فرمولهای مشتق

فرمولهای مشتق:

برای محاسبه فرمولهای مشتق توابع نیازی نیست هر بار از رابطه  f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}  استفاده کنیم، قبلاً به کمک این رابطه فرمولهای مشتق برای حالت‌های مختلف بدست آمده و فقط کافیست از آنها استفاده کنید.
ما ابتدا فرمول کلی را نوشته و سپس برای هر فرمول مثال‌هایی آورده‌ایم تا راحتتر آن فرمول را به خاطر بسپارید.

در این فرمول‌ها   k   ،   a    ،   n   و   m   اعداد ثابت و   u   تابعی برحسب   x   است.


مشتق عدد ثابت:

 

    \[ \boxed{{\left( k \right)^\prime } = 0 }} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( 5 \right)^\prime } = 0\\\\{\left( { - 3} \right)^\prime } = 0\end{array}\]


مشتق عدد ضربدر x:

    \[ \boxed{{ {\left( {kx} \right)^\prime } = k }} \]

    \[\begin{array}{l}\\\\\to {\left( {3x} \right)^\prime } = 3\\\\{\left( { - 8x} \right)^\prime } = - 8\\\\{\left( x \right)^\prime } = 1\end{array}\]


مشتق x به توان عدد ثابت:

    \[ \boxed{{{\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{x^{n - 1}} }} \]

    \[\begin{array}{l}\\\to {\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2}\\\\{\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = {\left( {{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^\prime } = \frac{1}{2}{x^{ - \frac{1}{2}}}\\\\= \frac{1}{{2{x^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{1}{{2\sqrt x }}\end{array}\]


مشتق تابع به توان عدد ثابت:

    \[ \boxed{{{\left( {{u^n}} \right)^\prime } = nu'{u^{n - 1}}}} \]

    \[\begin{array}{l}\\\to {\left( {{{\left( {{x^2} + 3x - 7} \right)}^4}} \right)^\prime } = 4\left( {2x + 3} \right){\left( {{x^2} + 3x - 7} \right)^3}\end{array}\]


مشتق عدد ضربدر تابع:

    \[ \boxed{{{\left( {au} \right)^\prime } = au'}} \]

    \[\begin{array}{l}\\\to {\left( {4{x^6}} \right)^\prime } = 24{x^5}\\\\{\left( { - 5\sqrt x } \right)^\prime } = - \frac{5}{{2\sqrt x }}\end{array}\]


مشتق جمع و تفریق دو تابع:

    \[ \boxed{{{\left( {u \pm v} \right)^\prime } = u' \pm v'}} \]

    \[\begin{array}{l}\\\to {\left( {{x^5} - 4{x^2}} \right)^\prime } = 5{x^4} - 8x\end{array}\]


مشتق حاصلضرب دو تابع:

    \[ \boxed{{{\left( {u \times v} \right)^\prime } = u' \times v + v' \times u}} \]

    \[\begin{array}{l}\\\to {\left( {{{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^3}(\sqrt x - 5{x^2})} \right)^\prime } = \\\\\left( {3\left( {2x + 2} \right){{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^2}(\sqrt x - 5{x^2})} \right) + \left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} - 10x} \right){\left( {{x^2} + 2x} \right)^3}\end{array}\]


مشتق توابع کسری:

    \[ \boxed{{{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u' \times v - v' \times u}}{{{v^2}}}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {\frac{{{x^3} - 4x}}{{2x + 7}}} \right)^\prime } = \frac{{\left( {3{x^2} - 4} \right)\left( {2x + 7} \right) - 2\left( {{x^3} - 4x} \right)}}{{{{\left( {2x + 7} \right)}^2}}}\end{array}\]


مشتق یک تقسیم بر یک تابع (به کمک فرمول قبلی):

    \[ \boxed{{{\left( {\frac{1}{u}} \right)^\prime } = - \frac{{u'}}{{{u^2}}}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\rm{ }}{\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{x^2}}}\\\\{\left( {\frac{1}{{3{x^4} - x}}} \right)^\prime } = - \frac{{12{x^3} - 1}}{{{{\left( {3{x^4} - x} \right)}^2}}}\end{array}\]


مشتق رادیکال یک تابع:

    \[ \boxed{{{\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }} }} \]

    \[\begin{array}{l}{\left( {\sqrt x } \right)^\p\torime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\\\\{\left( {\sqrt {6{x^3} + 2{x^2} - 7x + 1} } \right)^\prime } = \frac{{18{x^2} + 4x - 7}}{{2\sqrt {6{x^3} + 2{x^2} - 7x + 1} }}\end{array}\]


حالت کلی مشتق رادیکال یک تابع (با توان و فرجه رادیکال دلخواه):

    \[ \boxed{{{\left( {\sqrt[n]{{{u^m}}}} \right)^\prime } = {\left( {{u^{\frac{m}{n}}}} \right)^\prime } = \frac{{mu'}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n - m}}}}}}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\rm{ }}{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)^\prime } = \frac{{2 \times 1}}{{3\sqrt[3]{x}}}\\\\{\left( {\sqrt[5]{{{{({x^2} - 4x)}^3}}}} \right)^\prime } = \frac{{3 \times \left( {2x - 4} \right)}}{{5 \times \sqrt[5]{{{{({x^2} - 4x)}^2}}}}}\end{array}\]


مشتق قدرمطلق:

    \[ \boxed{{{\left( {\left| u \right|} \right)^\prime } = \frac{{u'u}}{{\left| u \right|}}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {\left| {6{x^2} + 3x - 7} \right|} \right)^\prime } = \frac{{\left( {12x + 3} \right)\left( {6{x^2} + 3x - 7} \right)}}{{\left| {6{x^2} + 3x - 7} \right|}}\end{array}\]


فرمولهای مشتق توابع مثلثاتی:


مشتق سینوس:

    \[ \boxed{{{\left( {\sin u} \right)^\prime } = u'\cos u}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\\\\{\left( {\sin \left( {{x^2} + \sqrt x } \right)} \right)^\prime } = \left( {2x + \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)\cos \left( {{x^2} + \sqrt x } \right)\end{array}\]


مشتق کسینوس:

    \[ \boxed{{{\left( {\cos u} \right)^\prime } = - u'\sin u}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x{\rm{ }}\\\\{\left( {\cos \left( { - 5{x^3} + 3x} \right)} \right)^\prime } = - \left( { - 15{x^2} + 3} \right)\sin \left( { - 5{x^3} + 3x} \right)\end{array}\]


مشتق تانژانت:

    \[ \boxed{{{\left( {\tan u} \right)^\prime } = u'(1 + {\tan ^2}u) = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {\tan {x^2}} \right)^\prime } = 2x(1 + {\tan ^2}{x^2}) = \frac{{2x}}{{{{\cos }^2}{x^2}}}{\rm{ }}\end{array}\]


مشتق کتانژانت:

    \[ \boxed{{{\left( {\cot u} \right)^\prime } = - u'(1 + {\cot ^2}u) = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\rm{ }}{\left( {\cot \sqrt x } \right)^\prime } = - \frac{1}{{2\sqrt x }}(1 + {\cot ^2}\sqrt x )\\\\= - \frac{{\frac{1}{{2\sqrt x }}}}{{{{\sin }^2}\sqrt x }} = - \frac{1}{{2\sqrt x {{\sin }^2}\sqrt x }}\end{array}\]


مشتق سکانت:

    \[ \boxed{{{\left( {\sec u} \right)^\prime } = u'.\sec u.\tan u}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {\sec x} \right)^\prime } = \sec x.\tan x\\\\{\left( {\sec \sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\sec \sqrt x .\tan \sqrt x \end{array}\]


مشتق کسکانت:

    \[ \boxed{{{\left( {\csc u} \right)^\prime } = - u'.\csc u.\cot u}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {\csc x} \right)^\prime } = - \csc x.\cot x,\\\\{\left( {\csc {x^2}} \right)^\prime } = - 2x.\csc {x^2}.\cot {x^2}\end{array}\]


فرمولهای مشتق توابع معکوس مثلثاتی:

مشتق آرک سینوس (سینوس معکوس):

    \[ \boxed{{{\left( {{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} u} \right)^\prime } = {\left( {si{n^{ - 1}}u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{\sqrt {1 - {u^2}} }}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {{{\sin }^{ - 1}}\left( {2{x^3} - 5x} \right)} \right)^\prime } = \frac{{6{x^2} - 5}}{{\sqrt {1 - {{\left( {2{x^3} - 5x} \right)}^2}} }}\end{array}\]


مشتق آرک کسینوس (کسینوس معکوس):

    \[ \boxed{{{\left( {{\mathop{\rm Arccos}\nolimits} u} \right)^\prime } = {\left( {{{\cos }^{ - 1}}u} \right)^\prime } = - \frac{{u'}}{{\sqrt {1 - {u^2}} }}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\rm{ }}{\left( {{{\cos }^{ - 1}}\left( {{x^2} + 2} \right)} \right)^\prime } = - \frac{{2x}}{{\sqrt {1 - {{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}} }}\end{array}\]


مشتق آرک تانژانت (تانژانت معکوس):

    \[ \boxed{{{\left( {{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} u} \right)^\prime } = {\left( {{{\tan }^{ - 1}}u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{1 + {u^2}}}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\rm{ }}{\left( {{{\tan }^{ - 1}}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{1 + {x^2}}}\\\\{\left( {{{\tan }^{ - 1}}(\sin x)} \right)^\prime } = \frac{{\cos x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}\end{array}\]


مشتق آرک کتانژانت (کتانژانت معکوس):

    \[ \boxed{{{\left( {{\mathop{\rm Arccot}\nolimits} u} \right)^\prime } = {\left( {{{\cot }^{ - 1}}u} \right)^\prime } = - \frac{{u'}}{{1 + {u^2}}}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {{{\cot }^{ - 1}}x} \right)^\prime } = - \frac{1}{{1 + {x^2}}}\\\\{\left( {{{\cot }^{ - 1}}(5{x^4})} \right)^\prime } = - \frac{{20{x^3}}}{{1 + 25{x^8}}}\end{array}\]


مشتق توابع هیپربولیک:

مشتق سینوس هیپربولیک:

    \[ \boxed{{{\left( {\sinh u} \right)^\prime } = u'\cosh u}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {\sinh x} \right)^\prime } = \cosh x\\\\{\left( {\sinh \left( {4\sqrt x } \right)} \right)^\prime } = \frac{2}{{\sqrt x }}\cosh \left( {4\sqrt x } \right)\end{array}\]


مشتق کسینوس هیپربولیک:

    \[ \boxed{{{\left( {\cosh u} \right)^\prime } = u'\sinh u}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {\cosh x} \right)^\prime } = \sinh x\\\\{\left( {\cosh \left( {5{x^3} + 2x} \right)} \right)^\prime } = \left( {15{x^2} + 2} \right)\sinh \left( {5{x^3} + 2x} \right)\end{array}\]


مشتق تانژانت هیپربولیک:

    \[ \boxed{{{\left( {\tanh u} \right)^\prime } = u'\left( {1 - {{\tanh }^2}u} \right)}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {\tanh x} \right)^\prime } = 1 - {\tanh ^2}x\\\\{\left( {\tanh {x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2}(1 - {\tanh ^2}{x^3})\end{array}\]


مشتق کتانژانت هیپربولیک:

    \[ \boxed{{{\left( {\coth u} \right)^\prime } = u'\left( {1 - {{\coth }^2}u} \right)}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {\coth x} \right)^\prime } = 1 - {\coth ^2}x\\\\{\left( {\coth 4{x^2}} \right)^\prime } = 8x(1 - {\tanh ^2}16{x^4})\end{array}\]


    \[ \boxed{{{\left( {{\mathop{\rm Arcsinh}\nolimits} u} \right)^\prime } = {\left( {{{\sinh }^{ - 1}}u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{\sqrt {{u^2} + 1} }}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\rm{ }}{\left( {{{\sinh }^{ - 1}}\left( {\cos x} \right)} \right)^\prime } = \frac{{ - \sin x}}{{\sqrt {{{\cos }^2}x + 1} }}\end{array}\]


    \[ \boxed{{{\left( {{\mathop{\rm Arccosh}\nolimits} u} \right)^\prime } = {\left( {{{\cosh }^{ - 1}}u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{\sqrt {{u^2} - 1} }}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {{{\cosh }^{ - 1}}\left( {\sqrt x } \right)} \right)^\prime } = \frac{{\frac{1}{{2\sqrt x }}}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \frac{1}{{2\sqrt x \sqrt {{x^2} - 1} }} = \frac{1}{{2\sqrt {{x^3} - x} }}\end{array}\]


    \[ \boxed{{{\left( {{\mathop{\rm Arctanh}\nolimits} u} \right)^\prime } = {\left( {{{\tanh }^{ - 1}}u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{1 - {u^2}}}{\rm{ }}\left| u \right| < 1}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {{{\tanh }^{ - 1}}\left( {\sin x} \right)} \right)^\prime } = \frac{{\cos x}}{{1 - {{\sin }^2}x}} = \frac{{\cos x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{\cos x}}\end{array}\]


    \[ \boxed{{{\left( {{\mathop{\rm Arccoth}\nolimits} u} \right)^\prime } = {\left( {{{\coth }^{ - 1}}u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{1 - {u^2}}}{\rm{ }}\left| u \right| > 1}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {{{\coth }^{ - 1}}\left( {1 + {x^2}} \right)} \right)^\prime } = \frac{{2x}}{{1 - {{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}\end{array}\]


فرمولهای مشتق توابع نمایی و لگاریتمی:


مشتق e (عدد نپر):

    \[ \boxed{{{\left( {{e^u}} \right)^\prime } = u'{e^u}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x}\\\\{\left( {{e^{2\cos x - 3{x^4}}}} \right)^\prime } = \left( { - 2\sin x - 12{x^3}} \right){e^{2\cos x - 3{x^4}}}\end{array}\]


مشتق عدد ثابت به توان تابع:

    \[ \boxed{{{\left( {{a^u}} \right)^\prime } = u'{a^u}Lna}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}Lna\\\\{\left( {{3^{5\tan x}}} \right)^\prime } = 5\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right){3^{5\tan x}}Ln3\end{array}\]


مشتق تابع به توان تابع:

    \[ \boxed{{{\left( {{u^v}} \right)^\prime } = {u^v}\left( {\frac{{u'v}}{u} + v'Lnu} \right)}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {\sin {x^{\tan x}}} \right)^\prime } = \sin {x^{\tan x}}\left( {\overbrace {\frac{{\cos x\tan x}}{{\sin x}}}^1 + \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)Ln\sin x} \right)\end{array}\]


مشتق Ln (لگاریتم طبیعی):

    \[ \boxed{{{\left( {Lnu} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{u}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {Lnx} \right)^\prime } = \frac{1}{x}\\\\{\left( {Ln\left( {7{x^3} + \sin x} \right)} \right)^\prime } = \frac{{21{x^2} + \cos x}}{{7{x^3} + \sin x}}\end{array}\]


مشتق لگاریتم هر تابع در پایه دلخواه:

    \[ \boxed{{{\left( {Lo{g_a}u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{uLna}}}} \]

    \[\begin{array}{l}\to {\left( {Lo{g_a}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{xLna}}\\\\{\left( {Lo{g_8}\left( {3{x^2} + \sqrt x } \right)} \right)^\prime } = \frac{{6x + \frac{1}{{2\sqrt x }}}}{{\left( {3{x^2} + \sqrt x } \right)Ln8}}\end{array}\]


نکته: مشتق توابعی که در مخرج قرار دارند را می‌توان با رابطه   \frac{1}{u} = {u^{ - 1}}   یافت.

مثال: مشتق تابع   f\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^3} - 3x + 1}}   را بیابید.

حل:

    \[\begin{array}{l}f\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^3} - 3x + 1}} = {\left( {2{x^3} - 3x + 1} \right)^{ - 1}}\\\\\Rightarrow f'\left( x \right) = {\left( {{{\left( {2{x^3} - 3x + 1} \right)}^{ - 1}}} \right)^\prime }\\\\= \left( { - 1} \right)\left( {6{x^2} - 3} \right){\left( {2{x^3} - 3x + 1} \right)^{ - 2}}\end{array}\]


تمرین: مشتق توابع زیر را بیابید.

    \[\begin{array}{l}1)f\left( x \right) = 4{x^3} - 5{x^2} + 7x - 9\\\\2)f\left( x \right) = {\left( { - 2{x^3} + 4{x^2} - x + 2} \right)^4}\\\\3)f\left( x \right) = \left( {5{x^2} - 11x + 3} \right)\left( {\sin 4x - 3Lnx} \right)\\\\4)f\left( x \right) = \frac{{3{x^3} - 5x - 1}}{{2{e^{3x}}}}\\\\5)f\left( x \right) = \frac{1}{{7\tan {x^4}}}\\\\6)f\left( x \right) = \sqrt { - 2{x^3} + 5{x^2} + 3x - 2} \\\\7)f\left( x \right) = \sqrt[7]{{{{\left( {{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} \left( {3Lnx} \right) - 2\cot \left( {5{x^2} - 3x + 2} \right)} \right)}^2}}}\\\\8)f\left( x \right) = \left| {{\mathop{\rm Arcsinh}\nolimits} {x^3} - {\mathop{\rm Arccoth}\nolimits} \left( {5{e^{4x}} - 2{x^3} + 3\sin 4x} \right)} \right|\\\\9)f\left( x \right) = {({x^2} - 3x + 4)^{4{{\cos }^{ - 1}}5x}}\\\\10)f\left( x \right) = Lo{g_3}\left( {4x\sin 3x} \right)\end{array}\]

جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:

 

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

لینک دانلود

 

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

guest
74 دیدگاه ها
قدیمی ترین
جدیدترین بیشترین آرا
Inline Feedbacks
مشاهده همه دیدگاه ها