شعاع همگرایی سری:

شعاع همگرایی سری برابر است با فاصله مرکز همگرایی سری (یعنی عددی که سری توانی حول آن نوشته شده است و اکثراً با نمایش می‌دهیم) تا نزدیکترین مقدار که سری به ازای آن واگرا باشد. شعاع همگرایی را معمولاً با نمایش داده و اگر سری به فرم باشد، را از رابطه زیر به دست می‌آوریم:

یا

دقت کنید که در روابط بالا حاصل حد با برابر است. پس برای یافتن باید جواب را معکوس کنیم. همینطور دقت داشته باشید که ضریب است.

مثال: ‌شعاع همگرایی سری را بیابید.

حل: سری توانی حول است زیرا داخل سری داریم. ضریب نیز عبارت است پس است. مناسب‌ترین فرمول نیز است زیرا محاسبه ریشه ام در دشوار است. پس داریم:

یعنی شعاع همگرایی است.

تمرین: شعاع همگرایی سری‌های زیر را بیابید.

فاصله همگرایی:

پس از یافتن شعاع همگرایی، فاصله همگرایی سری را به صورت زیر به دست می‌آوریم:

که نقاط مرزی یعنی و باید جداگانه بررسی شوند. به این صورت که این دو عدد را در سری جایگذاری کرده و به کمک آزمونهای بررسی همگرایی سری، نوع این نقاط از نظر همگرایی یا واگرایی را می‌یابیم. در صورتیکه سری در این نقاط همگرا باشد برای این نقاط از تساوی () نیز استفاده می‌کنیم، در غیر اینصورت فقط نامساوی () قرار می‌دهیم.

مثال: شعاع همگرایی و فاصله همگرایی سری را بیابید.

حل: سری توانی حول است زیرا داخل سری داریم. ضریب نیز عبارت است پس است. مناسب‌ترین فرمول نیز است زیرا محاسبه ریشه ام در دشوار است. پس داریم:

یعنی .

نقاط مرزی یعنی و را جداگانه بررسی می‌کنیم:

که حاصل آن یک سری واگراست (در آموزش سری‌ها اثبات شد). پس جزو فاصله همگرایی نیست.

که حاصل آن یک سری متناوب است و ۲ شرط همگرایی سری‌های متناوب را دارد، پس همگراست. یعنی در فاصله همگرایی قرار دارد. در نتیجه فاصله همگرایی سری فوق عبارت است از:

تمرین: شعاع همگرایی و فاصله همگرایی سری‌های زیر را بیابید.

همگرایی مشروط و همگرایی مطلق:

هرگاه سری همگرا باشد ولی واگرا باشد، سری همگرایی مشروط دارد ولی اگر هر دو سری فوق همگرا باشند، سری همگرایی مطلق دارد.

مثال:‌ نوع همگرایی سری را بررسی کنید.

هر دو شرط برقرار است پس سری همگراست. نزولی بودن سری را از آزمون مشتق که در آموزش دنباله‌ها توضیح دادیم نیز می‌توانیم بررسی کنیم.

حال همگرایی را بررسی می‌کنیم. کافیست را حذف کنیم تا بدست آید زیرا بقیه عبارات به ازای اعداد طبیعی، غیرمنفی هستند.

پس سری واگراست، در نتیجه سری همگرایی مشروط دارد.

تمرین: نوع همگرایی سری‌های زیر را بررسی کنید.

آموزش تصویری این مبحث:

جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید: