فرمولهای مشتق

فرمولهای مشتق:

برای محاسبه فرمولهای مشتق توابع نیازی نیست هر بار از رابطه  f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}  استفاده کنیم، قبلاً به کمک این رابطه فرمولهای مشتق برای حالت‌های مختلف بدست آمده و فقط کافیست از آنها استفاده کنید.
ما ابتدا فرمول کلی را نوشته و سپس برای هر فرمول مثال‌هایی آورده‌ایم تا راحتتر آن فرمول را به خاطر بسپارید.

در این فرمول‌ها   k   ،   a    ،   n   و   m   اعداد ثابت و   u   تابعی برحسب   x   است.


مشتق عدد ثابت:

 

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\[
\boxed{{\left( k \right)^\prime } = 0 }}
\]

*** Error message:
Extra }, or forgotten $.
leading text: \boxed{{\left( k \right)^\prime } = 0 }}

    \[\begin{array}{l}\to {\left( 5 \right)^\prime } = 0\\\\{\left( { - 3} \right)^\prime } = 0\end{array}\]


مشتق عدد ضربدر x:

    \[ \boxed{{ {\left( {kx} \right)^\prime } = k }} \]

    \[\begin{array}{l}\\\\\to {\left( {3x} \right)^\prime } = 3\\\\{\left( { - 8x} \right)^\prime } = - 8\\\\{\left( x \right)^\prime } = 1\end{array}\]


مشتق x به توان عدد ثابت:

    \[ \boxed{{{\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{x^{n - 1}} }} \]

    \[\begin{array}{l}\\\to {\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2}\\\\{\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = {\left( {{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^\prime } = \frac{1}{2}{x^{ - \frac{1}{2}}}\\\\= \frac{1}{{2{x^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{1}{{2\sqrt x }}\end{array}\]


مشتق تابع به توان عدد ثابت:

    \[ \boxed{{{\left( {{u^n}} \right)^\prime } = nu'{u^{n - 1}}}} \]

    \[\begin{array}{l}\\\to {\left( {{{\left( {{x^2} + 3x - 7} \right)}^4}} \right)^\prime } = 4\left( {2x + 3} \right){\left( {{x^2} + 3x - 7} \right)^3}\end{array}\]


مشتق عدد ضربدر تابع:

    \[ \boxed{{{\left( {au} \right)^\prime } = au'}} \]

    \[\begin{array}{l}\\\to {\left( {4{x^6}} \right)^\prime } = 24{x^5}\\\\{\left( { - 5\sqrt x } \right)^\prime } = - \frac{5}{{2\sqrt x }}\end{array}\]


مشتق جمع و تفریق دو تابع:

    \[ \boxed{{{\left( {u \pm v} \right)^\prime } = u' \pm v'}} \]

    \[\begin{array}{l}\\\to {\left( {{x^5} - 4{x^2}} \right)^\prime } = 5{x^4} - 8x\end{array}\]


مشتق حاصلضرب دو تابع:

    \[ \boxed{{{\left( {u \times v} \right)^\prime } = u' \times v + v' \times u}} \]

    \[\begin{array}{l}\\\to {\left( {{{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^3}(\sqrt x - 5{x^2})} \right)^\prime } = \\\\\left( {3\left( {2x + 2} \right){{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^2}(\sqrt x - 5{x^2})} \right) + \left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} - 10x} \right){\left( {{x^2} + 2x} \right)^3}\end{array}\]


مشتق توابع کسری:

    \[ \boxed{{{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u' \times v - v' \times u}}{{{v^2}}}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {\frac{{{x^3} - 4x}}{{2x + 7}}} \right)^\prime } = \frac{{\left( {3{x^2} - 4} \right)\left( {2x + 7} \right) - 2\left( {{x^3} - 4x} \right)}}{{{{\left( {2x + 7} \right)}^2}}}\end{array}\]


مشتق یک تقسیم بر یک تابع (به کمک فرمول قبلی):

    \[ \boxed{{{\left( {\frac{1}{u}} \right)^\prime } = - \frac{{u'}}{{{u^2}}}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\rm{ }}{\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{x^2}}}\\\\{\left( {\frac{1}{{3{x^4} - x}}} \right)^\prime } = - \frac{{12{x^3} - 1}}{{{{\left( {3{x^4} - x} \right)}^2}}}\end{array}\]


مشتق رادیکال یک تابع:

    \[ \boxed{{{\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }} }} \]

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\[\begin{array}{l}{\left( {\sqrt x } \right)^\p\torime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\\\\{\left( {\sqrt {6{x^3} + 2{x^2} - 7x + 1} } \right)^\prime } = \frac{{18{x^2} + 4x - 7}}{{2\sqrt {6{x^3} + 2{x^2} - 7x + 1} }}\end{array}\]

*** Error message:
Undefined control sequence \p.
leading text: ...egin{array}{l}{\left( {\sqrt x } \right)^\p


حالت کلی مشتق رادیکال یک تابع (با توان و فرجه رادیکال دلخواه):

    \[ \boxed{{{\left( {\sqrt[n]{{{u^m}}}} \right)^\prime } = {\left( {{u^{\frac{m}{n}}}} \right)^\prime } = \frac{{mu'}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n - m}}}}}}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\rm{ }}{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)^\prime } = \frac{{2 \times 1}}{{3\sqrt[3]{x}}}\\\\{\left( {\sqrt[5]{{{{({x^2} - 4x)}^3}}}} \right)^\prime } = \frac{{3 \times \left( {2x - 4} \right)}}{{5 \times \sqrt[5]{{{{({x^2} - 4x)}^2}}}}}\end{array}\]


مشتق قدرمطلق:

    \[ \boxed{{{\left( {\left| u \right|} \right)^\prime } = \frac{{u'u}}{{\left| u \right|}}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {\left| {6{x^2} + 3x - 7} \right|} \right)^\prime } = \frac{{\left( {12x + 3} \right)\left( {6{x^2} + 3x - 7} \right)}}{{\left| {6{x^2} + 3x - 7} \right|}}\end{array}\]


فرمولهای مشتق توابع مثلثاتی:


مشتق سینوس:

    \[ \boxed{{{\left( {\sin u} \right)^\prime } = u'\cos u}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\\\\{\left( {\sin \left( {{x^2} + \sqrt x } \right)} \right)^\prime } = \left( {2x + \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)\cos \left( {{x^2} + \sqrt x } \right)\end{array}\]


مشتق کسینوس:

    \[ \boxed{{{\left( {\cos u} \right)^\prime } = - u'\sin u}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x{\rm{ }}\\\\{\left( {\cos \left( { - 5{x^3} + 3x} \right)} \right)^\prime } = - \left( { - 15{x^2} + 3} \right)\sin \left( { - 5{x^3} + 3x} \right)\end{array}\]


مشتق تانژانت:

    \[ \boxed{{{\left( {\tan u} \right)^\prime } = u'(1 + {\tan ^2}u) = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {\tan {x^2}} \right)^\prime } = 2x(1 + {\tan ^2}{x^2}) = \frac{{2x}}{{{{\cos }^2}{x^2}}}{\rm{ }}\end{array}\]


مشتق کتانژانت:

    \[ \boxed{{{\left( {\cot u} \right)^\prime } = - u'(1 + {\cot ^2}u) = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\rm{ }}{\left( {\cot \sqrt x } \right)^\prime } = - \frac{1}{{2\sqrt x }}(1 + {\cot ^2}\sqrt x )\\\\= - \frac{{\frac{1}{{2\sqrt x }}}}{{{{\sin }^2}\sqrt x }} = - \frac{1}{{2\sqrt x {{\sin }^2}\sqrt x }}\end{array}\]


مشتق سکانت:

    \[ \boxed{{{\left( {\sec u} \right)^\prime } = u'.\sec u.\tan u}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {\sec x} \right)^\prime } = \sec x.\tan x\\\\{\left( {\sec \sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\sec \sqrt x .\tan \sqrt x \end{array}\]


مشتق کسکانت:

    \[ \boxed{{{\left( {\csc u} \right)^\prime } = - u'.\csc u.\cot u}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {\csc x} \right)^\prime } = - \csc x.\cot x,\\\\{\left( {\csc {x^2}} \right)^\prime } = - 2x.\csc {x^2}.\cot {x^2}\end{array}\]


فرمولهای مشتق توابع معکوس مثلثاتی:

مشتق آرک سینوس (سینوس معکوس):

    \[ \boxed{{{\left( {{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} u} \right)^\prime } = {\left( {si{n^{ - 1}}u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{\sqrt {1 - {u^2}} }}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {{{\sin }^{ - 1}}\left( {2{x^3} - 5x} \right)} \right)^\prime } = \frac{{6{x^2} - 5}}{{\sqrt {1 - {{\left( {2{x^3} - 5x} \right)}^2}} }}\end{array}\]


مشتق آرک کسینوس (کسینوس معکوس):

    \[ \boxed{{{\left( {{\mathop{\rm Arccos}\nolimits} u} \right)^\prime } = {\left( {{{\cos }^{ - 1}}u} \right)^\prime } = - \frac{{u'}}{{\sqrt {1 - {u^2}} }}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\rm{ }}{\left( {{{\cos }^{ - 1}}\left( {{x^2} + 2} \right)} \right)^\prime } = - \frac{{2x}}{{\sqrt {1 - {{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}} }}\end{array}\]


مشتق آرک تانژانت (تانژانت معکوس):

    \[ \boxed{{{\left( {{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} u} \right)^\prime } = {\left( {{{\tan }^{ - 1}}u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{1 + {u^2}}}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\rm{ }}{\left( {{{\tan }^{ - 1}}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{1 + {x^2}}}\\\\{\left( {{{\tan }^{ - 1}}(\sin x)} \right)^\prime } = \frac{{\cos x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}\end{array}\]


مشتق آرک کتانژانت (کتانژانت معکوس):

    \[ \boxed{{{\left( {{\mathop{\rm Arccot}\nolimits} u} \right)^\prime } = {\left( {{{\cot }^{ - 1}}u} \right)^\prime } = - \frac{{u'}}{{1 + {u^2}}}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {{{\cot }^{ - 1}}x} \right)^\prime } = - \frac{1}{{1 + {x^2}}}\\\\{\left( {{{\cot }^{ - 1}}(5{x^4})} \right)^\prime } = - \frac{{20{x^3}}}{{1 + 25{x^8}}}\end{array}\]


مشتق توابع هیپربولیک:

مشتق سینوس هیپربولیک:

    \[ \boxed{{{\left( {\sinh u} \right)^\prime } = u'\cosh u}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {\sinh x} \right)^\prime } = \cosh x\\\\{\left( {\sinh \left( {4\sqrt x } \right)} \right)^\prime } = \frac{2}{{\sqrt x }}\cosh \left( {4\sqrt x } \right)\end{array}\]


مشتق کسینوس هیپربولیک:

    \[ \boxed{{{\left( {\cosh u} \right)^\prime } = u'\sinh u}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {\cosh x} \right)^\prime } = \sinh x\\\\{\left( {\cosh \left( {5{x^3} + 2x} \right)} \right)^\prime } = \left( {15{x^2} + 2} \right)\sinh \left( {5{x^3} + 2x} \right)\end{array}\]


مشتق تانژانت هیپربولیک:

    \[ \boxed{{{\left( {\tanh u} \right)^\prime } = u'\left( {1 - {{\tanh }^2}u} \right)}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {\tanh x} \right)^\prime } = 1 - {\tanh ^2}x\\\\{\left( {\tanh {x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2}(1 - {\tanh ^2}{x^3})\end{array}\]


مشتق کتانژانت هیپربولیک:

    \[ \boxed{{{\left( {\coth u} \right)^\prime } = u'\left( {1 - {{\coth }^2}u} \right)}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {\coth x} \right)^\prime } = 1 - {\coth ^2}x\\\\{\left( {\coth 4{x^2}} \right)^\prime } = 8x(1 - {\tanh ^2}16{x^4})\end{array}\]


    \[ \boxed{{{\left( {{\mathop{\rm Arcsinh}\nolimits} u} \right)^\prime } = {\left( {{{\sinh }^{ - 1}}u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{\sqrt {{u^2} + 1} }}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\rm{ }}{\left( {{{\sinh }^{ - 1}}\left( {\cos x} \right)} \right)^\prime } = \frac{{ - \sin x}}{{\sqrt {{{\cos }^2}x + 1} }}\end{array}\]


    \[ \boxed{{{\left( {{\mathop{\rm Arccosh}\nolimits} u} \right)^\prime } = {\left( {{{\cosh }^{ - 1}}u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{\sqrt {{u^2} - 1} }}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {{{\cosh }^{ - 1}}\left( {\sqrt x } \right)} \right)^\prime } = \frac{{\frac{1}{{2\sqrt x }}}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \frac{1}{{2\sqrt x \sqrt {{x^2} - 1} }} = \frac{1}{{2\sqrt {{x^3} - x} }}\end{array}\]


    \[ \boxed{{{\left( {{\mathop{\rm Arctanh}\nolimits} u} \right)^\prime } = {\left( {{{\tanh }^{ - 1}}u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{1 - {u^2}}}{\rm{ }}\left| u \right| < 1}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {{{\tanh }^{ - 1}}\left( {\sin x} \right)} \right)^\prime } = \frac{{\cos x}}{{1 - {{\sin }^2}x}} = \frac{{\cos x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{\cos x}}\end{array}\]


    \[ \boxed{{{\left( {{\mathop{\rm Arccoth}\nolimits} u} \right)^\prime } = {\left( {{{\coth }^{ - 1}}u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{1 - {u^2}}}{\rm{ }}\left| u \right| > 1}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {{{\coth }^{ - 1}}\left( {1 + {x^2}} \right)} \right)^\prime } = \frac{{2x}}{{1 - {{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}\end{array}\]


فرمولهای مشتق توابع نمایی و لگاریتمی:


مشتق e (عدد نپر):

    \[ \boxed{{{\left( {{e^u}} \right)^\prime } = u'{e^u}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x}\\\\{\left( {{e^{2\cos x - 3{x^4}}}} \right)^\prime } = \left( { - 2\sin x - 12{x^3}} \right){e^{2\cos x - 3{x^4}}}\end{array}\]


مشتق عدد ثابت به توان تابع:

    \[ \boxed{{{\left( {{a^u}} \right)^\prime } = u'{a^u}Lna}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}Lna\\\\{\left( {{3^{5\tan x}}} \right)^\prime } = 5\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right){3^{5\tan x}}Ln3\end{array}\]


مشتق تابع به توان تابع:

    \[ \boxed{{{\left( {{u^v}} \right)^\prime } = {u^v}\left( {\frac{{u'v}}{u} + v'Lnu} \right)}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {\sin {x^{\tan x}}} \right)^\prime } = \sin {x^{\tan x}}\left( {\overbrace {\frac{{\cos x\tan x}}{{\sin x}}}^1 + \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)Ln\sin x} \right)\end{array}\]


مشتق Ln (لگاریتم طبیعی):

    \[ \boxed{{{\left( {Lnu} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{u}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {Lnx} \right)^\prime } = \frac{1}{x}\\\\{\left( {Ln\left( {7{x^3} + \sin x} \right)} \right)^\prime } = \frac{{21{x^2} + \cos x}}{{7{x^3} + \sin x}}\end{array}\]


مشتق لگاریتم هر تابع در پایه دلخواه:

    \[ \boxed{{{\left( {Lo{g_a}u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{uLna}}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {Lo{g_a}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{xLna}}\\\\{\left( {Lo{g_8}\left( {3{x^2} + \sqrt x } \right)} \right)^\prime } = \frac{{6x + \frac{1}{{2\sqrt x }}}}{{\left( {3{x^2} + \sqrt x } \right)Ln8}}\end{array}\]


نکته: مشتق توابعی که در مخرج قرار دارند را می‌توان با رابطه   \frac{1}{u} = {u^{ - 1}}   یافت.

مثال: مشتق تابع   f\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^3} - 3x + 1}}   را بیابید.

حل:

    \[\begin{array}{l}f\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^3} - 3x + 1}} = {\left( {2{x^3} - 3x + 1} \right)^{ - 1}}\\\\\Rightarrow f'\left( x \right) = {\left( {{{\left( {2{x^3} - 3x + 1} \right)}^{ - 1}}} \right)^\prime }\\\\= \left( { - 1} \right)\left( {6{x^2} - 3} \right){\left( {2{x^3} - 3x + 1} \right)^{ - 2}}\end{array}\]


تمرین: مشتق توابع زیر را بیابید.

    \[\begin{array}{l}1)f\left( x \right) = 4{x^3} - 5{x^2} + 7x - 9\\\\2)f\left( x \right) = {\left( { - 2{x^3} + 4{x^2} - x + 2} \right)^4}\\\\3)f\left( x \right) = \left( {5{x^2} - 11x + 3} \right)\left( {\sin 4x - 3Lnx} \right)\\\\4)f\left( x \right) = \frac{{3{x^3} - 5x - 1}}{{2{e^{3x}}}}\\\\5)f\left( x \right) = \frac{1}{{7\tan {x^4}}}\\\\6)f\left( x \right) = \sqrt { - 2{x^3} + 5{x^2} + 3x - 2} \\\\7)f\left( x \right) = \sqrt[7]{{{{\left( {{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} \left( {3Lnx} \right) - 2\cot \left( {5{x^2} - 3x + 2} \right)} \right)}^2}}}\\\\8)f\left( x \right) = \left| {{\mathop{\rm Arcsinh}\nolimits} {x^3} - {\mathop{\rm Arccoth}\nolimits} \left( {5{e^{4x}} - 2{x^3} + 3\sin 4x} \right)} \right|\\\\9)f\left( x \right) = {({x^2} - 3x + 4)^{4{{\cos }^{ - 1}}5x}}\\\\10)f\left( x \right) = Lo{g_3}\left( {4x\sin 3x} \right)\end{array}\]

جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:

 

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

 

مشتق و کاربرد آن

روابط مشتقفرمولهای مشتقمشتق

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

73 دیدگاه

  • با عرض سلام و خسته نباشید. (sec^-1(x جزء فرمولها نبود. این مشتق رو چطوری میشه محاسبه کرد؟

    • سلام
      مشتق {\sec ^{ - 1}}x برابر است با \frac{1}{{{x^2}\sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{x}} \right)}^2}} }} یا \frac{1}{{x\sqrt {{x^2} - 1} }}
      فرمولهای مشابه این، معمولاً در امتحانات نمیاد و ما برای اینکه دانشجویان عزیز مشکلی در حفظ کردن فرمولهای اساسی نداشته باشند حذفشون کردیم.

    • سلام خسته نباشید
      مشتق این معادله ی مکان درفیزیک چجوری است؟
      X=16te(که eبه توان t_باشد)

  • من دانشجو هستم از دبیرستان با مشتق مشکل داشتم. تونستم یه بار برای همیشه یادشون بگیرم راحت بشم. خدا خیر و سلامتی بهتون بده.

  • با سلام. جسارتاً مشتق ln xe2 چی میشه؟(ال ان ایکس به توان2)

    • سلام
      مشتق Ln\left( {{x^2}} \right) برابر است با \frac{2}{x}
      زیرا طبق فرمول {\left( {Lnu} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{u} که در آموزش بالا هست داریم:

          \[{\left( {Ln\left( {{x^2}} \right)} \right)^\prime } = \frac{{2x}}{{{x^2}}} = \frac{2}{x}\]

  • سلام ممنون از سایت خوبتون
    مشتق تابع T=2 pi√L/g
    نسبت به L و g چطوری حساب میشه؟

    • سلام

      متشکرم از لطفتون

      از فرمول {\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }} استفاده کنید.

      مثلاً مشتق T = 2\pi \sqrt {\frac{L}{g}} نسبت به L برابر است با:

      \frac{{dT}}{{dL}} = 2\pi \frac{1}{{2\sqrt {\frac{L}{g}} }} = \pi \sqrt {\frac{g}{L}}

    • با سلام

      به کمک تعریف مشتق به راحتی اثبات می‌شود.

      از رابطه زیر:

      \frac{d}{{dx}}Lnx = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{Ln\left( {x + h} \right) - Ln\left( x \right)}}{h}

      می‌توان مشتق Lnx را اثبات کرد.

  • متشکرم از شما. براتون ارزوی سلامتی و موفقیت های روز افزون دارم. دلتون شاد و زندگیتون پر از ارامش

    • درود بر شما
      من هم بابت پیام بسیار مثبت و دلگرم‌کننده‌تون متشکرم.
      براتون بهترین‌ها رو آرزو میکنم

  • سلام استادخسته نباشیدبنده ازیه استان خیلی محروم به شما پیام میدم اگرامکانش هست اموزش مشتق وانتگرال ودیفرانسل روهرکدوم ب صورت صفرتا صدبه صورت تصویری اماده کنیدوبه ما ارائه بدیدواقعا نیازداریم خدایش استاداینکاروکنیدکه مابتونیم تهیه کنیم ودرمنزل به صورت کامل بخونیم ویادبگیریم چون واقعا استاد های ما نمیتونن مثل شما قشنگ درس بدن که ادم یادبگیره بنده حسین دالوند هستم منتظرایمیل شما هستم استاد

  • سلام خسته نباشی میشه لطف کنیدمشتق مرتبه دوم هیبربولیک بگید؟؟؟؟؟؟

    • سلام
      برای بدست آوردن مشتق دوم کافیست از مشتق اول مجدداً مشتق بگیرید. مثلاً مشتق اول Sinh 3x میشه 3Cosh 3x و مشتق دومش میشه 9Sinh 3x که در واقع مشتق 3Cosh 3x هست.

    • سلام از مشتق {U^n} کمک بگیرید.
      مثلاً {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^\prime } = 2\cos x\sin x = \sin 2x
      مشتق \sec x\tan x هم به صورت زیر به دست میاد:
      \begin{array}{l} {\left( {\sec x\tan x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{1}{{\cos x}}\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)^\prime }\\ \\  = \frac{{{{\cos }^3}x + 2{{\sin }^2}x\cos x}}{{{{\cos }^4}x}} = \frac{{{{\cos }^2}x + 2{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^3}x}} = \frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^3}x}} \end{array}

  • سلام وقت بخیر استاد جسارتا استاد داخل تمرین های ریاضی عمومی یک اشتباهی وجود داره به طوری که مشتق. 3Ln4x. رو نوشتید 3 به روی x. مگه طبق قانون های خودتون Ln(u). برابر نیست با مشتق u’ بر روی u. استاد من خیلی موندم داخل این تورو خدا اگ میشه بگید شاید من در اشتباهم

    • اشتباه نشده. یک بار دیگه مشتق بگیرید ولی با دقت بیشتر تا متوجه بشید!
      (راهنمایی: k{\left( {Lnu} \right)^\prime } = k\frac{{u'}}{u})

  • سلام استاد خسته نباشین کارتون عالی هست
    میشه فرمول مشتق 1 به روی رادیکال eبه توان u رو بزارید ممنون میشم

    • سلام
      ممنون
      مشتق به صورت زیر هست:

      \begin{array}{l} {\left( {\frac{1}{{\sqrt {{e^u}} }}} \right)^\prime } = {\left( {\frac{1}{{{{\left( {{e^u}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}} \right)^\prime } = {\left( {{{\left( {{e^u}} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}} \right)^\prime } = \\ \\ {\left( {{e^{ - \frac{1}{2}u}}} \right)^\prime } =  - \frac{1}{2}u'{e^{ - \frac{1}{2}u}} \end{array}

      اگر هم مشتق بر حسب u باشه جواب میشه:

      - \frac{1}{2}{e^{ - \frac{1}{2}u}}

  • سلام استاد خسته نباشید. میشه مشتق sinxرو با استفاده از تعریف تابع رو بزارید؟ممنون

    • سلام
      سلامت باشید.
      در فرمول زیر:

      f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}

      به جای f\left( x \right) از \sin x استفاده کنید و حد رو محاسبه کنید.
      مطالعه آموزش زیر هم میتونه کمکتون کنه:
      مشتق تابع

    • با سلام
      فرمول مشتق sin x در روابط بالا موجود هست که برابر با cos x می‌باشد.
      موفق و موید باشید

  • با سلام من یه سوال داشتم
    اثبات فرمول مشتق ضمنی رو میخوام

  • سلام و خسته نباشید فک کنم مشتق cothu رو اشتباه گفتین میبایست یه منفی قبلش بیاد

    • سلام
      وقت بخیر
      از ۲ منبع متفاوت انگلیسی چک کردم، صحیح هست. احتمالا فرمولی که شما مشاهده کردید داخل پرانتز جابجا هست که در اون صورت یک منفی قبلش میاد.
      موفق و پیروز باشید.

  • سلام استاد خسته نباشید ببخشید فرمول مشتق xبه توانuهم اگه میشه قرار بدید ممنون

    • سلام
      در فرمولهای بالا مشتق u به توان v را پیدا کنید و u را x در نظر بگیرید. در این حالت خاص ‘u برابر با یک خواهد بود.
      موفق باشید.

  • سلام و عرض ادب خدمت استاد گرامی
    یه سوال برایم پیش آمده که خدمت شما عرض میکنم:
    اگر مشتق یک تابع برابر شود با cot x، اون تابع رو چگونه بدست بیاریم؟

    • سلام
      از تابع موردنظر انتگرال بگیرید تا به جوابتون برسید.
      بخش انتگرال ها را مطالعه کنید لطفاً.

  • سلام، مرسی از جوابتون، میشه این دوتا مشتق رو هم حل کنید:
    g (x):کسینوس رادیکال وای۲ منهای ۱
    X^y+y^x_tan^_1y/x=0

  • سلام میشه لطفا مشتق(Log(X²+√cosx) رو حل کنید. لگاریتمش بر مبنای پنج هست.

  • سلام خسته نباشید میشه لطف مشتق این عباراتو حساب کنید؟
    Xsin(xy-y²) +1=x²

    Y=√(sinx) ²+cosx
    رادیکال برای کل عبارته با فرجه ۳

  • سلام استاد خسته نباشید میشه لطفا بگین این سوال چطور حل میشه؟
    Z³-√3=i

  • سلام استاد مشتق سینوس به توان ۶ یک بر روی ایکس منهای یک چجوری حساب میشه؟
    (Sin^6(1/x-1

    • سلام
      اگر منهای یک هم در مخرج باشد داریم:

          \[{\left( {{{\sin }^6}\left( {\frac{1}{{x - 1}}} \right)} \right)^\prime } =  - \frac{{6{{\sin }^5}\left( {\frac{1}{{x - 1}}} \right)\cos \left( {\frac{1}{{x - 1}}} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\]

      ولی اگر منهای یک جلوی یک بر روی ایکس باشد داریم:

          \[{\left( {{{\sin }^6}\left( {\frac{1}{x} - 1} \right)} \right)^\prime } =  - \frac{{6{{\sin }^5}\left( {\frac{1}{x} - 1} \right)\cos \left( {\frac{1}{x} - 1} \right)}}{{{x^2}}}\]

  • سلام مشتق تابع نمایی ae^-bx
    (a ضزبدر eبه توان منفیbx )
    میشه -a b e^-bx
    (منفی a ضزبدر b ضربدر eبه توان منفی bx )
    درسته؟

  • سلام خسته نباشید جسارتا میشه بگید مقدار تقریبی cos 46 درجه و مقدار تقریبی 27/2√ <با فرجه سه چطور ب دست میان؟؟

  • سلام
    چ فرمول های واضح و کاملی
    اگه میشه بگین مشتق دوم sinx و مشتق دوم cos x رو چطوری محاسبه کنم؟

  • باسلام وخسته نباشید اثبات مشتق چندجمله ای‌‌ntبه توانn_1 چجوریه

    • سلام
      اثبات‌ها در پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ به تفصیل توضیح داده شده است.

  • واقعا عالی عالی بود استاد بهتر ازین ندیده بودم خیلی خیلی مفید بود و استفاه کردم ممنون از شما

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *