فرمول‌های انتگرال

فرمول‌های انتگرال:

برای محاسبه انتگرال یک تابع نیازی نیست هر بار به دنبال تابعی باشیم که مشتق آن تابع مساوی تابع زیر انتگرال شود. فرمول‌های انتگرال برای حالت‌های مختلف بدست آمده و فقط کافیست از آنها استفاده کنید.
ما ابتدا فرمول کلی را نوشته و سپس برای هر فرمول مثال‌هایی آورده‌ایم تا راحت‌تر آن فرمول را به خاطر بسپارید.

در فرمول‌های انتگرال ،  k   و   a   اعداد ثابت و   c   ثابت انتگرال است که در آموزش قبلی در مورد آن صحبت کردیم.


انتگرال اعداد ثابت:

    \[ \boxed{{\int {kdx = kx + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {5dx = 5x + c} \\ \\ \int { - 3dx = - 3x + c} \\ \\ \int {dx = x + c} \\ \\ \int { - dx = - x + c} \end{array}\]


انتگرال  x به توان عدد:

    \[ \boxed{{\int {{x^n}dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {{x^2}dx = \frac{{{x^3}}}{3} + c} ,{\rm{ }}\\ \\ \int {xdx = \frac{{{x^2}}}{2} + c} ,{\rm{ }}\\ \\ \int {\sqrt x dx = } \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx = } \\ \\ = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + c = \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + c \end{array}\]


انتگرال کسر ساده:

    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{x + a}} = Ln\left| {x + a} \right| + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} {\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\frac{{dx}}{x} = Ln\left| x \right| + c} {\rm{ }},\\ \\ {\rm{ }}\int {\frac{{dx}}{{x - 3}} = Ln\left| {x - 3} \right| + c} \end{array}\]


انتگرال توابع نمایی(انتگرال e):

    \[ \boxed{{\int {{e^{ax}}dx = \frac{1}{a}{e^{ax}} + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {{e^{3x}}dx = \frac{1}{3}{e^{3x}} + c} \\ \\ \int {{e^x}dx = {e^x} + c} \\ \\ \int {{e^{ - 4x}}dx = - \frac{1}{4}{e^{ - 4x}} + c{\rm{ }}} \end{array}\]


انتگرال یک عدد به توان x:

    \[ \boxed{{\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{Lna}} + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {{5^x}dx = \frac{{{5^x}}}{{Ln5}} + c} \\ \\ \int {{2^x}dx = \frac{{{2^x}}}{{Ln2}} + c} \end{array}\]


انتگرال توابع مثلثاتی:


انتگرال کسینوس:

    \[ \boxed{{\int {\cos axdx = \frac{1}{a}\sin ax + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\cos 2xdx = \frac{1}{2}\sin 2x + c} \\ \\ \int {\cos xdx = \sin x + c} \end{array}\]


انتگرال سینوس:

    \[ \boxed{{\int {\sin axdx = - \frac{1}{a}\cos ax + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\sin 4xdx = - \frac{1}{4}\cos 4x + c} \\ \\ \int {\sin xdx = - \cos x + c} \end{array}\]


انتگرال کسینوس هیپربولیک:

    \[ \boxed{{\int {\cosh axdx = \frac{1}{a}\sinh ax + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\cosh 4xdx = \frac{1}{4}\sinh 4x + c{\rm{ }}} \\ \\ \int {\cosh xdx = \sinh x + c} \end{array}\]


انتگرال سینوس هیپربولیک:

    \[ \boxed{{\int {\sinh axdx = \frac{1}{a}\cosh ax + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\sinh 7xdx = \frac{1}{7}\cosh 7x + c} {\rm{ }}\\ \\ \int {\sinh xdx = \cosh x + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\left( {1 + {{\tan }^2}ax} \right)dx = } \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}ax}}}= \int {{{\sec }^2}axdx = \frac{1}{a}\tan ax + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx = } \tan x + c \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\left( {1 + {{\cot }^2}ax} \right)dx = } \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}ax}}}= \int {{{\csc }^2}axdx = - \frac{1}{a}\cot ax + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)dx = } - \cot x + c \end{array}\]


انتگرال تانژانت:

    \[ \boxed{{\int {\tan axdx = } - \frac{1}{a}Ln\left| {\cos ax} \right| + c}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\tan 3xdx = } - \frac{1}{3}Ln\left| {\cos 3x} \right| + c\\ \\ \int {\tan xdx = } - Ln\left| {\cos x} \right| + c \end{array}\]


انتگرال کتانژانت:

    \[ \boxed{{\int {\cot axdx = } \frac{1}{a}Ln\left| {\sin ax} \right| + c}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\cot 5xdx = } \frac{1}{5}Ln\left| {\sin 5x} \right| + c\\ \\ \int {\cot xdx = } Ln\left| {\sin x} \right| + c \end{array}\]


انتگرال سکانت ضربدر تانژانت:

    \[ \boxed{{\int {\sec ax\tan axdx = } \frac{1}{a}\sec ax + c}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\sec 3x\tan 3xdx = } \frac{1}{3}\sec 3x + c\\ \\ \int {\sec x\tan xdx = } \sec x + c \end{array}\]


انتگرال کسکانت ضربدر کتانژانت:

    \[ \boxed{{\int {\csc ax\cot axdx = } - \frac{1}{a}\csc ax + c}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\csc 7x\cot 7xdx = } - \frac{1}{7}\csc 7x + c\\ \\ \int {\csc x\cot xdx = } - \csc x + c \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{{{\cosh }^2}ax}} = \frac{1}{a}\tanh ax + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\frac{{dx}}{{{{\cosh }^2}3x}} = \frac{1}{3}\tanh 3x + c} \\ \\ \int {\frac{{dx}}{{{{\cosh }^2}x}} = \tanh x + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{{{\sinh }^2}ax}} = - \frac{1}{a}\coth ax + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{{dx}}{{{{\sinh }^2}2x}} = - \frac{1}{2}\coth 2x + c} \\ \\ \int {\frac{{dx}}{{{{\sinh }^2}x}} = - \coth x + c} \end{array}\]


انتگرال سکانت:

    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{\cos ax}} = } \int {\sec axdx}= \frac{1}{a}Ln\left| {\sec ax + \tan ax} \right| + c}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\sec xdx = Ln\left| {\sec x + \tan x} \right| + c} \end{array}\]


انتگرال کسکانت:

    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{\sin ax}} = } \int {\csc axdx}= \frac{1}{a}Ln\left| {\csc ax - \cot ax} \right| + c}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\csc xdx = Ln\left| {\csc x - \cot x} \right| + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{{x^2} + {a^2}}} = \frac{1}{a}{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} \left( {\frac{x}{a}} \right) + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{{dx}}{{{x^2} + 9}} = \frac{1}{3}{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} \left( {\frac{x}{3}} \right) + c} \\ \\ \int {\frac{{dx}}{{{x^2} + 1}} = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{{x^2} - {a^2}}} = \frac{1}{{2a}}Ln\left( {\frac{{x - a}}{{x + a}}} \right) + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{{dx}}{{{x^2} - 25}} = \frac{1}{{10}}Ln\left( {\frac{{x - 5}}{{x + 5}}} \right) + c} \\ \\ \int {\frac{{dx}}{{{x^2} - 1}} = \frac{1}{2}Ln\left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right) + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)}} = \frac{1}{{a - b}}Ln\left( {\frac{{x - a}}{{x - b}}} \right) + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{{dx}}{{\left( {x - 7} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{1}{5}Ln\left( {\frac{{x - 7}}{{x - 2}}} \right) + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} = {\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} \left( {\frac{x}{a}} \right) + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {7 - {x^2}} }} = {\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} \left( {\frac{x}{{\sqrt 7 }}} \right) + c} \\ \\ \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = {\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} x + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }} = Ln\left( {x + \sqrt {{x^2} + {a^2}} } \right) + c = {\mathop{\rm Arcsinh}\nolimits} \left( {\frac{x}{a}} \right) + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} = Ln\left( {x + \sqrt {{x^2} + 4} } \right) + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} - {a^2}} }} = Ln\left( {x + \sqrt {{x^2} - {a^2}} } \right) + c = {\mathop{\rm Arccosh}\nolimits} \left( {\frac{x}{a}} \right) + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} - 3} }} = Ln\left( {x + \sqrt {{x^2} - 3} } \right) + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\sqrt {{a^2} - {x^2}} dx = \frac{x}{2}\sqrt {{a^2} - {x^2}} + \frac{{{a^2}}}{2}{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} \left( {\frac{x}{a}} \right) + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\sqrt {1 - {x^2}} dx = \frac{x}{2}\sqrt {1 - {x^2}} + \frac{1}{2}{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} x + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\sqrt {{x^2} - {a^2}} dx = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} - {a^2}} - \frac{{{a^2}}}{2}{\mathop{\rm Arccosh}\nolimits} \left( {\frac{x}{a}} \right) + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\sqrt {{x^2} - 1} dx = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} - 1} - \frac{1}{2}{\mathop{\rm Arccosh}\nolimits} x + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\sqrt {{x^2} + {a^2}} dx = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} + {a^2}} + \frac{{{a^2}}}{2}{\mathop{\rm Arcsinh}\nolimits} \left( {\frac{x}{a}} \right) + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\sqrt {{x^2} + 1} dx = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} + 1} + \frac{1}{2}{\mathop{\rm Arcsinh}\nolimits} x + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{x\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} = - \frac{1}{a}{\mathop{\rm Arcsech}\nolimits} \left( {\frac{x}{a}} \right) + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\int {\frac{{dx}}{{x\sqrt {1 - {x^2}} }} = - {\mathop{\rm Arcsech}\nolimits} x + c} \end{array}\]


    \[ \boxed{{\int {\frac{{dx}}{{x\sqrt {{a^2} + {x^2}} }} = - \frac{1}{a}{\mathop{\rm Arccsch}\nolimits} \left( {\frac{x}{a}} \right) + c}}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{{dx}}{{x\sqrt {1 + {x^2}} }} = - {\mathop{\rm Arccsch}\nolimits} x + c} \end{array}\]


انتگرال Ln (لگاریتم طبیعی):

    \[ \boxed{{\int {{x^n}Ln\left( x \right)dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}Ln\left( x \right)} - \frac{{{x^{n + 1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} + c}} \]

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {Ln\left( x \right)dx = xLn\left( x \right)} - x + c\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}\left( {n = 0} \right)\\ \\ \int {xLn\left( x \right)dx = \frac{{{x^2}}}{2}Ln\left( x \right)} - \frac{{{x^2}}}{4} + c\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}\left( {n = 1} \right)\\ \\ \int {{x^2}Ln\left( x \right)dx = \frac{{{x^3}}}{3}Ln\left( x \right)} - \frac{{{x^3}}}{9} + c\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}\left( {n = 2} \right)\\ \\ \int {{x^7}Ln\left( x \right)dx = \frac{{{x^7}}}{7}Ln\left( x \right)} - \frac{{{x^7}}}{{49}} + c\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}\left( {n = 7} \right) \end{array}\]


این آموزش را نیز مطالعه کنید: فرم قطبی اعداد مختلط (تبدیل x و y به r و θ در نمایش اعداد مختلط)


تمام فرمول‌های انتگرال با این نکته به دست آمده است که مشتق جواب انتگرال با تابع داخل انتگرال برابر است. اثبات این فرمول‌ها در امتحانات نیاز نیست ولی با مشتقگیری از سمت راست می‌توان به تابع داخل انتگرال رسید.

مثلاً:

    \[\begin{array}{l} {\left( {\frac{1}{a}\tan ax + c} \right)^\prime } = \frac{1}{a}\left[ {a\left( {1 + {{\tan }^2}ax} \right)} \right] = 1 + {\tan ^2}ax\\ \\ \Rightarrow \int {\left( {1 + {{\tan }^2}ax} \right)dx = } \frac{1}{a}\tan ax + c \end{array}\]

اگر انتگرال داده شده دارای کران‌های مشخص برای انتگرال‌گیری باشد (مانند  \int_{x = a}^b {f\left( x \right)dx}  ) آن انتگرال را معین گوییم و با یافتن جواب انتگرال و قرار دادن کران‌ها به شکل زیر، جواب انتگرال را می‌یابیم:

    \[\int_{x = a}^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\]

نکته: در محاسبه انتگرال معین نیازی به استفاده از  c   در جواب نیست زیرا در هنگام محاسبه  F\left( b \right) - F\left( a \right) حذف می‌شود.


مثال: مساحت زیر منحنی  f\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 5 را به کمک فرمول‌های انتگرال در بازه  \left[ {1,2} \right]   بیابید.

حل: 

    \[\begin{array}{l} \int_{x = 1}^2 {\left( {3{x^2} - 4x + 5} \right)dx} = \left. {{x^3} - 2{x^2} + 5x} \right|_1^2\\ \\ = \left( {{2^3} - 2 \times {2^2} + 5 \times 2} \right) - \left( {{1^3} - 2 \times {1^2} + 5 \times 1} \right) = 10 - 4 = 6 \end{array}\]


تمرین: به کمک فرمول‌های انتگرال ، حاصل انتگرال‌های زیر را محاسبه کنید.

    \[\begin{array}{l} 1)\int_{x = 0}^3 {\left( { - 6{x^2} + 2x - 3} \right)dx} \\ \\ 2)\int_{x = 0}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\sin 2x - \cos x} \right)} dx\\ \\ 3)\int_0^2 {\frac{{dx}}{{x + 1}}} \end{array}\]


جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

guest
37 دیدگاه ها
قدیمی ترین
جدیدترین بیشترین آرا
Inline Feedbacks
مشاهده همه دیدگاه ها