ریشه اعداد مختلط (رادیکال گرفتن از عدد مختلط):

برای محاسبه ریشه اعداد مختلط باید توجه کنید که هر عدد مختلط، n ریشه nام دارد. برخی از این ریشه ها ممکن است اعداد حقیقی باشند ولی در حالت کلی مختلط در نظر می‌گیریم.

برای یافتن ریشه های هر عدد مختلط باید ابتدا آن را به صورت قطبی بنویسیم:

$z = r{e^{i\theta }}$

سپس ریشه رادیکال را به صورت توانی می‌نویسیم:

$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{{r{e^{i\theta }}}} = {(r{e^{i\theta }})^{\frac{1}{n}}} = {r^{\frac{1}{n}}}{({e^{i\theta }})^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{r}\left[ {\cos \frac{{2k\pi + \theta }}{n} + i\sin \frac{{2k\pi + \theta }}{n}} \right]$

می‌دانیم در اعداد مختلط، زوایا برحسب رادیان می‌باشند. پس با تغییر $\theta$ به $2k\pi + \theta$ در جواب $r{e^{i\theta }}$ تغییری ایجاد نمی‌شود ( یعنی ${e^{i(2k\pi + \theta )}} = {e^{i\theta }}$ ). ولی هنگامی که $r{e^{i\theta }}$ به توان $\frac{1}{n}$ برسد جواب تغییر می‌کند. یعنی در ${({e^{i\theta }})^{\frac{1}{n}}} = {e^{\frac{{i\theta }}{n}}}$ اگر $\theta$ به $2k\pi + \theta$ تبدیل شود، به ازای $k$ های مختلف حاصل جواب ${e^{\frac{{i(2k\pi + \theta )}}{n}}}$ متفاوت خواهد بود. پس به ازای $k$ از 0 تا n-1 جواب‌های متفاوتی (به تعداد n جواب مختلف ) خواهیم داشت. ولی از k=n به بعد، جواب‌های تکراری خواهیم داشت زیرا:

${e^{\frac{{i(2n\pi + \theta )}}{n}}} = {e^{i(\frac{{2n\pi }}{n} + \frac{\theta }{n})}} = {e^{i(2\pi + \frac{\theta }{n})}} = {e^{i\frac{\theta }{n}}}$

پس از به دست آوردن n جواب مختلف در فرم قطبی،‌ می‌توان آن‌ها را به فرم پارامتری $x + iy$ برگرداند.

$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\left[ {\cos \frac{{2k\pi + \theta }}{n} + i\sin \frac{{2k\pi + \theta }}{n}} \right]$

مثال: ریشه‌های چهارم $z = i$ را بیابید.

حل: ابتدا $i$ را به صورت قطبی می‌نویسیم:

مشاهده می‌کنید که $i$ در فاصله 1 از مبداء مختصات بوده و با محور xها زاویه $\theta = {90^ \circ } = \frac{\pi }{2}$ می‌سازد:

$i = r{e^{i\theta }} = 1{e^{i\frac{\pi }{2}}} = {e^{i\frac{\pi }{2}}}$

سپس ریشه چهارم را به صورت توانی می‌نویسیم:

$w = \sqrt[4]{z} = \sqrt[4]{i} = {i^{\frac{1}{4}}} = {({e^{i\frac{\pi }{2}}})^{\frac{1}{4}}}$

حال زاویه را با $2k\pi$ جمع می‌کنیم:

$w = {({e^{i(\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}})^{\frac{1}{4}}} = {e^{i(\frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2})}}$

به ازای k از 0 تا 3 تا به 4 جواب ممکن از ریشه چهارم z=i می‌رسیم:

$w = \left\{ \begin{array}{l} k = 0 \Rightarrow {w_0} = {e^{i\frac{\pi }{8}}}\\ k = 1 \Rightarrow {w_1} = {e^{i(\frac{\pi }{8} + \frac{\pi }{2})}} = {e^{i\frac{{5\pi }}{8}}}\\ k = 2 \Rightarrow {w_2} = {e^{i(\frac{\pi }{8} + \frac{{2\pi }}{2})}} = {e^{i\frac{{9\pi }}{8}}}\\ k = 3 \Rightarrow {w_3} = {e^{i(\frac{\pi }{8} + \frac{{3\pi }}{2})}} = {e^{i\frac{{13\pi }}{8}}} \end{array} \right.$

سپس در صورت نیاز می‌توان جواب‌ها را به فرم پارامتری نوشت:

$\left\{ \begin{array}{l} {w_0} = {e^{i\frac{\pi }{8}}} = \cos (\frac{\pi }{8}) + i\sin (\frac{\pi }{8})\\ {w_1} = {e^{i\frac{{5\pi }}{8}}} = \cos (\frac{{5\pi }}{8}) + i\sin (\frac{{5\pi }}{8})\\ {w_2} = {e^{i\frac{{9\pi }}{8}}} = \cos (\frac{{9\pi }}{8}) + i\sin (\frac{{9\pi }}{8})\\ {w_3} = {e^{i\frac{{13\pi }}{8}}} = \cos (\frac{{13\pi }}{8}) + i\sin (\frac{{13\pi }}{8}) \end{array} \right.$

مثال: ریشه‌های سوم z=1 را بیابید.

حل: ابتدا مشابه مثال قبل، 1 را به صورت قطبی می‌نویسیم:

مشاهده می‌کنید که 1 در فاصله 1 از مبداء مختصات بوده و با محور ها زاویه $\theta = {0^ \circ }$ می‌سازد:

$i = r{e^{i\theta }} = 1{e^{i0}} = {e^{i0}}$

سپس ریشه سوم را به صورت توانی می‌نویسیم:

$w = \sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{1} = {1^{\frac{1}{3}}} = {({e^{i0}})^{\frac{1}{3}}}$

حال زاویه $\theta = {0^ \circ }$ را با $2k\pi$ جمع می‌کنیم:

$w = {({e^{i(0 + 2k\pi )}})^{\frac{1}{3}}} = {e^{\frac{{2k\pi i}}{3}}}$

به ازای k از 0 تا 2 به 3 جواب ممکن از ریشه سوم z=1 می‌رسیم:

$w = \left\{ \begin{array}{l} k = 0 \Rightarrow {w_0} = {e^0} = 1\\ k = 1 \Rightarrow {w_1} = {e^{\frac{{2\pi i}}{3}}} = \cos (\frac{{2\pi }}{3}) + i\sin (\frac{{2\pi }}{3}) = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ k = 2 \Rightarrow {w_2} = {e^{\frac{{4\pi i}}{3}}} = \cos (\frac{{4\pi }}{3}) + i\sin (\frac{{4\pi }}{3}) = - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2} \end{array} \right.$

تمرین: ریشه اعداد مختلط زیر را محاسبه کنید

1- ریشه‌های دوم $z = - i$ را بیابید.

2- ریشه‌های پنجم $z = 1 + i$ را بیابید.

3-ریشه‌های سوم $z = - \sqrt 3 + i$ را بیابید.

4- معادله ${z^4} = {\left( {\frac{{1 - i\sqrt 3 }}{{1 + i\sqrt 3 }}} \right)^3}$ را حل کنید.

5- معادله ${\left( {{z^2} + i} \right)^2} = 1$ را حل کنید.

جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری این مبحث، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:

پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه (۵ فصل + ضمیمه مثلثات)
نمره 4.75 از 5
۱۳۹,۰۰۰ تومان افزودن به سبد خرید

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

لینک دانلود

امین یارمحمدی

1396-04-27

اعداد و توابع مختلط

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.