شعاع همگرایی سری:

شعاع همگرایی سری برابر است با فاصله مرکز همگرایی سری (یعنی عددی که سری توانی حول آن نوشته شده است و اکثراً با ${x_0}$ نمایش می‌دهیم) تا نزدیکترین مقدار $x$ که سری به ازای آن واگرا باشد. شعاع همگرایی را معمولاً با $R$ نمایش داده و اگر سری به فرم $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} {\left( {x - {x_0}} \right)^n}$ باشد، $R$ را از رابطه زیر به دست می‌آوریم:

$\frac{1}{R} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right|$ یا $\frac{1}{R} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\left| {{a_n}} \right|}}$

دقت کنید که در روابط بالا حاصل حد با $\frac{1}{R}$ برابر است. پس برای یافتن $R$ باید جواب را معکوس کنیم. همینطور دقت داشته باشید که ${a_n}$ ضریب ${\left( {x - {x_0}} \right)^n}$ است.

مثال: ‌شعاع همگرایی سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{4^n}}}{{n + 5}}} {\left( {x - 2} \right)^n}$ را بیابید.

حل: سری توانی حول ${x_0} = 2$ است زیرا داخل سری ${\left( {x - 2} \right)^n}$ داریم. ضریب ${\left( {x - 2} \right)^n}$ نیز عبارت $\frac{{{4^n}}}{{n + 5}}$ است پس ${a_n} = \frac{{{4^n}}}{{n + 5}}$ است. مناسب‌ترین فرمول نیز $\frac{1}{R} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right|$ است زیرا محاسبه ریشه $n$ ام ${a_n} = \frac{{{4^n}}}{{n + 5}}$ در $\infty$ دشوار است. پس داریم:

$\begin{array}{l} \frac{1}{R} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{\frac{{{4^{\left( {n + 1} \right)}}}}{{\left( {n + 1} \right) + 5}}}}{{\frac{{{4^n}}}{{n + 5}}}}} \right|\\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{\left( {n + 5} \right){{.4}^{\left( {n + 1} \right)}}}}{{\left( {n + 6} \right){{.4}^n}}}} \right| = 4 \end{array}$

یعنی شعاع همگرایی $R = \frac{1}{4}$ است.

تمرین: شعاع همگرایی سری‌های زیر را بیابید.

$\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{7^{3n - 1}}}}{{{2^{n + 3}}}}} {\left( {x + 5} \right)^n}\\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{n^{n - 1}}}}{{{2^{5n + 3}}}}} {\left( {x - 2} \right)^n}\\ \\ 3)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{{\left( { - 2} \right)}^{n - 2}}\left( {{n^3} + 2} \right)}}} \end{array}$

فاصله همگرایی:

پس از یافتن شعاع همگرایی، فاصله همگرایی سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} {\left( {x - {x_0}} \right)^n}$ را به صورت زیر به دست می‌آوریم:

$\begin{array}{l} \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} {\left( {x - {x_0}} \right)^n} \to \left| {x - {x_0}} \right| < R\\ \\ \to - R < x - {x_0} < R \to {x_0} - R < x < {x_0} + R \end{array}$

که نقاط مرزی یعنی ${x_0} - R$ و ${x_0} + R$ باید جداگانه بررسی شوند. به این صورت که این دو عدد را در سری جایگذاری کرده و به کمک آزمونهای بررسی همگرایی سری، نوع این نقاط از نظر همگرایی یا واگرایی را می‌یابیم. در صورتیکه سری در این نقاط همگرا باشد برای این نقاط از تساوی ( $\le$ ) نیز استفاده می‌کنیم، در غیر اینصورت فقط نامساوی ( $<$ ) قرار می‌دهیم.

مثال: شعاع همگرایی و فاصله همگرایی سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{n{{.2}^n}}}}$ را بیابید.

حل: سری توانی حول ${x_0} = 0$ است زیرا داخل سری ${\left( {x - 0} \right)^n}$ داریم. ضریب ${x^n}$ نیز عبارت $\frac{1}{{n{{.2}^n}}}$ است پس ${a_n} = \frac{1}{{n{{.2}^n}}}$ است. مناسب‌ترین فرمول نیز $\frac{1}{R} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right|$ است زیرا محاسبه ریشه $n$ ام ${a_n} = \frac{1}{{n{{.2}^n}}}$ در $\infty$ دشوار است. پس داریم:

$\begin{array}{l} \frac{1}{R} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{\frac{1}{{\left( {n + 1} \right){{.2}^{n + 1}}}}}}{{\frac{1}{{n{{.2}^n}}}}}} \right|\\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{n{{.2}^n}}}{{\left( {n + 1} \right){{.2}^{n + 1}}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{1}{{{2^1}}}} \right| = \frac{1}{2} \end{array}$

یعنی $R = 2$ . حال برای یافتن فاصله همگرایی داریم:

$\left| {x - 0} \right| < 2 \Rightarrow - 2 < x < 2$

نقاط مرزی یعنی $- 2$ و $2$ را جداگانه بررسی می‌کنیم:

$x = 2 \Rightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{n{{.2}^n}}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{2^n}}}{{n{{.2}^n}}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}}$

که حاصل آن یک سری واگراست (در آموزش سری‌ها اثبات شد). پس $x=2$ جزو فاصله همگرایی نیست.

$x = - 2 \Rightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{n{{.2}^n}}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 2} \right)}^n}}}{{n{{.2}^n}}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}}$

که حاصل آن یک سری متناوب است و ۲ شرط همگرایی سری‌های متناوب را دارد، پس همگراست. یعنی $x=-2$ در فاصله همگرایی قرار دارد. در نتیجه فاصله همگرایی سری فوق عبارت است از:

$\begin{array}{l} \boxed{{- 2 \le x < 2}}\\ \end{array}$

تمرین: شعاع همگرایی و فاصله همگرایی سری‌های زیر را بیابید.

$\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{5^n}.{x^n}}}{{n!}}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^n}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( {x - 4} \right)}^n}}}{{\sqrt[3]{n}}}} \end{array}$

همگرایی مشروط و همگرایی مطلق:

هرگاه سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ همگرا باشد ولی $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{a_n}} \right|}$ واگرا باشد، سری همگرایی مشروط دارد ولی اگر هر دو سری فوق همگرا باشند، سری همگرایی مطلق دارد.

مثال:‌ نوع همگرایی سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}Ln\left( n \right)}}{n}}$ را بررسی کنید.

حل: سری از نوع متناوب است پس دو شرط همگرایی سری‌های متناوب را بررسی می‌کنیم:

$\left\{ \begin{array}{l} 1)\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{Ln(n)}}{n}\mathop = \limits^{HOP} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{n}}}{1} = 0\\ \\ 2)\frac{{Ln(n + 1)}}{{n + 1}} < \frac{{Ln(n)}}{n} \to {a_{n + 1}} < {a_n} \end{array} \right.$

هر دو شرط برقرار است پس سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ همگراست. نزولی بودن سری را از آزمون مشتق که در آموزش دنباله‌ها توضیح دادیم نیز می‌توانیم بررسی کنیم.
حال همگرایی $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{a_n}} \right|}$ را بررسی می‌کنیم. کافیست ${\left( { - 1} \right)^n}$ را حذف کنیم تا $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{a_n}} \right|}$ بدست آید زیرا بقیه عبارات به ازای اعداد طبیعی، غیرمنفی هستند.

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{a_n}} \right|} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}Ln\left( n \right)}}{n}} \right|} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{Ln\left( n \right)}}{n}}$

از آزمون انتگرال کمک می‌گیریم:

$\int\limits_1^\infty {\frac{{Ln\left( x \right)}}{x}dx = } \left. {\frac{{{{\left[ {Ln\left( x \right)} \right]}^2}}}{2}} \right|_1^\infty = \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{\left[ {Ln\left( x \right)} \right]}^2}}}{2}} \right) - 0 = \infty$

پس سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{a_n}} \right|}$ واگراست، در نتیجه سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}Ln\left( n \right)}}{n}}$ همگرایی مشروط دارد.

تمرین: نوع همگرایی سری‌های زیر را بررسی کنید.

$\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{2^n}}}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}n}}{{{n^2} + 5}}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}n}}{{{{\left( {Ln\left( n \right)} \right)}^2}}}} \end{array}$