سری

به مجموع جملات یک دنباله، سری گویند و با نماد $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ نمایش می‌دهند. پس فرض می‌کنیم آموزش قبلی ما در مورد دنباله‌ها را کاملاً مطالعه کرده‌اید.

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + ...$

مثال: سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}}$ مجموع جملات دنباله $\left\{ {\frac{1}{{{n^2}}}} \right\}_1^\infty = 1,\frac{1}{4},\frac{1}{9},...$ است:

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + ...$

اگر تعداد جملات بی‌نهایت نباشد، مجموع $n$ جمله اول سری را حاصل‌جمع جزیی مرتبه $n$ ام سری نامیده و با ${S_n}$ ‌ نمایش می‌دهند.

${S_n} = \sum\limits_{n = 1}^n {{a_n}}$

مثال: حاصل‌جمع جزیی مرتبه پنجم $\left\{ {\frac{1}{n}} \right\}$ برابر است با:

${S_5} = \sum\limits_{n = 1}^5 {\frac{1}{n}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{{137}}{{60}}$

هرگاه مجموع بی‌نهایت جمله سری، یک عدد مشخصی شود سری را همگرا به آن عدد و در غیر اینصورت واگرا گوییم.

مثال: سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{2^n}}}}$ همگرا به 1 است زیرا همانطور که جلوتر خواهیم دید یک سری هندسی است و مجموع بی‌نهایت جمله آن $1$ است ولی $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}}$ واگراست زیرا مجموع بی‌نهایت جمله آن بی‌نهایت می‌شود.

اثبات:

$\begin{array}{l} \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}} = 1 + \frac{1}{2} + \overbrace {\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}^{ > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}} + \overbrace {\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}}^{ > \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{2}} + \\ \\ \overbrace {\frac{1}{9} + ... + \frac{1}{{16}}}^{ > \frac{1}{{16}} + ... + \frac{1}{{16}} = \frac{1}{2}} + \overbrace {\frac{1}{{17}} + ... + \frac{1}{{32}}}^{ > \frac{1}{{32}} + ... + \frac{1}{{32}} = \frac{1}{2}} + ... = \frac{1}{2} \times \infty = \infty \end{array}$

یعنی بی‌نهایت $\frac{1}{2}$ در جواب می‌توان ایجاد کرد، در نتیجه واگراست.

انواع سری:

۱-سری هندسی:

سری $\sum\limits_{n = 0}^\infty {a{q^n}} = a + aq + a{q^2} + a{q^3} + ...$ که یک جمله اولیه مانند عدد $a$ داشته و جملات بعدی از ضرب شدن عددی مانند $q$ در جمله قبلی به دست می‌آیند را سری هندسی گوییم. عدد $a$ را جمله اول و $q$ را قدرنسبت می‌نامیم. هر جمله از ضرب شدن قدرنسبت در جمله قبلی به دست می‌آید.

مثال:

$\sum\limits_{n = 0}^\infty {3 \times {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n}} = 3 + \frac{3}{5} + \frac{3}{{25}} + \frac{3}{{125}} + ...$

مجموع حاصل‌جمع جزیی $n$ جمله اول سری‌های هندسی ( $0$ تا $n - 1$ ) از رابطه زیر به دست می‌آید:

${S_n} = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {a{q^k}} = a + aq + a{q^2} + a{q^3} + ... + a{q^{n - 1}} = \frac{{a\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}$

اگر $\left| q \right| < 1$ سری هندسی در بی‌نهایت، همگرا به می‌شود زیرا $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {q^n}\mathop = \limits^{\left| q \right| < 1} 0$ .

به زبان ساده‌تر، حاصل سری هندسی برابر است با اولین عدد تقسیم بر یک منهای عددی که به توان $n$ رسیده. (جمله اول تقسیم بر یک منهای قدرنسبت)

مثال: حاصل $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{2^n}}} + \frac{1}{{{4^n}}}} \right)}$ را بیابید.

حل: می‌توان این سری را به صورت حاصلجمع دو سری هندسی در نظر گرفت

$\begin{array}{l} \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{2^n}}} + \frac{1}{{{4^n}}}} \right)} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right)} \\ \\ = \left( { - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + ...} \right) + \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{64}} + ...} \right)\\ \\ = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{{1 - \left( { - \frac{1}{2}} \right)}} + \frac{{\frac{1}{4}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{{\frac{3}{2}}} + \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{3}{4}}} = \frac{{ - 1}}{3} + \frac{1}{3} = 0 \end{array}$

تمرین: حاصل عبارات زیر را بیابید.

$\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{2^n}}}{{{e^n}}}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{2^n} + {3^n}}}{{{6^n}}}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{\pi ^{n + 1}}}}{{{5^n}}}} \end{array}$

۲-سری تلسکوپی:

عبارت داخل سری تلسکوپی از حاصل تفریق یک جمله دنباله از جمله قبلی خود بدست می‌آید:

$\begin{array}{l} \sum\limits_{n = 0}^k {\left( {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right)} \\ \\ = \left( {{a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_k} + {a_{k + 1}}} \right)\\ \\ - \left( {{a_0} + {a_1} + {a_2} + ... + {a_{k - 1}} + {a_k}} \right)\\ \\ = {a_{k + 1}} - {a_0} \end{array}$

پس نتیجه می‌گیریم حاصل سری تلسکوپی برابر است با:

${\sum\limits_{n = 0}^k {\left( {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right)} = {a_{k + 1}} - {a_0}}$

مثال: حاصل $\sum\limits_{n = 1}^6 {\left( {{{\left( {n + 1} \right)}^2} - {n^2}} \right)}$ را بیابید.

حل:

$\sum\limits_{n = 1}^4 {\left( {{{\left( {n + 1} \right)}^2} - {n^2}} \right)} = {\left( {4 + 1} \right)^2} - {1^2} = 24$

زیرا:

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\[\begin{array}{l}
\sum\limits_{n = 1}^4 {\left( {{{\left( {n + 1} \right)}^2} - {n^2}} \right)} = \left( {\cancel{{{2^2}}} - {1^2}} \right) + \left( {\bcancel{{{3^2}}} - \cancel{{{2^2}}}} \right)\\
\\
+ \left( {\xcancel{{{4^2}}} - \bcancel{{{3^2}}}} \right) + \left( {{5^2} - \xcancel{{{4^2}}}} \right) = 24
\end{array}\]

*** Error message:
Undefined control sequence \cancel.
leading text: ...ht)}^2} - {n^2}} \right)} = \left( {\cancel

که نیازی به محاسبه همه اعداد نیست و باید ابتدا اعداد قرینه را ساده کنیم که در نهایت فقط دو عدد ${5^2}$ و $- {1^2}$ باقی می‌ماند.

نکته: هرگاه سری تلسکوپی تا بی‌نهایت باشد باید از حد جمله بزرگتر در بی‌نهایت استفاده کنیم.

مثال: حاصل $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}}$ را بیابید.

حل:

$\begin{array}{l} \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right)} \\ \\ = - \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n}} \right)} = - \left( {\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{1}{{k + 1}} - \frac{1}{1}} \right) = 1 \end{array}$

مثال: حاصل $\sum\limits_{n = 1}^{10} {Log\frac{{n + 3}}{{n + 1}}}$ را بیابید.

حل:

$\begin{array}{l} \sum\limits_{n = 1}^{10} {Log\frac{{n + 3}}{{n + 1}}} = \sum\limits_{n = 1}^{10} {\left( {Log\left( {n + 3} \right) - Log\left( {n + 1} \right)} \right)} \\ \\ = \sum\limits_{n = 1}^{10} {\left( {Log\left( {n + 3} \right) - Log\left( {n + 2} \right) + Log\left( {n + 2} \right) - Log\left( {n + 1} \right)} \right)} \\ \\ = \left[ {Log\left( {10 + 3} \right) - Log\left( {1 + 2} \right)} \right] + \left[ {Log\left( {10 + 2} \right) - Log\left( {1 + 1} \right)} \right]\\ \\ = Log\frac{{13 \times 12}}{{3 \times 2}} = Log26 \end{array}$

تمرین: مقدار عبارت $\sum\limits_{n = 6}^{12} {Log\frac{{n - 2}}{{n + 1}}}$ را بیابید.

۳- Pسری:

سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^p}}}}$ را P سری گویند و برای $p > 1$ همگرا و برای $p \le 1$ واگراست. توجه داشته باشد که برای $p = 1$ سری به $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}}$ تبدیل می‌شود که قبلاً هم ثابت کردیم واگراست. این سری خاص را سری همساز یا هارمونیک گویند.

مثال: همگرایی یا واگرایی سری‌های زیر را بررسی کنید.

$\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^3}}}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{7n - 3}}{{{n^2}}}} \\ \\ 3)1 + \frac{1}{{2\sqrt[5]{2}}} + \frac{1}{{3\sqrt[5]{3}}} + \frac{1}{{4\sqrt[5]{4}}} + .... \end{array}$

حل:

۱) این P سری با $p = 3$ است که بزرگتر از یک است پس این سری همگراست.

۲) این سری از جمع دو عبارت $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{7}{n}}$ و $\sum\limits_{n = 1}^\infty { - \frac{3}{{{n^2}}}}$ تشکیل شده که اولی $p = 1$ و دومی $p = 2$ است. یعنی اولی واگرا و دومی همگراست که در مجموع واگرا می‌شود. (مجموع واگرا و همگرا در کل واگرا می‌شود)

۳) این مجموع را می‌توان به فرم $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n\sqrt[5]{n}}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^{\frac{6}{5}}}}}}$ نمایش داد که با $p = \frac{6}{5}$ یک P سری همگراست.

تمرین: همگرایی سری‌های زیر را بررسی کنید.

$\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{5n}}{{{n^3}}}} \\ \\ 3)1 + \frac{1}{{2\sqrt[3]{2}}} + \frac{1}{{3\sqrt[3]{3}}} + \frac{1}{{4\sqrt[3]{4}}} + .... \end{array}$

۴-سری متناوب:

سری‌هایی که جملات آن به ترتیب و یک در میان مثبت و منفی (یا منفی و مثبت!) باشند را متناوب می‌نامیم. در حالت کلی یک سری متناوب به فرم زیر است:

$\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}{a_n} = } {a_0} - {a_1} + {a_2} - {a_3} + ...$

سری متناوب به دو شرط زیر همگراست:

$\left\{ \begin{array}{l} 1)\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0\\ \\ 2){a_{n + 1}} < {a_n} \end{array} \right.$

شرط دوم معادل ${a'_n} < 0$ است.

مثال: همگرایی یا واگرایی $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}}$ را بررسی کنید.

حل:

$\left\{ \begin{array}{l} 1)\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\\ \\ 2)\frac{1}{{n + 1}} < \frac{1}{n} \end{array} \right.$

پس این سری همگراست.

تمرین: همگرایی یا واگرایی سری‌های زیر را بررسی کنید.

$\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{\sqrt n }}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}n}}{{{n^3} + 1}}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}Ln(n)}}{n}} \end{array}$