فرم قطبی اعداد مختلط:

میتوان فرم قطبی اعداد مختلط $( z = x + iy )$ را به صورت زیر به دست آورد: ( فرم قطبی $( r,\theta )$ )

$\begin{array}{l} \cos \theta = \frac{x}{r} \Rightarrow x = r\cos \theta \\ \sin \theta = \frac{y}{r} \Rightarrow y = r\sin \theta \\ \Rightarrow z = x + iy = r\cos \theta + ir\sin \theta \\ \Rightarrow z = r(\cos \theta + i\sin \theta ) \end{array}$

با توجه به اینکه داریم $cos \theta + i\sin \theta = e^{i\theta$ (اگه نمی‌دونستید بدونید!) پس: $z = r{e^{i\theta$

جهت یادآوری تکرار می‌کنم که آرگومان اعداد مختلط باید بر حسب رادیان نوشته شود نه بر حسب درجه.

مثال: فرم قطبی اعداد مختلط زیر را بیابید.

$\begin{array}{l} {z = 1 - i} \\ \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} = \sqrt 2 \\ \theta = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{{ - 1}}{1}) = - \frac{\pi }{4} \end{array} \right. \Rightarrow z = r{e^{i\theta }} = \sqrt 2 {e^{ - i\frac{\pi }{4}}}\\ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - \\ {z = - 1 + i\sqrt 3} \\ \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {{(\sqrt 3 )}^2}} = \sqrt 4 = 2\\ \theta = \pi + {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{{\sqrt 3 }}{{ - 1}}) = \pi - \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right. \Rightarrow z = r{e^{i\theta }} = 2{e^{\frac{{2\pi i}}{3}}} \end{array}$

فرم قطبی اعداد مختلط ساده را می‌توان از روی نمودار براحتی بدست آورد. مثلا:

$z = 3i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = 3\\ \theta = \frac{\pi }{2} \end{array} \right. \Rightarrow z = r{e^{i\theta }} = 3{e^{i\frac{\pi }{2}}}$

زیرا $r$ یعنی فاصله از مبدا که فاصله نقطه $z = 3i$ از مبدا $3$ است و $\theta$ زاویه $r$ آن عدد با سمت مثبت محور $x$ ها است که اینجا ${90^ \circ }$ یا $\frac{\pi }{2}$ رادیان است.

نکته:

$\begin{array}{l} {(\cos \theta + i\sin \theta )^n} = {({e^{i\theta }})^n} = {e^{in\theta }} = \cos n\theta + i\sin n\theta \\ \Rightarrow {(\cos \theta + i\sin \theta )^n} = \cos n\theta + i\sin n\theta \end{array}$

به این فرمول، رابطه دموآور گویند.

مثال: مقدار ${\left( {\frac{{1 - \sqrt 3 i}}{{1 + \sqrt 3 i}}} \right)^{12}}$ را بیابید.

حل: ابتدا اعداد مختلط داده شده را به فرم قطبی تبدیل می‌کنیم:

$\begin{array}{l} z = 1 - \sqrt 3 i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{( - \sqrt 3 )}^2}} = \sqrt 4 = 2\\ \theta = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{{ - \sqrt 3 }}{1}) = - \frac{\pi }{3} \end{array} \right. \Rightarrow z = r{e^{i\theta }} = 2{e^{ - \frac{{\pi i}}{3}}}\\ z = 1 + \sqrt 3 i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{(\sqrt 3 )}^2}} = \sqrt 4 = 2\\ \theta = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{{\sqrt 3 }}{1}) = \frac{\pi }{3} \end{array} \right. \Rightarrow z = r{e^{i\theta }} = 2{e^{\frac{{\pi i}}{3}}} \end{array}$

سپس این اعداد را در رابطه داده شده قرار می‌دهیم:

$\begin{array}{l} {\left( {\frac{{1 - \sqrt 3 i}}{{1 + \sqrt 3 i}}} \right)^{12}} = {\left( {\frac{{2{e^{ - \frac{{\pi i}}{3}}}}}{{2{e^{\frac{{\pi i}}{3}}}}}} \right)^{12}} = {\left( {\frac{{{e^{ - \frac{{\pi i}}{3}}}}}{{{e^{\frac{{\pi i}}{3}}}}}} \right)^{12}} = {\left( {{e^{ - \frac{{2\pi i}}{3}}}} \right)^{12}}\\ = {e^{ - \frac{{24\pi i}}{3}}} = {e^{ - 8\pi i}} = \cos ( - 8\pi ) + i\sin \left( { - 8\pi } \right) = 1 \end{array}$

تمرین: حاصل عبارت ${\left( {\cos 2 + i\sin 2 + 1} \right)^n}$ را بیابید. (راهنمایی: $\sin 2 = 2\sin 1\cos 1$ و $1 + \cos 2 = 2{\cos ^2}1$ )

جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری این مبحث، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:

پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه (۵ فصل + ضمیمه مثلثات)
امتیاز 4.75 از 5
۱۳۹,۰۰۰ تومان افزودن به سبد خرید

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1396-03-04

اعداد و توابع مختلط

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.