روش جزء به جزء برای حل انتگرال‌های معین و نامعین

روش جزء به جزء:

روش جزء به جزء برای حل انتگرال‌هایی به کار می‌رود که از حاصلضرب دو تابع، یکی به راحتی انتگرال‌پذیر و دیگری به راحتی مشتق‌پذیر تشکیل شده باشد. روش جزء به جزء به دو روش قابل اجراست که عموماً روش اول تدریس می‌گردد و روش دوم با وجود اینکه برای حالات خاص روش جزء به جزء قابل استفاده است، ولی ساده‌تر از روش اول بوده و سریع‌تر به جواب می‌رسد و اکثراً تدریس نمی‌شود. لذا قبل از استفاده از روش دوم (به نام روش جدولی) حتماً در مورد اجازه استفاده از آن در امتحان، از استاد خود سؤال نمایید.

الف- روش جزء به جزء مستقیم:

این روش برای تمام حالات انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء قابل استفاده است و با وجود اینکه برخی مواقع بسیار وقت‌گیر است ولی همواره به جواب می‌رسد.
از مبحث مشتق به یاد داریم که مشتق حاصل‌ضرب دو تابع برابر است با مجموع حاصل‌ضرب هر تابع در مشتق تابع دیگر:

\frac{d}{{dx}}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

در واقع به زبان ساده‌تر داریم:

\frac{d}{{dx}}(uv) = \frac{{du}}{{dx}}v + u\frac{{dv}}{{dx}}

حال با ضرب کردن طرفین در  dx  داریم:

d(uv) = vdu + udv

با انتگرال‌گیری از طرفین، داریم:

uv = \int {vdu + \int {udv} }

و در نتیجه:

فرمول اصلی روش جزء به جزء:    \int {udv = uv - \int {vdu} }

در اینجا انتگرالی که می‌خواهیم جواب آن را به دست آوریم  \int {udv}  است.
گفتیم که انتگرال جزء به جزء حاصل‌ضرب دو تابع، یکی به راحتی انتگرال‌پذیر و دیگری به راحتی مشتق‌پذیر است. اصولاً تابع به راحتی مشتق‌پذیر را  u  و تابع دیگر به همراه  dx  را  dv  می‌نامیم.
ولی برای تشخیص ساده‌تر  u  اولویت‌های زیر را به ترتیب در نظر بگیرید:
1-توابع لگاریتمی (مانند  Ln(x)  ،  Log(x)  و …)
2-توابع معکوس مثلثاتی (مانند  {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (x)  ،   {\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} (x)  و …)
3-توابع چندجمله‌ای (مانند  {x^2} + x  ،  {x^3} + 1  و…)
4-توابع مثلثاتی و نمایی (مانند  {e^{4x}}  ،  {\mathop{\rm Sin}\nolimits} (2x)  ،  {\mathop{\rm Cos}\nolimits} (5x)  و … که اولویت یکسانی دارند و اگر هم‌زمان دو تابع از این توابع در انتگرال حضور داشته باشند مهم نیست کدام را  u  بگیریم و در هر صورت جواب یکسانی به دست می‌آید).

برای مرتب شدن حل انتگرال بهتر است  u  و  dv  را در کنار هم بنویسیم و سپس از  u  دیفرانسیل و از  dv  انتگرال بگیریم:

\left\{ \begin{array}{l} u \Rightarrow du\\ dv \Rightarrow v \end{array} \right.

منظور از دیفرانسیل، مشتق عبارتی که  u  فرض شده ضربدر  dx  است.
به طور مثال اگر  u = {x^3}  باشد، دیفرانسیل  u  برابر است با:  du = 3{x^2}dx

(جهت یادآوری دیفرانسیل، می‌توانید به آموزش روش تغییر متغیر برای حل انتگرال‌ها مراجعه کرده و مرور کنید)

با جایگذاری  du  و  v  در  \int {udv = uv - \int {vdu} }  و انتگرال‌گیری از عبارت دوم، جواب انتگرال به دست می‌آید.

مثال۱: انتگرال  \int {x{e^{ - 3x}}} \,dx  را حل کنید.

حل: ملاحظه می‌کنید که توابع  x  و  {e^{ - 3x}}  هر دو به راحتی مشتق‌پذیر و انتگرال‌پذیر هستند. ولی با توجه به اینکه اولویت چندجمله‌ای‌ها بالاتر از توابع نمایی است پس  x  را  u  و  {e^{ - 3x}}  به همراه  dx  را  dv  در نظر می‌گیریم:

\left\{ \begin{array}{l} u = x \Rightarrow du = 1 \times dx \Rightarrow du = dx\\ dv = {e^{ - 3x}}dx \Rightarrow v = - \frac{1}{3}{e^{ - 3x}} \end{array} \right.

با جایگذاری در فرمول اصلی روش جزء به جزء، داریم:

    \[\begin{array}{c} \overbrace {\int {x{e^{ - 3x}}\,} dx}^{\int {udv} } = \overbrace {x\left( { - {\textstyle{1 \over 3}}{e^{ - 3x}}} \right)}^{uv}\;\, - \overbrace {\int {\left( { - {\textstyle{1 \over 3}}{e^{ - 3x}}} \right)} \,\;dx}^{\int {vdu} }\\ = - {\textstyle{1 \over 3}}x{e^{ - 3x}} - {\textstyle{1 \over 9}}{e^{ - 3x}} + c \end{array}\]

تمرین: حاصل انتگرال‌های زیر را به روش جزء به جزء مستقیم حل کنید

1. \int {xLn(x)} \,dx
2. \int {({x^3} + 3{x^2})Ln(x)} \,dx
3. \int {{x^n}Ln(x)} \,dx
4.  \int {Ln(x)} \,dx  (راهنمایی:  u = Ln(x)  )
5. \int {x{\mathop{\rm Sin}\nolimits} (x)} \,dx
6. \int {x{\mathop{\rm Cos}\nolimits} (4x)} \,dx
7. \int {\frac{{Ln(x)}}{{{x^{60}}}}} \,dx
8. \int {{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} (3x)} \,dx
9. \int {{\mathop{\rm Sin}\nolimits} (\sqrt x )} \,dx (راهنمایی: ابتدا تغییرمتغیر u = \sqrt x را انجام دهید)

برخی مواقع در روش جزء به جزء مستقیم  باید بیش از یک بار جزء به جزء  بگیریم که در این حالت انتگرال‌گیری مراحل بعدی فرقی با مرحله اول ندارند. فقط باید جواب انتگرال‌ها را در جای درست خود جایگذاری کنیم که بهتر است برای جلوگیری از اشتباه در جایگذاری، انتگرال‌های مراحل بعدی را جداگانه محاسبه و سپس در فرمول اولیه جایگذاری کنید.

مثال۲: انتگرال  \int {{x^2}{e^{ - 3x}}} \,dx  را حل کنید.

حل: مرحله اول مشابه مثال قبل است:

\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2} \Rightarrow du = 2xdx\\ dv = {e^{ - 3x}}dx \Rightarrow v = - \frac{1}{3}{e^{ - 3x}} \end{array} \right.

اکنون با جایگذاری در فرمول اصلی روش جزء به جزء، داریم:

\begin{array}{c} \int {{x^2}{e^{ - 3x}}\,} dx = {x^2}\left( { - {\textstyle{1 \over 3}}{e^{ - 3x}}} \right)\;\, - \int {\left( { - {\textstyle{1 \over 3}}{e^{ - 3x}}} \right)} \,2x\;dx\\ = - {\textstyle{1 \over 3}}{x^2}{e^{ - 3x}} + {\textstyle{2 \over 3}}\int {x{e^{ - 3x}}} \,dx \end{array}

حال در این مرحله به انتگرال  \int {x{e^{ - 3x}}} \,dx  می‌رسیم که باید به روش جزء به جزء حل شود. البته ما جواب این انتگرال را در مثال قبل یافتیم پس مستقیماً در این انتگرال قرار می‌دهیم:

\begin{array}{c} {\rm{ }}\int {{x^2}} {e^{ - 3x}}\;dx = - {\textstyle{1 \over 3}}{x^2}{e^{ - 3x}} + {\textstyle{2 \over 3}}\int {x{e^{ - 3x}}} \;dx\\ = - {\textstyle{1 \over 3}}{x^2}{e^{ - 3x}} + {\textstyle{2 \over 3}}\left[ { - {\textstyle{1 \over 3}}x{e^{ - 3x}} - {\textstyle{1 \over 9}}{e^{ - 3x}}} \right] + c\\ = - {\textstyle{1 \over 3}}{x^2}{e^{ - 3x}} - {\textstyle{2 \over 9}}x{e^{ - 3x}} - {\textstyle{2 \over {27}}}{e^{ - 3x}} + c\\ = - {\textstyle{1 \over {27}}}{e^{ - 3x}}\left( {9{x^2} + 6x + 2} \right) + c \end{array}

البته خط آخر، فقط فاکتورگیری است و انجام آن ضروری نیست.

تمرین: حاصل انتگرال‌های زیر را به روش جزء به جزء مستقیم  حل کنید.

1) \int {({x^2} + 2x - 3){\mathop{\rm Sin}\nolimits} (x)} \,dx
2) \int {4{x^2}{\mathop{\rm Cos}\nolimits} (2x)} \,dx
3) \int {(6{x^2} - 3x + 5){e^{6x}}} \,dx

برخی مواقع پس از دو بار انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء، به ضریبی از انتگرال اولیه می‌رسیم و احتمال می‌دهیم اشتباه حل کرده باشیم! اشتباهی رخ نداده و شما با بردن آن قسمت به سمت چپ (سمت روی سؤال) و ساده‌سازی، جواب را به دست می‌آورید. این حالت اکثراً زمانی رخ می‌دهد که بخواهیم از حاصل‌ضرب یک تابع نمایی در یک تابع مثلثاتی انتگرال جزء به جزء بگیریم.

مثال۳: حاصل انتگرال  \int {\cos (2x){e^{3x}}} \,dx  را بیابید.

حل:  با توجه به اینکه اولویت توابع مثلثاتی و نمایی یکسان است، فرقی نمی‌کند کدامیک را  u  در نظر بگیریم:

\left\{ \begin{array}{l} u = \cos (2x) \Rightarrow du = - 2\sin (2x)dx\\ dv = {e^{3x}}dx \Rightarrow v = \frac{1}{3}{e^{3x}} \end{array} \right.

اکنون با جایگذاری در فرمول اصلی روش جزء به جزء داریم:

\begin{array}{l} \int {\cos (2x){e^{3x}}} \,dx = \\ \cos (2x)(\frac{1}{3}{e^{3x}}) - \int {(\frac{1}{3}{e^{3x}})( - 2\sin (2x)dx) = \cos (2x)(\frac{1}{3}{e^{3x}}) + \frac{2}{3}} \int {\sin (2x){e^{3x}}} \,dx\qquad(1) \end{array}

حال انتگرال  \int {\sin (2x){e^{3x}}} \,dx  را نیز به همین روش حل می‌کنیم. توجه کنید که در قسمت قبل  u  را  \cos (2x)  در نظر گرفتیم پس این بار  u  را  \sin (2x)  در نظر می‌گیریم وگرنه انتگرال به جواب بدیهی که روی سؤال است می‌رسد. پس داریم:

\left\{ \begin{array}{l} u = \sin (2x) \Rightarrow du = 2\cos (2x)dx\\ dv = {e^{3x}}dx \Rightarrow v = \frac{1}{3}{e^{3x}} \end{array} \right.

و در نتیجه:

\begin{array}{l} \int {\sin (2x){e^{3x}}} \,dx = \\ \sin (2x)(\frac{1}{3}{e^{3x}}) - \int {(\frac{1}{3}{e^{3x}})(2\cos (2x)dx) = \sin (2x)(\frac{1}{3}{e^{3x}}) - \frac{2}{3}} \int {\cos (2x){e^{3x}}} \,dx \end{array}

حال این جواب را در (۱) قرار می‌دهیم:

\begin{array}{l} \int {\cos (2x){e^{3x}}} \,dx = \cos (2x)(\frac{1}{3}{e^{3x}}) + \frac{2}{3}\left[ {\sin (2x)(\frac{1}{3}{e^{3x}}) - \frac{2}{3}\int {\cos (2x){e^{3x}}} \,dx} \right] = \\ \cos (2x)(\frac{1}{3}{e^{3x}}) + \frac{2}{3}\sin (2x)(\frac{1}{3}{e^{3x}}) - \frac{4}{9}\int {\cos (2x){e^{3x}}} \,dx \end{array}

می‌بینیم که در جواب بدست آمده خود انتگرال اولیه یعنی  \int {\cos (2x){e^{3x}}} \,dx  نیز حضور دارد. با انتقال این قسمت به سمت چپ، فاکتورگیری و تقسیم طرفین بر ضریب انتگرال سمت چپ جواب بدست می‌آید:

\begin{array}{l} \int {\cos (2x){e^{3x}}} \,dx + \frac{4}{9}\int {\cos (2x){e^{3x}}} \,dx\\ \\ = \cos (2x)(\frac{1}{3}{e^{3x}}) + \frac{2}{3}\sin (2x)(\frac{1}{3}{e^{3x}})\\ \\ \Rightarrow \frac{{13}}{9}\int {\cos (2x){e^{3x}}} \,dx = \cos (2x)(\frac{1}{3}{e^{3x}}) + \frac{2}{3}\sin (2x)(\frac{1}{3}{e^{3x}})\\ \\ \Rightarrow \int {\cos (2x){e^{3x}}} \,dx = \frac{3}{{13}}\cos (2x) \times {e^{3x}} + \frac{2}{{13}}\sin (2x) \times {e^{3x}} + c\\ \\ = \frac{1}{{13}}{e^{3x}}(3\cos (2x) + 2\sin (2x)) + c \end{array}

تمرین: حاصل انتگرال‌های زیر را به روش جزء به جزء مستقیم حل کنید
1) \int {\sin (4x){e^{ - 3x}}} \,dx
2) \int {\cos (4x){e^{2x}}} \,dx
3) \int {\sin (2x){e^{5x}}} \,dx

ب- روش جزء به جزء جدولی:

این روش برای حل انتگرال‌هایی که به صورت حاصل‌ضرب یک تابع چندجمله‌ای در یک تابع مثلثاتی یا نمایی  و یا حاصل‌ضرب دو تابع مثلثاتی و نمایی به کار می‌رود. در این دو حالت استفاده از روش جدولی بسیار آسان‌تر بوده و سریع‌تر به جواب می‌رسید.

حالت اول – با حضور چندجمله‌ای:

ابتدا جدولی با دو ستون رسم کرده و در بالای ستون سمت چپ عبارت مشتق و در بالای ستون سمت راست عبارت انتگرال را می‌نویسیم:

روش جزء به جزء برای حل انتگرال‌های معین و نامعین

سپس زیر مشتق، چندجمله‌ای را نوشته و تا زمانی که به صفر برسد از آن مشتق می‌گیریم و مشتق‌ها را زیر هم می‌نویسیم.

به طور مثال:

روش جزء به جزء برای حل انتگرال‌های معین و نامعین

سپس تابع دوم را زیر انتگرال نوشته و تا زمانی که به روبروی صفر برسد از آن انتگرال می‌گیریم.
به طور مثال:

روش جزء به جزء برای حل انتگرال‌های معین و نامعین

عبارات زیر ستون مشتق را در عبارت سطر بعدی ضرب کرده و یک‌درمیان در  + و  ضرب می‌کنیم:

روش جزء به جزء برای حل انتگرال‌های معین و نامعین

عبارات به دست آمده را با هم جمع کرده و به جواب نهایی انتگرال می‌رسیم:

\begin{array}{l} \int {({x^2} + 3x)\cos 2x} \,dx\\ \\ = + ({x^2} + 3x)(\frac{1}{2}\sin 2x) - (2x + 3)( - \frac{1}{4}\cos 2x) + 2( - \frac{1}{8}\sin 2x) + c\\ \\ = \frac{1}{4}(2{x^2} + 6x - 1)\sin (2x) + (2x + 3)\cos (2x) + c \end{array}

حالت دوم –  حاصل‌ضرب دو تابع مثلثاتی و نمایی:

مشابه حالت اول جدول را تشکیل می‌دهیم و در این حالت مهم نیست کدام تابع (مثلثاتی یا نمایی) را در ستون مشتق بنویسیم. هر کدام را که نوشتیم (با توجه به اینکه هیچگاه مشتق آن صفر نخواهد شد) فقط دو بار از آن مشتق می‌گیریم و از تابع دیگر در ستون مقابل نیز دو بار انتگرال می‌گیریم و عبارات ستون مشتق را مشابه حالت قبل در عبارت سطر بعدی انتگرال با علامات مثبت و منفی (یک در میان) ضرب می‌کنیم و در نهایت عبارت آخر هر دو ستون را با علامت مثبت در همدیگر ضرب کرده و انتگرال می‌گیریم. این انتگرال ضریبی از انتگرال اصلی بوده و با بردن آن به سمت دیگر، جواب را می‌توان به سادگی یافت. به طور مثال:

روش جزء به جزء برای حل انتگرال‌های معین و نامعین

در نهایت داریم:

    \[\begin{array}{l} \int {{e^{3x}}\cos 2x} \,dx\\ \\ = + {e^{3x}}(\frac{1}{2}\sin 2x) - (3{e^{3x}})( - \frac{1}{4}\cos 2x) + \int {9{e^{3x}}( - \frac{1}{4}\cos 2x)} dx + c\\ \\ \Rightarrow \frac{{13}}{4}\int {{e^{3x}}\cos 2x} \,dx = \frac{1}{2}{e^{3x}}\sin 2x + \frac{3}{4}{e^{3x}}\cos 2x + c\\ \\ \Rightarrow \int {{e^{3x}}\cos 2x} \,dx = \frac{2}{{13}}{e^{3x}}\sin 2x + \frac{3}{{13}}{e^{3x}}\cos 2x + {c_1} \end{array}\]

تمرین: حاصل انتگرال‌های زیر را به روش جزء به جزء  جدولی حل کنید
1) \int {2x{e^{ - 5x}}} \,dx
2) \int {(4{x^3} + {x^2} - 7x + 3){e^{ - 4x}}} \,dx
3) \int {\sin (3x){e^x}} \,dx

4) \int {\cos (3x){e^{ - 4x}}} \,dx

5) \int {\sin (x){e^{ - 3x}}} \,dx
6) \int {\cos \left( {\sqrt[3]{{2x + 3}}} \right)} dx (راهنمایی: ابتدا از تغییر متغیر  2x + 3 = {t^3}  استفاده کنید)


آموزش تصویری این مبحث:


جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

انتگرال و کاربرد آن

انتگرال جزء به جزءانتگرال گیری به روش جزء به جزءروش جدولی جزء به جزءروش جزء به جزءروش جزء به جزء برای حل انتگرالروش مستقیم جزء به جزءفرمول انتگرال جز به جزفرمول انتگرال جزء به جزءفرمول جزء به جزء

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

20 دیدگاه

  • واقعا بهترین نوع اموزش رو دیدم هیچجا اینجوری مفهومی که راحت بتونی حفظ کنی ندیدم عالی بود

    • واقعا عالی بود. خلاصه و با ذکر تمام جزئیات و مثال های مهم.

  • سلام
    من خیلی اتفاقی از گوگل اومدم
    با اجازتون من اینجا برای دوستمم فرستادم تا بیاد ببینه
    ممنون

  • با سلام و عرض خسته نباشید یه سوال داشتم در مورد انتگرال جزءبه جزء روش جدولی مثال دوم مخرج کسر به چه صورت عدد 13 شده با تشکر از راهنمایی شما

    • سلام
      سمت راست 9/4- ایجاد شده که اگه ببریم سمت چپ میشه 9/4+ و با خود انتگرال اصلی جمع بشه میشه 13/4 . با ضرب کردن طرفین در 4/13 جواب انتگرال به دست میاد.

      • سوال من هم همین بود. با تشکر فراوان بابت آموزش هایی که دادین. بسیار مفید بود. به امید موفقیت‌های بیشتر.

  • چرا در انتگرال جز به جز بین تابع نمایی و مثلثاتی حاصل انتگرال نهایی صفر می شه اشتباه در کجاست .( وقتی تابع مثلثاتی را u فرض میکنیم نمایی dv تابع نمایی بعد انتگرال اولگاریتمی میشه و در انتگرال دوم مجبور میشیم تابع لگاریتم u بگیریم که باعث صفر شدن میشه . )

    • درود بر شما
      اگر تابع نمایی رو dv بگیریم بعد از انتگرال‌گیری همچنان نمایی باقی میمونه و لگاریتمی نمیشه. اگر در مرحله بعدی تابع نمایی رو u بگیریم در واقع به صورت معکوس عمل میکنیم و انتگرال‌گیری بیهوده خواهد بود پس باید در مرحله بعدی هم تابع نمایی رو dv بگیریم تا به جواب برسیم. اگه تابع مثلثاتی رو در مرحله اول dv میگرفتیم باید در مرحله دوم هم تابع مثلثاتی رو dv بگیریم تا به جواب برسیم.
      موفق باشید.

  • استفاده کردم. عالی بود. ممنون.
    وبسایت بسیار شیک و کاربر پسندی هم دارید.
    از این که در آخر مطلب، لینک دانلود PDF مطلب رو قرار داده اید، سپاسگزارم.

  • سلام خیلی ممنون
    تونست تو زمان کم چیزهایی که ترم یک یادگرفته بودم و الان فراموش کرده بودم رو واسم دوره کنه

  • با سلام، عالی بود.
    یک سوال انتگرال(x^x*ln(x چه طور باید حل شه؟

    • سلام
      انتگرال موردنظر جواب ندارد ولی به صورت عددی (روش‌های درس محاسبات عددی) در یک بازه مشخص تا دقت معین قابل حل است.
      موفق باشید.

  • من از این آموزش استفاده کردم و خیلی هم عالی بود، یه نکتو راجب به سئوی پیج، اگه عبارت “انتگرال جزء به جزء” دقیقا توی عنوان بود بالاتر میومدید

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *