سری

به مجموع جملات یک دنباله، سری گویند و با نماد  نمایش می‌دهند. پس فرض می‌کنیم آموزش قبلی ما در مورد دنباله‌ها را کاملاً مطالعه کرده‌اید.

مثال: سری مجموع جملات دنباله است:

اگر تعداد جملات بی‌نهایت نباشد، مجموع جمله اول سری را حاصل‌جمع جزیی مرتبه ام سری نامیده و با ‌ نمایش می‌دهند.

مثال: حاصل‌جمع جزیی مرتبه پنجم برابر است با:

هرگاه مجموع بی‌نهایت جمله سری، یک عدد مشخصی شود سری را همگرا به آن عدد و در غیر اینصورت واگرا گوییم.

مثال: سری همگرا به ۱ است زیرا همانطور که جلوتر خواهیم دید یک سری هندسی است و مجموع بی‌نهایت جمله آن است ولی واگراست زیرا مجموع بی‌نهایت جمله آن بی‌نهایت می‌شود.

اثبات:

یعنی بی‌نهایت      در جواب می‌توان ایجاد کرد، در نتیجه واگراست.

انواع سری:

۱-سری هندسی:

سری که یک جمله اولیه مانند عدد داشته و جملات بعدی از ضرب شدن عددی مانند در جمله قبلی به دست می‌آیند را سری هندسی گوییم. عدد را جمله اول و را قدرنسبت می‌نامیم. هر جمله از ضرب شدن قدرنسبت در جمله قبلی به دست می‌آید.

مثال:

مجموع حاصل‌جمع جزیی جمله اول سری‌های هندسی ( تا ) از رابطه زیر به دست می‌آید:

اگر سری هندسی در بی‌نهایت، همگرا به  می‌شود زیرا .

به زبان ساده‌تر، حاصل سری هندسی برابر است با اولین عدد تقسیم بر یک منهای عددی که به توان رسیده. (جمله اول تقسیم بر یک منهای قدرنسبت)

مثال: حاصل را بیابید.

حل: می‌توان این سری را به صورت حاصلجمع دو سری هندسی در نظر گرفت

تمرین: حاصل عبارات زیر را بیابید.

۲-سری تلسکوپی:

عبارت داخل سری تلسکوپی از حاصل تفریق یک جمله دنباله از جمله قبلی خود بدست می‌آید:

پس نتیجه می‌گیریم حاصل سری تلسکوپی برابر است با:

مثال: حاصل  را بیابید.

حل:

زیرا:

که نیازی به محاسبه همه اعداد نیست و باید ابتدا اعداد قرینه را ساده کنیم که در نهایت فقط دو عدد و باقی می‌ماند.

نکته: هرگاه سری تلسکوپی تا بی‌نهایت باشد باید از حد جمله بزرگتر در بی‌نهایت استفاده کنیم.

مثال: حاصل  را بیابید.

حل:

مثال: حاصل     را بیابید.

حل:

تمرین: مقدار عبارت  را بیابید.

۳- Pسری:

سری را P سری گویند و برای همگرا و برای واگراست. توجه داشته باشد که برای سری به تبدیل می‌شود که قبلاً هم ثابت کردیم واگراست. این سری خاص را سری همساز یا هارمونیک گویند.

مثال: همگرایی یا واگرایی سری‌های زیر را بررسی کنید.

حل:

۱) این P سری با است که بزرگتر از یک است پس این سری همگراست.

۲) این سری از جمع دو عبارت و تشکیل شده که اولی و دومی است. یعنی اولی واگرا و دومی همگراست که در مجموع واگرا می‌شود. (مجموع واگرا و همگرا در کل واگرا می‌شود)

۳) این مجموع را می‌توان به فرم  نمایش داد که با یک P سری همگراست.

تمرین: همگرایی سری‌های زیر را بررسی کنید.

۴-سری متناوب:

سری‌هایی که جملات آن به ترتیب و یک در میان مثبت و منفی (یا منفی و مثبت!) باشند را متناوب می‌نامیم. در حالت کلی یک سری متناوب به فرم زیر است:

سری متناوب به دو شرط زیر همگراست:

شرط دوم معادل است.

مثال: همگرایی یا واگرایی    را بررسی کنید.

حل:

پس این سری همگراست.

تمرین: همگرایی یا واگرایی سری‌های زیر را بررسی کنید.

آموزش تصویری این مبحث:

جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید: