سری مجموع جملات دنباله

سری

به مجموع جملات یک دنباله، سری گویند و با نماد \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}}  نمایش می‌دهند. پس فرض می‌کنیم آموزش قبلی ما در مورد دنباله‌ها را کاملاً مطالعه کرده‌اید.

\sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}}  = {a_1} + {a_2} + {a_3} + ...

مثال: سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{n^2}}}} مجموع جملات دنباله \left\{ {\frac{1}{{{n^2}}}} \right\}_1^\infty  = 1,\frac{1}{4},\frac{1}{9},... است:

    \[\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{n^2}}}}  = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + ...\]


اگر تعداد جملات بی‌نهایت نباشد، مجموع n جمله اول سری را حاصل‌جمع جزیی مرتبه nام سری نامیده و با {S_n}‌ نمایش می‌دهند.

{S_n} = \sum\limits_{n = 1}^n {{a_n}}

مثال: حاصل‌جمع جزیی مرتبه پنجم \left\{ {\frac{1}{n}} \right\} برابر است با:

{S_5} = \sum\limits_{n = 1}^5 {\frac{1}{n}}  = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{{137}}{{60}}


هرگاه مجموع بی‌نهایت جمله سری، یک عدد مشخصی شود سری را همگرا به آن عدد و در غیر اینصورت واگرا گوییم.

مثال: سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{2^n}}}} همگرا به 1 است زیرا همانطور که جلوتر خواهیم دید یک سری هندسی است و مجموع بی‌نهایت جمله آن 1 است ولی \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{n}} واگراست زیرا مجموع بی‌نهایت جمله آن بی‌نهایت می‌شود.

اثبات:

\begin{array}{l} \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}} = 1 + \frac{1}{2} + \overbrace {\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}^{ > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}} + \overbrace {\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}}^{ > \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{2}} + \\ \\ \overbrace {\frac{1}{9} + ... + \frac{1}{{16}}}^{ > \frac{1}{{16}} + ... + \frac{1}{{16}} = \frac{1}{2}} + \overbrace {\frac{1}{{17}} + ... + \frac{1}{{32}}}^{ > \frac{1}{{32}} + ... + \frac{1}{{32}} = \frac{1}{2}} + ... = \frac{1}{2} \times \infty = \infty \end{array}

یعنی بی‌نهایت   \frac{1}{2}   در جواب می‌توان ایجاد کرد، در نتیجه واگراست.


انواع سری:

۱-سری هندسی:

سری \sum\limits_{n = 0}^\infty  {a{q^n}}  = a + aq + a{q^2} + a{q^3} + ... که یک جمله اولیه مانند عدد a داشته و جملات بعدی از ضرب شدن عددی مانند q در جمله قبلی به دست می‌آیند را سری هندسی گوییم. عدد a را جمله اول و q را قدرنسبت می‌نامیم. هر جمله از ضرب شدن قدرنسبت در جمله قبلی به دست می‌آید.

مثال:

    \[\sum\limits_{n = 0}^\infty  {3 \times {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n}}  = 3 + \frac{3}{5} + \frac{3}{{25}} + \frac{3}{{125}} + ...\]

مجموع حاصل‌جمع جزیی n جمله اول سری‌های هندسی (0 تا n - 1) از رابطه زیر به دست می‌آید:

{S_n} = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {a{q^k}}  = a + aq + a{q^2} + a{q^3} + ... + a{q^{n - 1}} = \frac{{a\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}

 

اگر \left| q \right| < 1 سری هندسی در بی‌نهایت، همگرا به  می‌شود زیرا \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {q^n}\mathop  = \limits^{\left| q \right| < 1} 0 .

به زبان ساده‌تر، حاصل سری هندسی برابر است با اولین عدد تقسیم بر یک منهای عددی که به توان n رسیده. (جمله اول تقسیم بر یک منهای قدرنسبت)

مثال: حاصل \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{2^n}}} + \frac{1}{{{4^n}}}} \right)} را بیابید.

حل: می‌توان این سری را به صورت حاصلجمع دو سری هندسی در نظر گرفت

    \[\begin{array}{l} \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{2^n}}} + \frac{1}{{{4^n}}}} \right)} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right)} \\ \\ = \left( { - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + ...} \right) + \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{64}} + ...} \right)\\ \\ = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{{1 - \left( { - \frac{1}{2}} \right)}} + \frac{{\frac{1}{4}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{{\frac{3}{2}}} + \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{3}{4}}} = \frac{{ - 1}}{3} + \frac{1}{3} = 0 \end{array}\]

تمرین: حاصل عبارات زیر را بیابید.

\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{2^n}}}{{{e^n}}}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{2^n} + {3^n}}}{{{6^n}}}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{\pi ^{n + 1}}}}{{{5^n}}}} \end{array}


۲-سری تلسکوپی:

عبارت داخل سری تلسکوپی از حاصل تفریق یک جمله دنباله از جمله قبلی خود بدست می‌آید:

\begin{array}{l} \sum\limits_{n = 0}^k {\left( {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right)} \\ \\ = \left( {{a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_k} + {a_{k + 1}}} \right)\\ \\ - \left( {{a_0} + {a_1} + {a_2} + ... + {a_{k - 1}} + {a_k}} \right)\\ \\ = {a_{k + 1}} - {a_0} \end{array}

پس نتیجه می‌گیریم حاصل سری تلسکوپی برابر است با:

{\sum\limits_{n = 0}^k {\left( {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right)} = {a_{k + 1}} - {a_0}}

مثال: حاصل  \sum\limits_{n = 1}^6 {\left( {{{\left( {n + 1} \right)}^2} - {n^2}} \right)} را بیابید.

حل:

\sum\limits_{n = 1}^4 {\left( {{{\left( {n + 1} \right)}^2} - {n^2}} \right)}  = {\left( {4 + 1} \right)^2} - {1^2} = 24

زیرا:

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\[\begin{array}{l}
\sum\limits_{n = 1}^4 {\left( {{{\left( {n + 1} \right)}^2} - {n^2}} \right)} = \left( {\cancel{{{2^2}}} - {1^2}} \right) + \left( {\bcancel{{{3^2}}} - \cancel{{{2^2}}}} \right)\\
\\
+ \left( {\xcancel{{{4^2}}} - \bcancel{{{3^2}}}} \right) + \left( {{5^2} - \xcancel{{{4^2}}}} \right) = 24
\end{array}\]

*** Error message:
Undefined control sequence \cancel.
leading text: ...ht)}^2} - {n^2}} \right)} = \left( {\cancel

که نیازی به محاسبه همه اعداد نیست و باید ابتدا اعداد قرینه را ساده کنیم که در نهایت فقط دو عدد {5^2} و - {1^2} باقی می‌ماند.

نکته: هرگاه سری تلسکوپی تا بی‌نهایت باشد باید از حد جمله بزرگتر در بی‌نهایت استفاده کنیم.

مثال: حاصل  \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}} را بیابید.

حل:

\begin{array}{l} \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right)} \\ \\ = - \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n}} \right)} = - \left( {\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{1}{{k + 1}} - \frac{1}{1}} \right) = 1 \end{array}

مثال: حاصل   \sum\limits_{n = 1}^{10} {Log\frac{{n + 3}}{{n + 1}}}  را بیابید.

حل:

 

    \[\begin{array}{l} \sum\limits_{n = 1}^{10} {Log\frac{{n + 3}}{{n + 1}}} = \sum\limits_{n = 1}^{10} {\left( {Log\left( {n + 3} \right) - Log\left( {n + 1} \right)} \right)} \\ \\ = \sum\limits_{n = 1}^{10} {\left( {Log\left( {n + 3} \right) - Log\left( {n + 2} \right) + Log\left( {n + 2} \right) - Log\left( {n + 1} \right)} \right)} \\ \\ = \left[ {Log\left( {10 + 3} \right) - Log\left( {1 + 2} \right)} \right] + \left[ {Log\left( {10 + 2} \right) - Log\left( {1 + 1} \right)} \right]\\ \\ = Log\frac{{13 \times 12}}{{3 \times 2}} = Log26 \end{array}\]

تمرین: مقدار عبارت  \sum\limits_{n = 6}^{12} {Log\frac{{n - 2}}{{n + 1}}} را بیابید.


۳- Pسری:

سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{n^p}}}} را P سری گویند و برای p > 1 همگرا و برای p \le 1 واگراست. توجه داشته باشد که برای p = 1 سری به \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{n}} تبدیل می‌شود که قبلاً هم ثابت کردیم واگراست. این سری خاص را سری همساز یا هارمونیک گویند.

مثال: همگرایی یا واگرایی سری‌های زیر را بررسی کنید.

\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^3}}}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{7n - 3}}{{{n^2}}}} \\ \\ 3)1 + \frac{1}{{2\sqrt[5]{2}}} + \frac{1}{{3\sqrt[5]{3}}} + \frac{1}{{4\sqrt[5]{4}}} + .... \end{array}

حل:

۱) این P سری با p = 3 است که بزرگتر از یک است پس این سری همگراست.

۲) این سری از جمع دو عبارت \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{7}{n}} و \sum\limits_{n = 1}^\infty  { - \frac{3}{{{n^2}}}} تشکیل شده که اولی p = 1 و دومی p = 2 است. یعنی اولی واگرا و دومی همگراست که در مجموع واگرا می‌شود. (مجموع واگرا و همگرا در کل واگرا می‌شود)

۳) این مجموع را می‌توان به فرم  \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{n\sqrt[5]{n}}}}  = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{n^{\frac{6}{5}}}}}} نمایش داد که با p = \frac{6}{5} یک P سری همگراست.

تمرین: همگرایی سری‌های زیر را بررسی کنید.

    \[\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{5n}}{{{n^3}}}} \\ \\ 3)1 + \frac{1}{{2\sqrt[3]{2}}} + \frac{1}{{3\sqrt[3]{3}}} + \frac{1}{{4\sqrt[3]{4}}} + .... \end{array}\]


۴-سری متناوب:

سری‌هایی که جملات آن به ترتیب و یک در میان مثبت و منفی (یا منفی و مثبت!) باشند را متناوب می‌نامیم. در حالت کلی یک سری متناوب به فرم زیر است:

\sum\limits_{n = 0}^\infty  {{{\left( { - 1} \right)}^n}{a_n} = } {a_0} - {a_1} + {a_2} - {a_3} + ...

سری متناوب به دو شرط زیر همگراست:

\left\{ \begin{array}{l} 1)\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0\\ \\ 2){a_{n + 1}} < {a_n} \end{array} \right.

شرط دوم معادل {a'_n} < 0 است.

مثال: همگرایی یا واگرایی  \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}}  را بررسی کنید.

حل:

\left\{ \begin{array}{l} 1)\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\\ \\ 2)\frac{1}{{n + 1}} < \frac{1}{n} \end{array} \right.

پس این سری همگراست.

تمرین: همگرایی یا واگرایی سری‌های زیر را بررسی کنید.

    \[\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{\sqrt n }}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}n}}{{{n^3} + 1}}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}Ln(n)}}{n}} \end{array}\]


آموزش تصویری این مبحث:


جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

دنباله و سری

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *