فرم قطبی اعداد مختلط:

میتوان فرم قطبی اعداد مختلط   ( z = x + iy )  را به صورت زیر به دست آورد: ( فرم قطبی  ( r,\theta ) )

فرم قطبی عدد مختلط  

    \[\begin{array}{l} \cos \theta = \frac{x}{r} \Rightarrow x = r\cos \theta \\ \sin \theta = \frac{y}{r} \Rightarrow y = r\sin \theta \\ \Rightarrow z = x + iy = r\cos \theta + ir\sin \theta \\ \Rightarrow z = r(\cos \theta + i\sin \theta ) \end{array}\]

با توجه به اینکه داریم cos \theta  + i\sin \theta  = e^{i\theta  (اگه نمی‌دونستید بدونید!) پس: z = r{e^{i\theta

جهت یادآوری تکرار می‌کنم که آرگومان اعداد مختلط باید بر حسب رادیان نوشته شود نه بر حسب درجه.

مثال: فرم قطبی اعداد مختلط زیر را بیابید.

    \[\begin{array}{l} {z = 1 - i} \\ \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} = \sqrt 2 \\ \theta = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{{ - 1}}{1}) = - \frac{\pi }{4} \end{array} \right. \Rightarrow z = r{e^{i\theta }} = \sqrt 2 {e^{ - i\frac{\pi }{4}}}\\ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - \\ {z = - 1 + i\sqrt 3} \\ \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {{(\sqrt 3 )}^2}} = \sqrt 4 = 2\\ \theta = \pi + {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{{\sqrt 3 }}{{ - 1}}) = \pi - \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right. \Rightarrow z = r{e^{i\theta }} = 2{e^{\frac{{2\pi i}}{3}}} \end{array}\]

فرم قطبی اعداد مختلط ساده را می‌توان از روی نمودار براحتی بدست آورد. مثلا:

    \[z = 3i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = 3\\ \theta = \frac{\pi }{2} \end{array} \right. \Rightarrow z = r{e^{i\theta }} = 3{e^{i\frac{\pi }{2}}}\]

فرم قطبی اعداد مختلط

زیرا  r  یعنی فاصله از مبدا که فاصله نقطه  z = 3i  از مبدا  3   است و  \theta  زاویه  r  آن عدد با سمت مثبت محور  xها است که اینجا  {90^ \circ }  یا \frac{\pi }{2}  رادیان است.

نکته:

\begin{array}{l} {(\cos \theta + i\sin \theta )^n} = {({e^{i\theta }})^n} = {e^{in\theta }} = \cos n\theta + i\sin n\theta \\ \Rightarrow {(\cos \theta + i\sin \theta )^n} = \cos n\theta + i\sin n\theta \end{array}

به این فرمول، رابطه دموآور گویند.

مثال: مقدار {\left( {\frac{{1 - \sqrt 3 i}}{{1 + \sqrt 3 i}}} \right)^{12}} را بیابید.

حل: ابتدا اعداد مختلط داده شده را به فرم قطبی تبدیل می‌کنیم:

    \[\begin{array}{l} z = 1 - \sqrt 3 i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{( - \sqrt 3 )}^2}} = \sqrt 4 = 2\\ \theta = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{{ - \sqrt 3 }}{1}) = - \frac{\pi }{3} \end{array} \right. \Rightarrow z = r{e^{i\theta }} = 2{e^{ - \frac{{\pi i}}{3}}}\\ z = 1 + \sqrt 3 i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{(\sqrt 3 )}^2}} = \sqrt 4 = 2\\ \theta = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{{\sqrt 3 }}{1}) = \frac{\pi }{3} \end{array} \right. \Rightarrow z = r{e^{i\theta }} = 2{e^{\frac{{\pi i}}{3}}} \end{array}\]

سپس این اعداد را در رابطه داده شده قرار می‌دهیم:

    \[\begin{array}{l} {\left( {\frac{{1 - \sqrt 3 i}}{{1 + \sqrt 3 i}}} \right)^{12}} = {\left( {\frac{{2{e^{ - \frac{{\pi i}}{3}}}}}{{2{e^{\frac{{\pi i}}{3}}}}}} \right)^{12}} = {\left( {\frac{{{e^{ - \frac{{\pi i}}{3}}}}}{{{e^{\frac{{\pi i}}{3}}}}}} \right)^{12}} = {\left( {{e^{ - \frac{{2\pi i}}{3}}}} \right)^{12}}\\ = {e^{ - \frac{{24\pi i}}{3}}} = {e^{ - 8\pi i}} = \cos ( - 8\pi ) + i\sin \left( { - 8\pi } \right) = 1 \end{array}\]

تمرین: حاصل عبارت  {\left( {\cos 2 + i\sin 2 + 1} \right)^n}  را بیابید. (راهنمایی:  \sin 2 = 2\sin 1\cos 1  و  1 + \cos 2 = 2{\cos ^2}1 )


جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری این مبحث، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

اعداد و توابع مختلط

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

guest
15 دیدگاه ها
قدیمی ترین
جدیدترین بیشترین آرا
Inline Feedbacks
مشاهده همه دیدگاه ها