فرمولهای مشتق (با مثال + فیلم + دانلود pdf)

فرمولهای مشتق:

برای محاسبه فرمولهای مشتق توابع نیازی نیست هر بار از رابطه $f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}$ استفاده کنیم، قبلاً به کمک این رابطه فرمولهای مشتق برای حالت‌های مختلف بدست آمده و فقط کافیست از آنها استفاده کنید.
ما ابتدا فرمول کلی را نوشته و سپس برای هر فرمول مثال‌هایی آورده‌ایم تا راحتتر آن فرمول را به خاطر بسپارید.

در این فرمول‌ها $k$ ، $a$ ، $n$ و $m$ اعداد ثابت و $u$ تابعی برحسب $x$ است.

مشتق عدد ثابت:

$\boxed{{\left( k \right)^\prime } = 0 }}$

$\begin{array}{l}\to {\left( 5 \right)^\prime } = 0\\\\{\left( { - 3} \right)^\prime } = 0\end{array}$

مشتق عدد ضربدر $x$ :

$\boxed{{ {\left( {kx} \right)^\prime } = k }}$

$\begin{array}{l}\\\\\to {\left( {3x} \right)^\prime } = 3\\\\{\left( { - 8x} \right)^\prime } = - 8\\\\{\left( x \right)^\prime } = 1\end{array}$

مشتق $x$ به توان عدد ثابت:

$\boxed{{{\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{x^{n - 1}} }}$

$\begin{array}{l}\\\to {\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2}\\\\{\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = {\left( {{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^\prime } = \frac{1}{2}{x^{ - \frac{1}{2}}}\\\\= \frac{1}{{2{x^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{1}{{2\sqrt x }}\end{array}$

مشتق تابع به توان عدد ثابت:

$\boxed{{{\left( {{u^n}} \right)^\prime } = nu'{u^{n - 1}}}}$

$\begin{array}{l}\\\to {\left( {{{\left( {{x^2} + 3x - 7} \right)}^4}} \right)^\prime } = 4\left( {2x + 3} \right){\left( {{x^2} + 3x - 7} \right)^3}\end{array}$

مشتق عدد ضربدر تابع:

$\boxed{{{\left( {au} \right)^\prime } = au'}}$

$\begin{array}{l}\\\to {\left( {4{x^6}} \right)^\prime } = 24{x^5}\\\\{\left( { - 5\sqrt x } \right)^\prime } = - \frac{5}{{2\sqrt x }}\end{array}$

مشتق جمع و تفریق دو تابع:

$\boxed{{{\left( {u \pm v} \right)^\prime } = u' \pm v'}}$

$\begin{array}{l}\\\to {\left( {{x^5} - 4{x^2}} \right)^\prime } = 5{x^4} - 8x\end{array}$

مشتق حاصلضرب دو تابع:

$\boxed{{{\left( {u \times v} \right)^\prime } = u' \times v + v' \times u}}$

$\begin{array}{l}\\\to {\left( {{{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^3}(\sqrt x - 5{x^2})} \right)^\prime } = \\\\\left( {3\left( {2x + 2} \right){{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^2}(\sqrt x - 5{x^2})} \right) + \left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} - 10x} \right){\left( {{x^2} + 2x} \right)^3}\end{array}$

مشتق توابع کسری:

$\boxed{{{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u' \times v - v' \times u}}{{{v^2}}}}}$

$\begin{array}{l}\to {\left( {\frac{{{x^3} - 4x}}{{2x + 7}}} \right)^\prime } = \frac{{\left( {3{x^2} - 4} \right)\left( {2x + 7} \right) - 2\left( {{x^3} - 4x} \right)}}{{{{\left( {2x + 7} \right)}^2}}}\end{array}$

مشتق یک تقسیم بر یک تابع (به کمک فرمول قبلی):

$\boxed{{{\left( {\frac{1}{u}} \right)^\prime } = - \frac{{u'}}{{{u^2}}}}}$

$\begin{array}{l}\to {\rm{ }}{\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{x^2}}}\\\\{\left( {\frac{1}{{3{x^4} - x}}} \right)^\prime } = - \frac{{12{x^3} - 1}}{{{{\left( {3{x^4} - x} \right)}^2}}}\end{array}$

مشتق رادیکال یک تابع:

$\boxed{{{\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }} }}$

$\begin{array}{l}{\left( {\sqrt x } \right)^\p\torime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\\\\{\left( {\sqrt {6{x^3} + 2{x^2} - 7x + 1} } \right)^\prime } = \frac{{18{x^2} + 4x - 7}}{{2\sqrt {6{x^3} + 2{x^2} - 7x + 1} }}\end{array}$

حالت کلی مشتق رادیکال یک تابع (با توان و فرجه رادیکال دلخواه):

$\boxed{{{\left( {\sqrt[n]{{{u^m}}}} \right)^\prime } = {\left( {{u^{\frac{m}{n}}}} \right)^\prime } = \frac{{mu'}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n - m}}}}}}}}$

$\begin{array}{l}\to {\rm{ }}{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)^\prime } = \frac{{2 \times 1}}{{3\sqrt[3]{x}}}\\\\{\left( {\sqrt[5]{{{{({x^2} - 4x)}^3}}}} \right)^\prime } = \frac{{3 \times \left( {2x - 4} \right)}}{{5 \times \sqrt[5]{{{{({x^2} - 4x)}^2}}}}}\end{array}$

مشتق قدرمطلق:

$\boxed{{{\left( {\left| u \right|} \right)^\prime } = \frac{{u'u}}{{\left| u \right|}}}}$

$\begin{array}{l}\to {\left( {\left| {6{x^2} + 3x - 7} \right|} \right)^\prime } = \frac{{\left( {12x + 3} \right)\left( {6{x^2} + 3x - 7} \right)}}{{\left| {6{x^2} + 3x - 7} \right|}}\end{array}$

فرمولهای مشتق توابع مثلثاتی:

مشتق سینوس:

$\boxed{{{\left( {\sin u} \right)^\prime } = u'\cos u}}$

$\begin{array}{l}\to {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\\\\{\left( {\sin \left( {{x^2} + \sqrt x } \right)} \right)^\prime } = \left( {2x + \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)\cos \left( {{x^2} + \sqrt x } \right)\end{array}$

مشتق کسینوس:

$\boxed{{{\left( {\cos u} \right)^\prime } = - u'\sin u}}$

$\begin{array}{l}\to {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x{\rm{ }}\\\\{\left( {\cos \left( { - 5{x^3} + 3x} \right)} \right)^\prime } = - \left( { - 15{x^2} + 3} \right)\sin \left( { - 5{x^3} + 3x} \right)\end{array}$

مشتق تانژانت:

$\boxed{{{\left( {\tan u} \right)^\prime } = u'(1 + {\tan ^2}u) = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}}}$

$\begin{array}{l}\to {\left( {\tan {x^2}} \right)^\prime } = 2x(1 + {\tan ^2}{x^2}) = \frac{{2x}}{{{{\cos }^2}{x^2}}}{\rm{ }}\end{array}$

مشتق کتانژانت:

$\boxed{{{\left( {\cot u} \right)^\prime } = - u'(1 + {\cot ^2}u) = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}}}$

$\begin{array}{l}\to {\rm{ }}{\left( {\cot \sqrt x } \right)^\prime } = - \frac{1}{{2\sqrt x }}(1 + {\cot ^2}\sqrt x )\\\\= - \frac{{\frac{1}{{2\sqrt x }}}}{{{{\sin }^2}\sqrt x }} = - \frac{1}{{2\sqrt x {{\sin }^2}\sqrt x }}\end{array}$

مشتق سکانت:

$\boxed{{{\left( {\sec u} \right)^\prime } = u'.\sec u.\tan u}}$

$\begin{array}{l}\to {\left( {\sec x} \right)^\prime } = \sec x.\tan x\\\\{\left( {\sec \sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\sec \sqrt x .\tan \sqrt x \end{array}$

مشتق کسکانت:

$\boxed{{{\left( {\csc u} \right)^\prime } = - u'.\csc u.\cot u}}$

$\begin{array}{l}\to {\left( {\csc x} \right)^\prime } = - \csc x.\cot x,\\\\{\left( {\csc {x^2}} \right)^\prime } = - 2x.\csc {x^2}.\cot {x^2}\end{array}$

فرمولهای مشتق توابع معکوس مثلثاتی:

مشتق آرک سینوس (سینوس معکوس):

$\boxed{{{\left( {{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} u} \right)^\prime } = {\left( {si{n^{ - 1}}u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{\sqrt {1 - {u^2}} }}}}$

$\begin{array}{l}\to {\left( {{{\sin }^{ - 1}}\left( {2{x^3} - 5x} \right)} \right)^\prime } = \frac{{6{x^2} - 5}}{{\sqrt {1 - {{\left( {2{x^3} - 5x} \right)}^2}} }}\end{array}$

مشتق آرک کسینوس (کسینوس معکوس):

$\boxed{{{\left( {{\mathop{\rm Arccos}\nolimits} u} \right)^\prime } = {\left( {{{\cos }^{ - 1}}u} \right)^\prime } = - \frac{{u'}}{{\sqrt {1 - {u^2}} }}}}$

$\begin{array}{l}\to {\rm{ }}{\left( {{{\cos }^{ - 1}}\left( {{x^2} + 2} \right)} \right)^\prime } = - \frac{{2x}}{{\sqrt {1 - {{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}} }}\end{array}$

مشتق آرک تانژانت (تانژانت معکوس):

$\boxed{{{\left( {{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} u} \right)^\prime } = {\left( {{{\tan }^{ - 1}}u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{1 + {u^2}}}}}$

$\begin{array}{l}\to {\rm{ }}{\left( {{{\tan }^{ - 1}}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{1 + {x^2}}}\\\\{\left( {{{\tan }^{ - 1}}(\sin x)} \right)^\prime } = \frac{{\cos x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}\end{array}$

مشتق آرک کتانژانت (کتانژانت معکوس):

$\boxed{{{\left( {{\mathop{\rm Arccot}\nolimits} u} \right)^\prime } = {\left( {{{\cot }^{ - 1}}u} \right)^\prime } = - \frac{{u'}}{{1 + {u^2}}}}}$

$\begin{array}{l}\to {\left( {{{\cot }^{ - 1}}x} \right)^\prime } = - \frac{1}{{1 + {x^2}}}\\\\{\left( {{{\cot }^{ - 1}}(5{x^4})} \right)^\prime } = - \frac{{20{x^3}}}{{1 + 25{x^8}}}\end{array}$

مشتق توابع هیپربولیک:

مشتق سینوس هیپربولیک:

$\boxed{{{\left( {\sinh u} \right)^\prime } = u'\cosh u}}$

$\begin{array}{l}\to {\left( {\sinh x} \right)^\prime } = \cosh x\\\\{\left( {\sinh \left( {4\sqrt x } \right)} \right)^\prime } = \frac{2}{{\sqrt x }}\cosh \left( {4\sqrt x } \right)\end{array}$

مشتق کسینوس هیپربولیک:

$\boxed{{{\left( {\cosh u} \right)^\prime } = u'\sinh u}}$

$\begin{array}{l}\to {\left( {\cosh x} \right)^\prime } = \sinh x\\\\{\left( {\cosh \left( {5{x^3} + 2x} \right)} \right)^\prime } = \left( {15{x^2} + 2} \right)\sinh \left( {5{x^3} + 2x} \right)\end{array}$

مشتق تانژانت هیپربولیک:

$\boxed{{{\left( {\tanh u} \right)^\prime } = u'\left( {1 - {{\tanh }^2}u} \right)}}$

$\begin{array}{l}\to {\left( {\tanh x} \right)^\prime } = 1 - {\tanh ^2}x\\\\{\left( {\tanh {x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2}(1 - {\tanh ^2}{x^3})\end{array}$

مشتق کتانژانت هیپربولیک:

$\boxed{{{\left( {\coth u} \right)^\prime } = u'\left( {1 - {{\coth }^2}u} \right)}}$

$\begin{array}{l}\to {\left( {\coth x} \right)^\prime } = 1 - {\coth ^2}x\\\\{\left( {\coth 4{x^2}} \right)^\prime } = 8x(1 - {\tanh ^2}16{x^4})\end{array}$

$\boxed{{{\left( {{\mathop{\rm Arcsinh}\nolimits} u} \right)^\prime } = {\left( {{{\sinh }^{ - 1}}u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{\sqrt {{u^2} + 1} }}}}$

$\begin{array}{l}\to {\rm{ }}{\left( {{{\sinh }^{ - 1}}\left( {\cos x} \right)} \right)^\prime } = \frac{{ - \sin x}}{{\sqrt {{{\cos }^2}x + 1} }}\end{array}$

$\boxed{{{\left( {{\mathop{\rm Arccosh}\nolimits} u} \right)^\prime } = {\left( {{{\cosh }^{ - 1}}u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{\sqrt {{u^2} - 1} }}}}$

$\begin{array}{l}\to {\left( {{{\cosh }^{ - 1}}\left( {\sqrt x } \right)} \right)^\prime } = \frac{{\frac{1}{{2\sqrt x }}}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \frac{1}{{2\sqrt x \sqrt {{x^2} - 1} }} = \frac{1}{{2\sqrt {{x^3} - x} }}\end{array}$

$\boxed{{{\left( {{\mathop{\rm Arctanh}\nolimits} u} \right)^\prime } = {\left( {{{\tanh }^{ - 1}}u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{1 - {u^2}}}{\rm{ }}\left| u \right| < 1}}$

$\begin{array}{l}\to {\left( {{{\tanh }^{ - 1}}\left( {\sin x} \right)} \right)^\prime } = \frac{{\cos x}}{{1 - {{\sin }^2}x}} = \frac{{\cos x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{\cos x}}\end{array}$

$\boxed{{{\left( {{\mathop{\rm Arccoth}\nolimits} u} \right)^\prime } = {\left( {{{\coth }^{ - 1}}u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{1 - {u^2}}}{\rm{ }}\left| u \right| > 1}}$

$\begin{array}{l}\to {\left( {{{\coth }^{ - 1}}\left( {1 + {x^2}} \right)} \right)^\prime } = \frac{{2x}}{{1 - {{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}\end{array}$

فرمولهای مشتق توابع نمایی و لگاریتمی:

مشتق e (عدد نپر):

$\boxed{{{\left( {{e^u}} \right)^\prime } = u'{e^u}}}$

$\begin{array}{l}\to {\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x}\\\\{\left( {{e^{2\cos x - 3{x^4}}}} \right)^\prime } = \left( { - 2\sin x - 12{x^3}} \right){e^{2\cos x - 3{x^4}}}\end{array}$

مشتق عدد ثابت به توان تابع:

$\boxed{{{\left( {{a^u}} \right)^\prime } = u'{a^u}Lna}}$

$\begin{array}{l}\to {\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}Lna\\\\{\left( {{3^{5\tan x}}} \right)^\prime } = 5\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right){3^{5\tan x}}Ln3\end{array}$

مشتق تابع به توان تابع:

$\boxed{{{\left( {{u^v}} \right)^\prime } = {u^v}\left( {\frac{{u'v}}{u} + v'Lnu} \right)}}$

$\begin{array}{l}\to {\left( {\sin {x^{\tan x}}} \right)^\prime } = \sin {x^{\tan x}}\left( {\overbrace {\frac{{\cos x\tan x}}{{\sin x}}}^1 + \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)Ln\sin x} \right)\end{array}$

مشتق Ln (لگاریتم طبیعی):

$\boxed{{{\left( {Lnu} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{u}}}$

$\begin{array}{l}\to {\left( {Lnx} \right)^\prime } = \frac{1}{x}\\\\{\left( {Ln\left( {7{x^3} + \sin x} \right)} \right)^\prime } = \frac{{21{x^2} + \cos x}}{{7{x^3} + \sin x}}\end{array}$

مشتق لگاریتم هر تابع در پایه دلخواه:

$\boxed{{{\left( {Lo{g_a}u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{uLna}}}}$

$\begin{array}{l}\to {\left( {Lo{g_a}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{xLna}}\\\\{\left( {Lo{g_8}\left( {3{x^2} + \sqrt x } \right)} \right)^\prime } = \frac{{6x + \frac{1}{{2\sqrt x }}}}{{\left( {3{x^2} + \sqrt x } \right)Ln8}}\end{array}$

نکته: مشتق توابعی که در مخرج قرار دارند را می‌توان با رابطه $\frac{1}{u} = {u^{ - 1}}$ یافت.

مثال: مشتق تابع $f\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^3} - 3x + 1}}$ را بیابید.

حل:

$\begin{array}{l}f\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^3} - 3x + 1}} = {\left( {2{x^3} - 3x + 1} \right)^{ - 1}}\\\\\Rightarrow f'\left( x \right) = {\left( {{{\left( {2{x^3} - 3x + 1} \right)}^{ - 1}}} \right)^\prime }\\\\= \left( { - 1} \right)\left( {6{x^2} - 3} \right){\left( {2{x^3} - 3x + 1} \right)^{ - 2}}\end{array}$

تمرین: مشتق توابع زیر را بیابید.

$\begin{array}{l}1)f\left( x \right) = 4{x^3} - 5{x^2} + 7x - 9\\\\2)f\left( x \right) = {\left( { - 2{x^3} + 4{x^2} - x + 2} \right)^4}\\\\3)f\left( x \right) = \left( {5{x^2} - 11x + 3} \right)\left( {\sin 4x - 3Lnx} \right)\\\\4)f\left( x \right) = \frac{{3{x^3} - 5x - 1}}{{2{e^{3x}}}}\\\\5)f\left( x \right) = \frac{1}{{7\tan {x^4}}}\\\\6)f\left( x \right) = \sqrt { - 2{x^3} + 5{x^2} + 3x - 2} \\\\7)f\left( x \right) = \sqrt[7]{{{{\left( {{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} \left( {3Lnx} \right) - 2\cot \left( {5{x^2} - 3x + 2} \right)} \right)}^2}}}\\\\8)f\left( x \right) = \left| {{\mathop{\rm Arcsinh}\nolimits} {x^3} - {\mathop{\rm Arccoth}\nolimits} \left( {5{e^{4x}} - 2{x^3} + 3\sin 4x} \right)} \right|\\\\9)f\left( x \right) = {({x^2} - 3x + 4)^{4{{\cos }^{ - 1}}5x}}\\\\10)f\left( x \right) = Lo{g_3}\left( {4x\sin 3x} \right)\end{array}$