شعاع و فاصله همگرایی سری

شعاع همگرایی سری:

شعاع همگرایی سری برابر است با فاصله مرکز همگرایی سری (یعنی عددی که سری توانی حول آن نوشته شده است و اکثراً با {x_0} نمایش می‌دهیم) تا نزدیکترین مقدار x که سری به ازای آن واگرا باشد. شعاع همگرایی را معمولاً با R نمایش داده و اگر سری به فرم \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} {\left( {x - {x_0}} \right)^n} باشد، R را از رابطه زیر به دست می‌آوریم:

\frac{1}{R} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| یا \frac{1}{R} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\left| {{a_n}} \right|}}

دقت کنید که در روابط بالا حاصل حد با \frac{1}{R} برابر است. پس برای یافتن R باید جواب را معکوس کنیم. همینطور دقت داشته باشید که {a_n} ضریب {\left( {x - {x_0}} \right)^n} است.


مثال: ‌شعاع همگرایی سری \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{4^n}}}{{n + 5}}} {\left( {x - 2} \right)^n} را بیابید.


حل: سری توانی حول {x_0} = 2 است زیرا داخل سری{\left( {x - 2} \right)^n} داریم. ضریب {\left( {x - 2} \right)^n} نیز عبارت \frac{{{4^n}}}{{n + 5}} است پس {a_n} = \frac{{{4^n}}}{{n + 5}} است. مناسب‌ترین فرمول نیز \frac{1}{R} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| است زیرا محاسبه ریشه nام {a_n} = \frac{{{4^n}}}{{n + 5}} در \infty دشوار است. پس داریم:

    \[\begin{array}{l} \frac{1}{R} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{\frac{{{4^{\left( {n + 1} \right)}}}}{{\left( {n + 1} \right) + 5}}}}{{\frac{{{4^n}}}{{n + 5}}}}} \right|\\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{\left( {n + 5} \right){{.4}^{\left( {n + 1} \right)}}}}{{\left( {n + 6} \right){{.4}^n}}}} \right| = 4 \end{array}\]

 


یعنی شعاع همگرایی R = \frac{1}{4} است.


تمرین: شعاع همگرایی سری‌های زیر را بیابید.

    \[\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{7^{3n - 1}}}}{{{2^{n + 3}}}}} {\left( {x + 5} \right)^n}\\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{n^{n - 1}}}}{{{2^{5n + 3}}}}} {\left( {x - 2} \right)^n}\\ \\ 3)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{{\left( { - 2} \right)}^{n - 2}}\left( {{n^3} + 2} \right)}}} \end{array}\]


فاصله همگرایی:

پس از یافتن شعاع همگرایی، فاصله همگرایی سری \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} {\left( {x - {x_0}} \right)^n} را به صورت زیر به دست می‌آوریم:

\begin{array}{l} \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} {\left( {x - {x_0}} \right)^n} \to \left| {x - {x_0}} \right| < R\\ \\ \to - R < x - {x_0} < R \to {x_0} - R < x < {x_0} + R \end{array}

که نقاط مرزی یعنی {x_0} - R و {x_0} + R باید جداگانه بررسی شوند. به این صورت که این دو عدد را در سری جایگذاری کرده و به کمک آزمونهای بررسی همگرایی سری، نوع این نقاط از نظر همگرایی یا واگرایی را می‌یابیم. در صورتیکه سری در این نقاط همگرا باشد برای این نقاط از تساوی (\le) نیز استفاده می‌کنیم، در غیر اینصورت فقط نامساوی (<) قرار می‌دهیم.


مثال: شعاع همگرایی و فاصله همگرایی سری \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{n{{.2}^n}}}} را بیابید.


حل: سری توانی حول {x_0} = 0 است زیرا داخل سری {\left( {x - 0} \right)^n} داریم. ضریب {x^n} نیز عبارت \frac{1}{{n{{.2}^n}}} است پس {a_n} = \frac{1}{{n{{.2}^n}}} است. مناسب‌ترین فرمول نیز \frac{1}{R} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| است زیرا محاسبه ریشه nام {a_n} = \frac{1}{{n{{.2}^n}}} در \infty دشوار است. پس داریم:

\begin{array}{l} \frac{1}{R} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{\frac{1}{{\left( {n + 1} \right){{.2}^{n + 1}}}}}}{{\frac{1}{{n{{.2}^n}}}}}} \right|\\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{n{{.2}^n}}}{{\left( {n + 1} \right){{.2}^{n + 1}}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{1}{{{2^1}}}} \right| = \frac{1}{2} \end{array}


یعنی R = 2 . حال برای یافتن فاصله همگرایی داریم:

\left| {x - 0} \right| < 2 \Rightarrow - 2 < x < 2

نقاط مرزی یعنی - 2 و 2 را جداگانه بررسی می‌کنیم:


    \[x = 2 \Rightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{n{{.2}^n}}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{2^n}}}{{n{{.2}^n}}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}} \]


که حاصل آن یک سری واگراست (در آموزش سری‌ها اثبات شد). پس x=2 جزو فاصله همگرایی نیست.

x = - 2 \Rightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{n{{.2}^n}}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 2} \right)}^n}}}{{n{{.2}^n}}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}}

که حاصل آن یک سری متناوب است و ۲ شرط همگرایی سری‌های متناوب را دارد، پس همگراست. یعنی x=-2 در فاصله همگرایی قرار دارد. در نتیجه فاصله همگرایی سری فوق عبارت است از:

\begin{array}{l} \boxed{{- 2 \le x < 2}}\\ \end{array}


تمرین: شعاع همگرایی و فاصله همگرایی سری‌های زیر را بیابید.

    \[\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{5^n}.{x^n}}}{{n!}}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^n}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( {x - 4} \right)}^n}}}{{\sqrt[3]{n}}}} \end{array}\]


همگرایی مشروط و همگرایی مطلق:

هرگاه سری \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} همگرا باشد ولی \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{a_n}} \right|} واگرا باشد، سری همگرایی مشروط دارد ولی اگر هر دو سری فوق همگرا باشند، سری همگرایی مطلق دارد.


مثال:‌ نوع همگرایی سری \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}Ln\left( n \right)}}{n}} را بررسی کنید.


حل: سری از نوع متناوب است پس دو شرط همگرایی سری‌های متناوب را بررسی می‌کنیم:

\left\{ \begin{array}{l} 1)\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{Ln(n)}}{n}\mathop = \limits^{HOP} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{n}}}{1} = 0\\ \\ 2)\frac{{Ln(n + 1)}}{{n + 1}} < \frac{{Ln(n)}}{n} \to {a_{n + 1}} < {a_n} \end{array} \right.


هر دو شرط برقرار است پس سری \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} همگراست. نزولی بودن سری را از آزمون مشتق که در آموزش دنباله‌ها توضیح دادیم نیز می‌توانیم بررسی کنیم.
حال همگرایی \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{a_n}} \right|} را بررسی می‌کنیم. کافیست {\left( { - 1} \right)^n} را حذف کنیم تا \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{a_n}} \right|} بدست آید زیرا بقیه عبارات به ازای اعداد طبیعی، غیرمنفی هستند.

\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{a_n}} \right|} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}Ln\left( n \right)}}{n}} \right|} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{Ln\left( n \right)}}{n}}


از آزمون انتگرال کمک می‌گیریم:

\int\limits_1^\infty {\frac{{Ln\left( x \right)}}{x}dx = } \left. {\frac{{{{\left[ {Ln\left( x \right)} \right]}^2}}}{2}} \right|_1^\infty = \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{\left[ {Ln\left( x \right)} \right]}^2}}}{2}} \right) - 0 = \infty


پس سری \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{a_n}} \right|} واگراست، در نتیجه سری \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}Ln\left( n \right)}}{n}} همگرایی مشروط دارد.


تمرین: نوع همگرایی سری‌های زیر را بررسی کنید.

    \[\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{2^n}}}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}n}}{{{n^2} + 5}}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}n}}{{{{\left( {Ln\left( n \right)} \right)}^2}}}} \end{array}\]

 

 


آموزش تصویری این مبحث:


جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

دنباله و سری

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *