روش تغییر متغیر برای حل انتگرال‌ها

روش تغییر متغیر برای حل انتگرال‌ها:

اگر تابع زیر انتگرال پیچیده‌تر از توابع اصلی انتگرال‌گیری باشد، باید  به کمک روش‌های انتگرال‌گیری، حاصل انتگرال را ساده کرده و سپس با فرمول‌های داده شده، جواب انتگرال را بیابیم. یکی از روش‌های انتگرال‌گیری، روش تغییر متغیر است. اگر در تابع زیر انتگرال بتوانیم قسمتی را بیابیم که مشتق آن قسمت (یا حتی ضریبی از مشتق آن) در  dx  ضرب شده باشد، آن قسمت را متغیر جدیدی مثلاً  t  در نظر گرفته و با دیفرانسیل‌گیری، انتگرال را ساده می‌کنیم. پس از حل کردن انتگرال، جواب را بر حسب  x   بازنویسی می‌کنیم.

یادآوری:

(پارامتر) d  ×  مشتق تابع = دیفرانسیل تابع

مثلاً دیفرانسیل  t  (یعنی  dt  ) در تابع زیر به این شکل به دست می‌آید:

t = {x^2} + 3\sin x - 1 \Rightarrow dt = \left( {2x + 3\cos x} \right)dx

مثال: حاصل انتگرال   \int {\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}dx}   را به روش تغییر متغیر بیابید.

حل: مشتق عبارت  {x^2} + 1  در صورت وجود دارد و در  dx   ضرب شده است پس با تغییر متغیر  t = {x^2} + 1  انتگرال را حل می‌کنیم:

\begin{array}{l} t = {x^2} + 1 \Rightarrow dt = 2xdx\\ \int {\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}dx} = \int {\frac{{dt}}{t}} = Lnt + c = Ln\left( {{x^2} + 1} \right) + c \end{array}

مثال: حاصل انتگرال  \int {\frac{{Lnx}}{x}dx}   را به روش تغییر متغیر بیابید.

حل: مشتق عبارت  Lnx  یعنی  \frac{1}{x}   در  dx   ضرب شده است پس با تغییر متغیر  t = Lnx  انتگرال را حل می‌کنیم:

\begin{array}{l} t = Lnx \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\\ \int {\frac{{Lnx}}{x}dx} = \int {Lnx \times \frac{1}{x}dx} = \int {t \times dt} = \frac{{{t^2}}}{2} + c = \frac{{{{\left( {Lnx} \right)}^2}}}{2} + c \end{array}

مثال: حاصل انتگرال  \int {{x^2}\sqrt {2{x^3} - 5} dx}   را به روش تغییر متغیر بیابید.

حل: مشتق عبارت  2{x^3} - 5 برابر است با  6{x^2}  که ضریبی از آن در  dx   ضرب شده است پس با تغییر متغیر  t = 2{x^3} - 5  انتگرال را حل می‌کنیم:

\begin{array}{l} t = 2{x^3} - 5 \Rightarrow dt = 6{x^2}dx \Rightarrow \frac{{dt}}{6} = {x^2}dx\\ \int {{x^2}\sqrt {2{x^3} - 5} dx} = \int {\sqrt t \times \frac{{dt}}{6}} = \frac{1}{6}\int {{t^{\frac{1}{2}}} \times dt} = \frac{1}{6} \times \frac{{{t^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + c = \frac{1}{9}{t^{\frac{3}{2}}} + c = \frac{1}{9}{\left( {2{x^3} - 5} \right)^{\frac{3}{2}}} + c = \frac{1}{9}\sqrt {{{\left( {2{x^3} - 5} \right)}^3}} + c \end{array}

نکته۱: هرگاه ضریبی از مشتق یک عبارت در  dx   ضرب شده باشد، ضریب مورد نظر را به سمت  dt  منتقل کرده و عیناً عبارت داخل انتگرال را تشکیل می‌دهیم تا جایگذاری را انجام دهیم.

نکته۲: برای محاسبه انتگرال زمانی که  x  زیر رادیکال است، عبارت داده شده را به صورت توانی می‌نویسیم:

\int {\sqrt[n]{{{x^m}}}} dx = \int {{x^{\frac{m}{n}}}dx = } \frac{{{x^{\frac{m}{n} + 1}}}}{{^{\frac{m}{n} + 1}}} + c

مثال: حاصل انتگرال  \int {\left( {12x + 8} \right){{\left( {3{x^2} + 4x - 6} \right)}^5}dx}   را به روش تغییر متغیر بیابید.

حل: مشتق عبارت  \left( {3{x^2} + 4x - 6} \right) برابر است با  \left( {6x + 4} \right)  که ضریبی از آن (یعنی  \left( {12x + 8} \right) ) در  dx   ضرب شده است پس با تغییر متغیر  t = 3{x^2} + 4x - 6  انتگرال را حل می‌کنیم:

    \[t = 3{x^2} + 4x - 6 \Rightarrow dt = \left( {6x + 4} \right)dx \Rightarrow 2dt = \left( {12x + 8} \right)dx\]

    \[\begin{array}{l} \int {\left( {12x + 8} \right){{\left( {3{x^2} + 4x - 6} \right)}^5}dx} = \int {{{\left( {3{x^2} + 4x - 6} \right)}^5} \times \left( {12x + 8} \right)dx} = \\ = \int {{t^5} \times 2dt = 2\frac{{{t^6}}}{6} + c} = \frac{1}{3}{\left( {3{x^2} + 4x - 6} \right)^6} + c \end{array}\]

تمرین: حاصل انتگرال‌های زیر را به روش تغییر متغیر بیابید.

 

  1. \int {2x{{\left( {{x^2} - 5} \right)}^{13}}dx}
  2. \int {\frac{{7x}}{{\sqrt {{x^2} - 3} }}dx}
  3. \int {\frac{1}{{{{\left( {3x - 7} \right)}^5}}}dx}
  4. \int {\frac{{{e^{\sqrt x }}}}{{\sqrt x }}dx}
  5. \int {\left( {\sin x} \right){e^{\cos x}}dx}
  6. \int_1^{{e^3}} {\frac{{Ln\sqrt x }}{x}dx}

نکته: انتگرال توابعی که شامل عبارات رادیکالی زیر باشند، با تغییر متغیر مثلثاتی مناسب قابل حل هستند:

تغییر متغیر مناسب عبارت رادیکالی
 x = a\tan \theta  \sqrt {{a^2} + {x^2}}
 x = a\sin \theta  \sqrt {{a^2} - {x^2}}
 x = a\sec \theta  \sqrt {{x^2} - {a^2}}

درحل این نوع مسائل باید به یاد داشته باشیم که:  {\sin ^2}\theta + {\cos ^2}\theta = 1  و  1 + {\tan ^2}\theta = {\sec ^2}\theta


مثال: انتگرال  \int {{x^3}\sqrt {4 - {x^2}} dx}  را به روش تغییر متغیر حل کنید.

حل: مطابق جدول بالا باید از تغییر متغیر  x = 2\sin \theta  استفاده کنیم:

x = 2\sin \theta \Rightarrow dx = 2\cos \theta d\theta

    \[\begin{array}{l} \int {{x^3}\sqrt {4 - {x^2}} dx} = \int {{{\left( {2\sin \theta } \right)}^3}\sqrt {4 - {{\left( {2\sin \theta } \right)}^2}} 2\cos \theta d\theta = } \int {8{{\sin }^3}\theta \sqrt {4 - 4{{\sin }^2}\theta } 2\cos \theta d\theta } \\ \\ = 16\int {{{\sin }^3}\theta \sqrt {4{{\cos }^2}\theta } \cos \theta d\theta } = 16\int {{{\sin }^3}\theta \times 2\cos \theta \times \cos \theta d\theta } = 32\int {{{\sin }^3}\theta {{\cos }^2}\theta d\theta } \\ \\ = 32\int {{{\sin }^2}\theta {{\cos }^2}\theta \sin \theta d\theta } = 32\int {\left( {1 - {{\cos }^2}\theta } \right){{\cos }^2}\theta \sin \theta d\theta } \end{array}\]

برای حل انتگرال بدست آمده باید از تغییر متغیر  t = \cos \theta   استفاده کنیم زیرا ضریبی از مشتق آن در  d\theta   ضرب شده است:

t = \cos \theta \Rightarrow dt = - \sin \theta d\theta \Rightarrow - dt = \sin \theta d\theta

\begin{array}{l} 32\int {\left( {1 - {{\cos }^2}\theta } \right){{\cos }^2}\theta \sin \theta d\theta } = 32\int {\left( {1 - {t^2}} \right){t^2}\left( { - dt} \right)} = 32\int {\left( {{t^4} - {t^2}} \right)dt} \\ = 32\left( {\frac{{{t^5}}}{5} - \frac{{{t^3}}}{3}} \right) + c = 32\left( {\frac{{{{\cos }^5}\theta }}{5} - \frac{{{{\cos }^3}\theta }}{3}} \right) + c \end{array}

و در نهایت جواب بدست آمده را بر حسب  x   بازنویسی می‌کنیم:

\begin{array}{l} \cos \theta = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\theta } = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{4}} \\ \\ = \sqrt {\frac{{4 - {x^2}}}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt {4 - {x^2}} = \frac{1}{2}{\left( {4 - {x^2}} \right)^{\frac{1}{2}}} \end{array}

\begin{array}{l} 32\left( {\frac{{{{\cos }^5}\theta }}{5} - \frac{{{{\cos }^3}\theta }}{3}} \right) + c = 32\left( {\frac{1}{5}\frac{1}{{32}}{{\left( {4 - {x^2}} \right)}^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{3}\frac{1}{8}{{\left( {4 - {x^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right) + c\\ \\ = \frac{1}{5}{\left( {4 - {x^2}} \right)^{\frac{5}{2}}} - \frac{4}{3}{\left( {4 - {x^2}} \right)^{\frac{3}{2}}} + c \end{array}

مثال: حاصل انتگرال  \int_0^3 {\sqrt {{x^2} + 6x} dx}  را به روش تغییر متغیر بیابید.

حل: ابتدا عبارت زیر رادیکال را مربع کامل می‌کنیم:

    \[{x^2} + 6x = {x^2} + 6x + 9 - 9 = {\left( {x + 3} \right)^2} - 9\]

    \[\int_0^3 {\sqrt {{x^2} + 6x} dx} = \int_0^3 {\sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} - 9} dx} \]

سپس برای اینکه عبارت زیر رادیکال به عبارت مشابه در جدول فوق تبدیل شود از تغییر متغیر  t = x + 3 استفاده می‌کنیم:

    \[\begin{array}{l} t = x + 3 \Rightarrow dt = dx\\ \int_{x = 0}^3 {\sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} - 9} dx} = \int_{t = 3}^6 {\sqrt {{t^2} - 9} dt} \end{array}\]

توجه کنید که با تغییر متغیر در انتگرال معین، باید کران‌ها نیز تغییر یابند و بر حسب متغیر جدید نوشته شوند. عبارت زیر رادیکال مشابه عبارت سوم جدول ذکر شده است پس داریم:

    \[\begin{array}{l} t = 3\sec \theta \Rightarrow dt = 3\sec \theta \tan \theta d\theta \\ \left\{ \begin{array}{l} t = 3 \Rightarrow \sec \theta = 1 \Rightarrow \cos \theta = 1 \Rightarrow \theta = 0\\ t = 6 \Rightarrow \sec \theta = 2 \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi }{3} \end{array} \right. \end{array}\]

    \[\begin{array}{l} \int_{t = 3}^6 {\sqrt {{t^2} - 9} dt} = \int_{\theta = 0}^{\frac{\pi }{3}} {\sqrt {{{\left( {3\sec \theta } \right)}^2} - 9} \times 3\sec \theta \tan \theta d\theta } \\ \\ = \int_{\theta = 0}^{\frac{\pi }{3}} {\sqrt {9{{\sec }^2}\theta - 9} \times 3\sec \theta \tan \theta d\theta } \\ \\ = 9\int_{\theta = 0}^{\frac{\pi }{3}} {\sqrt {{{\sec }^2}\theta - 1} \sec \theta \tan \theta d\theta } = 9\int_{\theta = 0}^{\frac{\pi }{3}} {\sqrt {{{\tan }^2}\theta } \sec \theta \tan \theta d\theta } \\ \\ = 9\int_{\theta = 0}^{\frac{\pi }{3}} {\sec \theta {{\tan }^2}\theta d\theta } \end{array}\]

    \[\begin{array}{l} = 9\int_{\theta = 0}^{\frac{\pi }{3}} {\sec \theta \left( {{{\sec }^2}\theta - 1} \right)d\theta } = 9\int_{\theta = 0}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {{{\sec }^3}\theta - \sec \theta } \right)d\theta } \\ \\ = 9\left[ {\int_{\theta = 0}^{\frac{\pi }{3}} {{{\sec }^3}\theta d\theta - } \int_{\theta = 0}^{\frac{\pi }{3}} {\sec \theta d\theta } } \right]\\ \\ = 9\left[ {\int_{\theta = 0}^{\frac{\pi }{3}} {{{\sec }^3}\theta d\theta - } \int_{\theta = 0}^{\frac{\pi }{3}} {\sec \theta d\theta } } \right]\\ \\ = 9\left[ {\frac{1}{2}\sec \theta \tan \theta + \frac{1}{2}Ln\left| {\sec \theta + \tan \theta } \right| - Ln\left| {\sec \theta + \tan \theta } \right|} \right]_0^{\frac{\pi }{3}} \end{array}\]

    \[\begin{array}{l} = 9\left[ {\frac{1}{2}\sec \theta \tan \theta - \frac{1}{2}Ln\left| {\sec \theta + \tan \theta } \right|} \right]_0^{\frac{\pi }{3}}\\ \\ = 9\left[ {\left( {\frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt 3 - \frac{1}{2}Ln\left| {2 + \sqrt 3 } \right|} \right) - \left( {0 - \frac{1}{2}Ln\left| 1 \right|} \right)} \right]\\ \\ = 9\left[ {\sqrt 3 - \frac{1}{2}Ln\left( {2 + \sqrt 3 } \right)} \right] \end{array}\]

برای محاسبه انتگرال فوق از رابطه بازگشتی زیر کمک گرفتیم:

\begin{array}{l} \int {{{\sec }^n}xdx = \frac{1}{{n - 1}}{{\sec }^{n - 2}}x\tan x + \frac{{n - 2}}{{n - 1}}} \int {{{\sec }^{n - 2}}xdx} \\ n = 3 \Rightarrow \int {{{\sec }^3}xdx = \frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}} \int {\sec xdx} \end{array}

تمرین: حاصل انتگرال‌های زیر را به روش تغییر متغیر بیابید.

  1. \int {\frac{{dx}}{{{{\left( {{x^2} + 9} \right)}^2}}}}
  2. \int {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}}
  3. \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 + 4x - {x^2}} }}}
  4. \int {\frac{{dx}}{{{e^x}\sqrt {{e^{2x}} - 9} }}}

نکته: برای محاسبه انتگرال توابعی که فقط بر حسب  \sin x  و  \cos x  باشند از تغییر متغیر  u = \tan \frac{x}{2}   استفاده می‌کنیم:

 

    \[\begin{array}{l} u = \tan \frac{x}{2} \Rightarrow du = \frac{1}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}\frac{x}{2}} \right)dx = \frac{1}{2}\left( {1 + {u^2}} \right)dx\\ \\ \Rightarrow dx = \frac{{2du}}{{1 + {u^2}}} \end{array}\]

    \[\begin{array}{l} \cos x = \frac{{1 - {{\tan }^2}\frac{x}{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{{1 - {u^2}}}{{1 + {u^2}}}\\ \\ {\rm{sin}}x = \frac{{2\tan \frac{x}{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{{2u}}{{1 + {u^2}}} \end{array}\]

نکته: اگر توان  \sin x  و  \cos x  زوج باشد می‌توان از تغییر متغیر  u = \tan x   نیز استفاده کرد.

مثال: حاصل انتگرال  \int {\frac{{dx}}{{\cos x + \sin x + 1}}}   را بیابید.

حل: تابع زیر انتگرال فقط بر حسب  \sin x  و  \cos x  است پس می‌توانیم از تغییر متغیر ذکر شده استفاده کنیم:

\begin{array}{l} \int {\frac{{dx}}{{\cos x + \sin x + 1}}} = \int {\frac{{\frac{{2du}}{{1 + {u^2}}}}}{{\frac{{1 - {u^2}}}{{1 + {u^2}}} + \frac{{2u}}{{1 + {u^2}}} + 1}}} = \int {\frac{{2du}}{{1 - {u^2} + 2u + 1 + {u^2}}}} \\ \\ = \int {\frac{{2du}}{{2u + 2}}} = \int {\frac{{du}}{{u + 1}}} = Ln\left| {u + 1} \right| + c = Ln\left| {\tan \frac{x}{2} + 1} \right| + c \end{array}

تمرین: حاصل انتگرال‌های زیر را به روش تغییر متغیر بیابید.

  1. \int {\frac{{\left( {\cos x + \sin x} \right)dx}}{{\sin 2x}}}  (راهنمایی:  \sin 2x = 2\sin x\cos x  )
  2. \int {\frac{{dx}}{{2\cos x + 3\sin x + 2}}}

نکته: برای محاسبه انتگرال توابعی که فقط بر حسب  \tan x  باشند از تغییر متغیر  u = \tan x   استفاده می‌کنیم:

    \[u = \tan x \Rightarrow du = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx = \left( {1 + {u^2}} \right)dx \Rightarrow dx = \frac{{du}}{{1 + {u^2}}}\]

مثال: حاصل انتگرال  \int {{{\tan }^2}xdx}   را بیابید.

حل: 

\begin{array}{l} \int {{{\tan }^2}xdx} = \int {{u^2}\frac{{du}}{{1 + {u^2}}}} = \int {\frac{{{u^2} + 1 - 1}}{{1 + {u^2}}}} du = \int {\left( {1 - \frac{1}{{1 + {u^2}}}} \right)} du\\ \\ = u - {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} u + c = \left. {\underline {\, {\tan x - x + c} \,}}\! \right| \end{array}

تمرین: حاصل انتگرال  \int {\tan xdx}   را به روش تغییر متغیر بیابید.


فیلم آموزش انتگرال‌گیری به روش جزءبه‌جزء را ببینید تا تسلط بیشتری بر این مبحث داشته باشید:


این فیلم بخشی از پکیج کامل آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه است که از طریق لینک زیر میتوانید تهیه کنید:

پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه

پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

 

انتگرال و کاربرد آن

انتگرالتغییر متغیرتغییر متغیر در انتگرالتغییرمتغیرروش تغییر متغیرروش تغییر متغیر در انتگرال

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

guest
6 دیدگاه ها
قدیمی ترین
جدیدترین بیشترین آرا
Inline Feedbacks
مشاهده همه دیدگاه ها