بدست اوردید؟
چرا این زاویه از ارک تانژانت بدست میاد .. دلیلش!؟ این مبحث اگه مفصله به کجا برمیگرده؟
با سلام
از مبحث مثلثات دوره متوسطه به یاد داریم که تانژانت تتا برابر است با ضلع مقابل بر ضلع مجاور که در این مبحث با توجه به شکل داریم: tan θ = y / x
پس θ = Arctan y / x
سپاس از شما
خیلی ممنون از مطالب خوبتون. ابهامات منو برطرف کرد!
فقط یک سوال …
چرا در مثال دوم تتا به صورت : θ=π+Arctg (√3∕-1) شد ولی در مثال بعدی فقط θ=Arctg (√3∕-1) شد؟
با تشکر!
خوشحالیم که از مطالب آموزشی سایت ما استفاده می‌کنید.
تتا در کل برابر است با آرک تانژانت y بر x ولی هرگاه x منفی باشد به این زاویه π رادیان یا ۱۸۰ درجه اضافه می‌کنیم چون کمان در سمت چپ محور y قرار می‌گیرد.
سلام
واقعا وب سایتتون دست مریزاد داره
ایکاش استاد های ماهم مثل شما به فکر دانشجو بودند و نه فقط به فکر جیب خودشون که ذره ای به دانشجو اهمیت نمیدن.
سلام
به چه صورت می توان مبدا مختصات قطبی را به نقطه دیگری جابجا کرد؟
سلام
با تغییر متغیر x=X+a و y=Y+b میتوان مختصات (x,y) را به مختصات جدید (X,Y) با مبدا جدید (a,b) منتقل کرد.
البته جابجایی مبدا در مختصات قطبی زیاد انجام نمیشه.
موفق باشید.
باسلام . ببخشید این تمرین ها که در بخش اعداد مختلط قرار دادید جواب ندارند؟
سلام
پاسخ تمارین در فیلم‌های آموزشی و به صورت pdf داخل فایل‌های ارسالی قرار دارند.
میتوانید از طریق لینک‌های زیر این فیلم‌ها را تهیه کنید:
فصل اول: اعداد مختلط
پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه
جواب تمرین‌های اعداد مختلط در هر دو محصول بالا موجود است که توصیه می‌کنیم پکیج کامل را تهیه کنید تا تمام ریاضی ۱ دانشگاه را به خوبی آموزش ببینید.
موفق باشید.
سلام جواب این مثال رو توضيح می دهید چطور بدست آمده:
(13.4-i50)÷(i5) البته جابجا شده جای دو پرانتز.
جواب شده به صورت:
(-10 – 2.68i)
سلام
آموزش زیر رو مطالعه کنید:
جبر اعداد مختلط