فرمول‌های انتگرال

فرمول‌های انتگرال:

برای محاسبه انتگرال یک تابع نیازی نیست هر بار به دنبال تابعی باشیم که مشتق آن تابع مساوی تابع زیر انتگرال شود. فرمول‌های انتگرال برای حالت‌های مختلف بدست آمده و فقط کافیست از آنها استفاده کنید.
ما ابتدا فرمول کلی را نوشته و سپس برای هر فرمول مثال‌هایی آورده‌ایم تا راحت‌تر آن فرمول را به خاطر بسپارید.

در فرمول‌های انتگرال ،  k   و   a   اعداد ثابت و   c   ثابت انتگرال است که در آموزش قبلی در مورد آن صحبت کردیم.


انتگرال اعداد ثابت:

    \[ \boxed{{\int {kdx = kx + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {5dx = 5x + c} \\ \\ \int { - 3dx = - 3x + c} \\ \\ \int {dx = x + c} \\ \\ \int { - dx = - x + c} \end{array}\]


انتگرال  x به توان عدد:

    \[ \boxed{{\int {{x^n}dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {{x^2}dx = \frac{{{x^3}}}{3} + c} ,{\rm{ }}\\ \\ \int {xdx = \frac{{{x^2}}}{2} + c} ,{\rm{ }}\\ \\ \int {\sqrt x dx = } \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx = } \\ \\ = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + c = \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + c \end{array}\]


انتگرال کسر ساده:

    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{x + a}} = Ln\left| {x + a} \right| + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} {\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\frac{{dx}}{x} = Ln\left| x \right| + c} {\rm{ }},\\ \\ {\rm{ }}\int {\frac{{dx}}{{x - 3}} = Ln\left| {x - 3} \right| + c} \end{array}\]


انتگرال توابع نمایی(انتگرال e):

    \[ \boxed{{\int {{e^{ax}}dx = \frac{1}{a}{e^{ax}} + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {{e^{3x}}dx = \frac{1}{3}{e^{3x}} + c} \\ \\ \int {{e^x}dx = {e^x} + c} \\ \\ \int {{e^{ - 4x}}dx = - \frac{1}{4}{e^{ - 4x}} + c{\rm{ }}} \end{array}\]


انتگرال یک عدد به توان x:

    \[ \boxed{{\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{Lna}} + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {{5^x}dx = \frac{{{5^x}}}{{Ln5}} + c} \\ \\ \int {{2^x}dx = \frac{{{2^x}}}{{Ln2}} + c} \end{array}\]


انتگرال توابع مثلثاتی:


انتگرال کسینوس:

    \[ \boxed{{\int {\cos axdx = \frac{1}{a}\sin ax + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\cos 2xdx = \frac{1}{2}\sin 2x + c} \\ \\ \int {\cos xdx = \sin x + c} \end{array}\]


انتگرال سینوس:

    \[ \boxed{{\int {\sin axdx = - \frac{1}{a}\cos ax + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\sin 4xdx = - \frac{1}{4}\cos 4x + c} \\ \\ \int {\sin xdx = - \cos x + c} \end{array}\]


انتگرال کسینوس هیپربولیک:

    \[ \boxed{{\int {\cosh axdx = \frac{1}{a}\sinh ax + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\cosh 4xdx = \frac{1}{4}\sinh 4x + c{\rm{ }}} \\ \\ \int {\cosh xdx = \sinh x + c} \end{array}\]


انتگرال سینوس هیپربولیک:

    \[ \boxed{{\int {\sinh axdx = \frac{1}{a}\cosh ax + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\sinh 7xdx = \frac{1}{7}\cosh 7x + c} {\rm{ }}\\ \\ \int {\sinh xdx = \cosh x + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\left( {1 + {{\tan }^2}ax} \right)dx = } \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}ax}}}= \int {{{\sec }^2}axdx = \frac{1}{a}\tan ax + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx = } \tan x + c \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\left( {1 + {{\cot }^2}ax} \right)dx = } \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}ax}}}= \int {{{\csc }^2}axdx = - \frac{1}{a}\cot ax + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)dx = } - \cot x + c \end{array}\]


انتگرال تانژانت:

    \[ \boxed{{\int {\tan axdx = } - \frac{1}{a}Ln\left| {\cos ax} \right| + c}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\tan 3xdx = } - \frac{1}{3}Ln\left| {\cos 3x} \right| + c\\ \\ \int {\tan xdx = } - Ln\left| {\cos x} \right| + c \end{array}\]


انتگرال کتانژانت:

    \[ \boxed{{\int {\cot axdx = } \frac{1}{a}Ln\left| {\sin ax} \right| + c}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\cot 5xdx = } \frac{1}{5}Ln\left| {\sin 5x} \right| + c\\ \\ \int {\cot xdx = } Ln\left| {\sin x} \right| + c \end{array}\]


انتگرال سکانت ضربدر تانژانت:

    \[ \boxed{{\int {\sec ax\tan axdx = } \frac{1}{a}\sec ax + c}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\sec 3x\tan 3xdx = } \frac{1}{3}\sec 3x + c\\ \\ \int {\sec x\tan xdx = } \sec x + c \end{array}\]


انتگرال کسکانت ضربدر کتانژانت:

    \[ \boxed{{\int {\csc ax\cot axdx = } - \frac{1}{a}\csc ax + c}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\csc 7x\cot 7xdx = } - \frac{1}{7}\csc 7x + c\\ \\ \int {\csc x\cot xdx = } - \csc x + c \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{{{\cosh }^2}ax}} = \frac{1}{a}\tanh ax + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\frac{{dx}}{{{{\cosh }^2}3x}} = \frac{1}{3}\tanh 3x + c} \\ \\ \int {\frac{{dx}}{{{{\cosh }^2}x}} = \tanh x + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{{{\sinh }^2}ax}} = - \frac{1}{a}\coth ax + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{{dx}}{{{{\sinh }^2}2x}} = - \frac{1}{2}\coth 2x + c} \\ \\ \int {\frac{{dx}}{{{{\sinh }^2}x}} = - \coth x + c} \end{array}\]


انتگرال سکانت:

    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{\cos ax}} = } \int {\sec axdx}= \frac{1}{a}Ln\left| {\sec ax + \tan ax} \right| + c}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\sec xdx = Ln\left| {\sec x + \tan x} \right| + c} \end{array}\]


انتگرال کسکانت:

    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{\sin ax}} = } \int {\csc axdx}= \frac{1}{a}Ln\left| {\csc ax - \cot ax} \right| + c}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\csc xdx = Ln\left| {\csc x - \cot x} \right| + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{{x^2} + {a^2}}} = \frac{1}{a}{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} \left( {\frac{x}{a}} \right) + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{{dx}}{{{x^2} + 9}} = \frac{1}{3}{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} \left( {\frac{x}{3}} \right) + c} \\ \\ \int {\frac{{dx}}{{{x^2} + 1}} = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{{x^2} - {a^2}}} = \frac{1}{{2a}}Ln\left( {\frac{{x - a}}{{x + a}}} \right) + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{{dx}}{{{x^2} - 25}} = \frac{1}{{10}}Ln\left( {\frac{{x - 5}}{{x + 5}}} \right) + c} \\ \\ \int {\frac{{dx}}{{{x^2} - 1}} = \frac{1}{2}Ln\left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right) + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)}} = \frac{1}{{a - b}}Ln\left( {\frac{{x - a}}{{x - b}}} \right) + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{{dx}}{{\left( {x - 7} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{1}{5}Ln\left( {\frac{{x - 7}}{{x - 2}}} \right) + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} = {\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} \left( {\frac{x}{a}} \right) + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {7 - {x^2}} }} = {\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} \left( {\frac{x}{{\sqrt 7 }}} \right) + c} \\ \\ \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = {\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} x + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }} = Ln\left( {x + \sqrt {{x^2} + {a^2}} } \right) + c = {\mathop{\rm Arcsinh}\nolimits} \left( {\frac{x}{a}} \right) + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} = Ln\left( {x + \sqrt {{x^2} + 4} } \right) + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} - {a^2}} }} = Ln\left( {x + \sqrt {{x^2} - {a^2}} } \right) + c = {\mathop{\rm Arccosh}\nolimits} \left( {\frac{x}{a}} \right) + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} - 3} }} = Ln\left( {x + \sqrt {{x^2} - 3} } \right) + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\sqrt {{a^2} - {x^2}} dx = \frac{x}{2}\sqrt {{a^2} - {x^2}} + \frac{{{a^2}}}{2}{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} \left( {\frac{x}{a}} \right) + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\sqrt {1 - {x^2}} dx = \frac{x}{2}\sqrt {1 - {x^2}} + \frac{1}{2}{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} x + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\sqrt {{x^2} - {a^2}} dx = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} - {a^2}} - \frac{{{a^2}}}{2}{\mathop{\rm Arccosh}\nolimits} \left( {\frac{x}{a}} \right) + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\sqrt {{x^2} - 1} dx = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} - 1} - \frac{1}{2}{\mathop{\rm Arccosh}\nolimits} x + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\sqrt {{x^2} + {a^2}} dx = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} + {a^2}} + \frac{{{a^2}}}{2}{\mathop{\rm Arcsinh}\nolimits} \left( {\frac{x}{a}} \right) + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\sqrt {{x^2} + 1} dx = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} + 1} + \frac{1}{2}{\mathop{\rm Arcsinh}\nolimits} x + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{x\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} = - \frac{1}{a}{\mathop{\rm Arcsech}\nolimits} \left( {\frac{x}{a}} \right) + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\frac{{dx}}{{x\sqrt {1 - {x^2}} }} = - {\mathop{\rm Arcsech}\nolimits} x + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{x\sqrt {{a^2} + {x^2}} }} = - \frac{1}{a}{\mathop{\rm Arccsch}\nolimits} \left( {\frac{x}{a}} \right) + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{{dx}}{{x\sqrt {1 + {x^2}} }} = - {\mathop{\rm Arccsch}\nolimits} x + c} \end{array}\]


انتگرال Ln (لگاریتم طبیعی):

    \[ \boxed{{\int {{x^n}Ln\left( x \right)dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}Ln\left( x \right)} - \frac{{{x^{n + 1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} + c}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {Ln\left( x \right)dx = xLn\left( x \right)} - x + c\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}\left( {n = 0} \right)\\ \\ \int {xLn\left( x \right)dx = \frac{{{x^2}}}{2}Ln\left( x \right)} - \frac{{{x^2}}}{4} + c\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}\left( {n = 1} \right)\\ \\ \int {{x^2}Ln\left( x \right)dx = \frac{{{x^3}}}{3}Ln\left( x \right)} - \frac{{{x^3}}}{9} + c\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}\left( {n = 2} \right)\\ \\ \int {{x^7}Ln\left( x \right)dx = \frac{{{x^7}}}{7}Ln\left( x \right)} - \frac{{{x^7}}}{{49}} + c\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}\left( {n = 7} \right) \end{array}\]


این آموزش را نیز مطالعه کنید: فرم قطبی اعداد مختلط (تبدیل x و y به r و θ در نمایش اعداد مختلط)


تمام فرمول‌های انتگرال با این نکته به دست آمده است که مشتق جواب انتگرال با تابع داخل انتگرال برابر است. اثبات این فرمول‌ها در امتحانات نیاز نیست ولی با مشتقگیری از سمت راست می‌توان به تابع داخل انتگرال رسید.

مثلاً:

    \[\begin{array}{l} {\left( {\frac{1}{a}\tan ax + c} \right)^\prime } = \frac{1}{a}\left[ {a\left( {1 + {{\tan }^2}ax} \right)} \right] = 1 + {\tan ^2}ax\\ \\ \Rightarrow \int {\left( {1 + {{\tan }^2}ax} \right)dx = } \frac{1}{a}\tan ax + c \end{array}\]

اگر انتگرال داده شده دارای کران‌های مشخص برای انتگرال‌گیری باشد (مانند  \int_{x = a}^b {f\left( x \right)dx}  ) آن انتگرال را معین گوییم و با یافتن جواب انتگرال و قرار دادن کران‌ها به شکل زیر، جواب انتگرال را می‌یابیم:

    \[\int_{x = a}^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\]

نکته: در محاسبه انتگرال معین نیازی به استفاده از  c   در جواب نیست زیرا در هنگام محاسبه  F\left( b \right) - F\left( a \right) حذف می‌شود.


مثال: مساحت زیر منحنی  f\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 5 را به کمک فرمول‌های انتگرال در بازه  \left[ {1,2} \right]   بیابید.

حل: 

    \[\begin{array}{l} \int_{x = 1}^2 {\left( {3{x^2} - 4x + 5} \right)dx} = \left. {{x^3} - 2{x^2} + 5x} \right|_1^2\\ \\ = \left( {{2^3} - 2 \times {2^2} + 5 \times 2} \right) - \left( {{1^3} - 2 \times {1^2} + 5 \times 1} \right) = 10 - 4 = 6 \end{array}\]


تمرین: به کمک فرمول‌های انتگرال ، حاصل انتگرال‌های زیر را محاسبه کنید.

    \[\begin{array}{l} 1)\int_{x = 0}^3 {\left( { - 6{x^2} + 2x - 3} \right)dx} \\ \\ 2)\int_{x = 0}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\sin 2x - \cos x} \right)} dx\\ \\ 3)\int_0^2 {\frac{{dx}}{{x + 1}}} \end{array}\]


جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

انتگرال و کاربرد آن

انتگرالفرمول های انتگرالفرمول‌های اساسی انتگرالفرمول‌های اصلی انتگرالفرمول‌های انتگرالفرمول‌های اولیه انتگرال

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

35 دیدگاه

  • با تشکر از سایت خوب مسیر فردا
    آموزش و مثال ها بی نظیر بود
    انشاءالله موفق و پیروز باشید

  • کلمه ای برای توصیف اموزش این مبحث پیدا نکردم.
    کمترین کلماتی که می تونم استفاده کنم:
    فوق العاده یا بی نظیر یا محشر هستند.
    سپاس بابت اطلاعاتی که در اختیارم گذاشتین.

  • سلام وقت بخیر استاد دلسوزم ببخشید استاد یه سوال داشتم انتگرال e به توان رادیکال x خط کسری رادیکال x چطوری به روش تغیر متغیر حل میشه

    • سلام
      وقت بخیر

      از تغییرمتغیر t = \sqrt x استفاده کنید و جایگذاری کنید.

      dt = \frac{{dx}}{{2\sqrt x }} \Rightarrow 2dt = \frac{{dx}}{{\sqrt x }}

      در نتیجه داریم:

      \int {\frac{{{e^{\sqrt x }}dx}}{{\sqrt x }} = } \int {2{e^t}dt = 2{e^t} + c = 2{e^{\sqrt x }} + c}

      • سلام وقتتون بخیر.انتگرال eبه توان منفی xبه توان دو چی میشه؟؟

        • سلام
          وقت بخیر
          تابع e به توان منفی x به توان دو برابر است با e‌ به توان منفی 2x که از فرمولهای بالا قابل حل است.

          {\left( {{e^{ - x}}} \right)^2} = {e^{ - 2x}}

          \int {{e^{ - 2x}}dx}  =  - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + c

  • سلام ببخشید انتگرال

    (cos^4 x)(sin^3 X)

    چی میشه چطوری حلش کنیم سخته ?

    • سلام
      ابتدا {\sin ^3}x رو به صورت {\sin ^2}x\sin x = \left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\sin x‌ بنویسید. سپس از تغییرمتغیر t = \cos x استفاده کنید.

  • تغییر متغیرو بگیر رادیکال x
    بعد میشه e به توان u که این عبارت خودش از انتگرال میاد بیرون بعد جا گذاری کن به اضافه مقدار ثابت c

  • خیلی خیلی تشکر خیلی خوشبختم ک با سایتتون و صد البته خودتون آشنا شدم ضمنا میدونستید خیلی خیلی گلید???

  • سلام آقای مهندس وقت بخیر. ضمن تشکر بابت سایت بروز و درجه یک شما سوالی از محضر تون داشتم.میشه لطف کنید و به ما یاد بدید که
    انتگرال e به نمای منهای بتا در x ضربدر (کسینوس بتا در x + سینوس بتا در x) چطور محاسبه میشود؟
    خیلی ممنونم.

  • سلام، حقیقتا ازتون سپاسگذارم استاد، این مطالب واقعا دنیایی ارزش دارند، بسیار بسیار عالی و کامل بود.
    ببخشید من یه سوال داشتم، داخل پی دی اف پیداش نکردم، اگر معادله ی ما به صورت x.dx در صورت و رادیکال یک منهای ایکس به توان دو در مخرج باشه چجور حل میشه؟ من dx خالی توی صورت کسر و این مخرج رو در پی دی افی که گزاشتین دیدم ولی این نبود، اگه لطف کنین یه راهنماییم کنین ممنون میشم

  • سلام میشه انتگرال eب توانxدر sinxرو بگین باید چجوری حلش کنم

    • ایکس به توان دو رو بیارید صورت که بشه ایکس به توان منفی دو. بعدش از فرمول دوم بالا استفاده کنید. جواب در نهایت میشه منفی یک ایکسم.

    • سلام
      اگه منظور شما \int {2x\log 23dx} هست،
      جوابش میشه {x^2}\log 23
      اون log23 یک عدد هست و ضریب محسوب میشه.
      اگه منظورتون تابع دیگه‌ای هست به فرمت Latex بنویسید تا جواب انتگرال رو براتون حساب کنم.
      موفق باشید.

  • سلام ممنون از مطالبتون،انتگرال تابع (exp(xcosx_sinx
    چی میشه؟ کلا انتگرال (exp(u
    باچه روشی حل میشه؟
    ممنون میشم زود جوابمو بدید فردا امتحان دارم

    • سلام
      انتگرال تابعی که فرمودید وجود نداره ولی اگه به فرم sinx×exp(cosx) باشه (یعنی سینوس ایکس در e به توان کسینوس ایکس) میشه با تغییر متغیر حل کرد. t=cosx

  • سلام خسته نباشید،
    انتگرال سکانت وارون رادیکال ایکس چی میشه؟؟!

    • سلام
      سلامت باشید.
      جواب انتگرال مورد نظر شما؛

          \[\int {{{\sec }^{ - 1}}(\sqrt x )dx = } x.{\sec ^{ - 1}}(\sqrt x ) - \sqrt {x - 1}  + c\]

      • سلام خسته نباشید گفتن ک انتگرالsecxdx از صفر تا پی دوم همگراست یا واگرا و اگ همگراست ثابت کنید میشه لطفا بگید چطوریه من هرجا نگاه کردم پیدا نکردم اینو

  • سلام استاد تو فرمولا انتگرال از یک کسر که مخرجش اتحاد جمله مشترک بود اشاره شد که علامت بینشون منفی بود (X-2)(X-7) حالا اگه علامت مثبت بود یا یکی مثبت یکی منفی بود فرمول چجوری تغییر میکنه ؟ ممنون میشم کمک کنید

    • سلام
      در این حالت اون عدد منفی هست. یعنی مثلا:
      (x+2)=(x-(-2))

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *