روش تجزیه کسر برای حل انتگرال

روش تجزیه کسر برای حل انتگرال:

برای محاسبه انتگرال‌های به فرم  \int {\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}dx}  که صورت و مخرج دو چند جمله‌ای بر حسب  x  باشند از روش تجزیه کسر استفاده می‌کنیم. این کسرها دو حالت کلی دارند:
حالت اول: درجه صورت بزرگتر یا مساوی درجه مخرج باشد
در این حالت ابتدا صورت را بر مخرج تقسیم کرده و سپس از عبارت بدست آمده به راحتی انتگرال می‌گیریم.

نکته:   

روش تجزیه کسر

مثال: حاصل انتگرال  \int {\frac{{2{x^2} + 3}}{{{x^2} - 4}}dx}  را به روش تجزیه کسر بیابید.

روش تجزیه کسر

\begin{array}{l} \frac{{2{x^2} + 3}}{{{x^2} - 4}} = 2 + \frac{{11}}{{{x^2} - 4}} \Rightarrow \int {\frac{{2{x^2} + 3}}{{{x^2} - 4}}dx} \\ \\ = \int {\left( {2 + \frac{{11}}{{{x^2} - 4}}} \right)dx} = 2x + \frac{{11}}{4}Ln\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right) + c \end{array}

 

تمرین: حاصل انتگرال  \int {\frac{{ - 3{x^2} + 2}}{{x + 9}}dx}  را به روش تجزیه کسر بیابید.


حالت دوم: درجه صورت کمتر از درجه مخرج باشد
در این حالت ابتدا مخرج را تا جای ممکن تجزیه می‌کنیم، سپس با توجه به نوع و توان عوامل ایجاد شده در مخرج که شامل ۴ حالت زیر می‌باشند مخرج را تجزیه و سپس انتگرال می‌گیریم.
۱: مخرج شامل عوامل درجه اول با توان ۱ مانند  \left( {x - {x_i}} \right) باشند:

    \[\frac{{P\left( x \right)}}{{\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)...}}\]

۲: مخرج شامل عوامل درجه اول با توان دلخواه مانند  {(x - {x_i})^n} باشند:

    \[\frac{{P\left( x \right)}}{{{{(x - {x_1})}^n}{{(x - {x_2})}^m}...}}\]

۳: مخرج شامل عوامل درجه دوم مانند  a{x^2} + bx + c  غیر قابل تجزیه  \left( {\Delta < 0} \right)  با توان ۱ باشند:

    \[\frac{{P\left( x \right)}}{{\left( {{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}} \right)\left( {{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}} \right)...}}\]

۴: مخرج شامل عوامل درجه دوم مانند  {(a{x^2} + bx + c)^n} غیر قابل تجزیه  \left( {\Delta < 0} \right)  با توان دلخواه باشند:

    \[\frac{{{A_1}x + {B_1}}}{{a{x^2} + bx + c}} + \frac{{{A_2}x + {B_2}}}{{{{(a{x^2} + bx + c)}^2}}} + ... + \frac{{{A_n}x + {B_n}}}{{{{(a{x^2} + bx + c)}^n}}}\]

برای تجزیه کسر این نوع کسرها در هر حالت، به روش زیر عمل می‌کنیم:

حالت ۱: کسر را به صورت حاصل جمع چند کسر با مخرج‌های جداگانه و صورت نامعلوم (مانند A ، B و…) می‌نویسیم (مثلاً  \frac{A}{{x - {x_1}}} + \frac{B}{{x - {x_2}}} + ... ) و سپس مخرج مشترک می‌گیریم. با مساوی قرار دادن عبارت به دست با عبارت اولیه، اعداد ثابت را یافته و انتگرال کسرهای جدید را محاسبه می‌کنیم.


مثال:

    \[\int {\frac{8}{{{x^2} - 4}}dx} \]

حل: ابتدا مخرج را تجزیه می‌کنیم:

    \[\frac{8}{{{x^2} - 4}} = \frac{8}{{(x - 2)(x + 2)}}\]

مخرج از نوع حالت ۱ است پس کسر را به صورت گفته شده بازنویسی می‌کنیم:

    \[\begin{array}{l} \frac{8}{{(x - 2)(x + 2)}} = \frac{A}{{(x - 2)}} + \frac{B}{{(x + 2)}}\\ \\ = \frac{{A(x + 2) + B(x - 2)}}{{(x - 2)(x + 2)}} = \frac{{Ax + 2A + Bx - 2B}}{{(x - 2)(x + 2)}}\\ \\ = \frac{{x(A + B) + (2A - 2B)}}{{(x - 2)(x + 2)}} \end{array}\]

حال دو عبارت سمت چپ و راست را با هم مساوی قرار می‌دهیم تا  A  و  B  را بیابیم:

\begin{array}{l} \frac{8}{{(x - 2)(x + 2)}} = \frac{{x(A + B) + (2A - 2B)}}{{(x - 2)(x + 2)}}\\ \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A + B = 0\\ 2A - 2B = 8 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A + B = 0\\ A - B = 4 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 2\\ B = - 2 \end{array} \right. \end{array}

    \[ \Rightarrow \frac{8}{{{x^2} - 4}} = \frac{2}{{(x - 2)}} + \frac{{ - 2}}{{(x + 2)}}\]

حال به جای  \frac{8}{{{x^2} - 4}} از معادل آن یعنی  \frac{2}{{(x - 2)}} + \frac{{ - 2}}{{(x + 2)}} انتگرال می‌گیریم:

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{8}{{{x^2} - 4}}dx} = \int {[\frac{2}{{(x - 2)}} + \frac{{ - 2}}{{(x + 2)}}]dx} \\ \\ = 2Ln\left| {x - 2} \right| - 2Ln\left| {x + 2} \right| + c = 2Ln\left| {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right| + c \end{array}\]

حالت ۲: مشابه حالت قبل، کسر را به صورت حاصل جمع چند کسر با مخرج‌های جداگانه و صورت نامعلوم (مانند A ، B و…) می‌نویسیم ولی کسرهایی که مخرج آن تواندار دارند را از توان ۱ تا توان مورد نظر می‌نویسیم (مثلاً  \frac{A}{{x - {x_1}}} + \frac{B}{{{{\left( {x - {x_1}} \right)}^2}}} + ... ) و سپس مخرج مشترک می‌گیریم. با مساوی قرار دادن عبارت به دست با عبارت اولیه، اعداد ثابت را یافته و انتگرال کسرهای جدید را محاسبه می‌کنیم.

مثال:

    \[\int {\frac{x}{{{x^2} - 4x + 4}}dx} \]

حل: ابتدا مخرج را تجزیه می‌کنیم:

    \[\frac{x}{{{x^2} - 4x + 4}} = \frac{x}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\]

مخرج از نوع حالت ۲ است پس کسر را به صورت گفته شده بازنویسی می‌کنیم:

    \[\begin{array}{l} \frac{x}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{A}{{x - 2}} + \frac{B}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ \\ = \frac{{A\left( {x - 2} \right) + B}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{Ax + ( - 2A + B)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} \end{array}\]

حال دو عبارت سمت چپ و راست را با هم مساوی قرار می‌دهیم تا A و B را بیابیم:

\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 1\\ - 2A + B = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 1\\ B = 2 \end{array} \right.

    \[ \Rightarrow \frac{x}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{1}{{x - 2}} + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\]

حال به جای  \frac{x}{{{x^2} - 4x + 4}} از معادل آن یعنی  \frac{1}{{x - 2}} + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} انتگرال می‌گیریم:

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{x}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}dx} \\ \\ = \int {[\frac{1}{{x - 2}} + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}]dx} \\ \\ = Ln\left| {x - 2} \right| + \int {2{{\left( {x - 2} \right)}^{ - 2}}dx} \\ \\ = Ln\left| {x - 2} \right| + 2\frac{{{{(x - 2)}^{ - 1}}}}{{ - 1}} + c\\ \\ = Ln\left| {x - 2} \right| - \frac{2}{{x - 2}} + c \end{array}\]

حالت ۳: مشابه حالت ۱، کسر را به صورت حاصل جمع چند کسر با مخرج‌های جداگانه و صورت نامعلوم ولی در این حالت از درجه ۱ (مانند  {A_1}x + {B_1} ،  {A_2}x + {B_2} و…) می‌نویسیم (مثلاً  \frac{{{A_1}x + {B_1}}}{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}} + \frac{{{A_2}x + {B_2}}}{{{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}}} + ... ) و سپس مخرج مشترک می‌گیریم. با مساوی قرار دادن عبارت به دست با عبارت اولیه، اعداد ثابت را یافته و انتگرال کسرهای جدید را محاسبه می‌کنیم.

مثال:

    \[\int {\frac{{5{x^2} + 8}}{{{x^4} + 5{x^2} + 4}}dx} \]

حل: ابتدا مخرج را تجزیه می‌کنیم:

    \[\frac{{5{x^2} + 8}}{{{x^4} + 5{x^2} + 4}} = \frac{{5{x^2} + 8}}{{({x^2} + 1)({x^2} + 4)}}\]

مخرج از نوع حالت ۳ است پس کسر را به صورت گفته شده بازنویسی می‌کنیم:

    \[\begin{array}{l} \frac{{5{x^2} + 8}}{{({x^2} + 1)({x^2} + 4)}} = \frac{{Ax + B}}{{{x^2} + 1}} + \frac{{Cx + D}}{{{x^2} + 4}}\\ \\ = \frac{{\left( {Ax + B} \right)\left( {{x^2} + 4} \right) + \left( {Cx + D} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{({x^2} + 1)({x^2} + 4)}} \end{array}\]

    \[ = \frac{{A{x^3} + 4Ax + B{x^2} + 4B + C{x^3} + Cx + D{x^2} + D}}{{({x^2} + 1)({x^2} + 4)}}\]

    \[ = \frac{{{x^3}(A + C) + {x^2}(B + D) + x(4A + C) + (4B + D)}}{{({x^2} + 1)({x^2} + 4)}}\]

\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A + C = 0\\ B + D = 5\\ 4A + C = 0\\ 4B + D = 8 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 0\\ C = 0\\ B = 1\\ D = 4 \end{array} \right.

    \[\frac{{5{x^2} + 8}}{{{x^4} + 5{x^2} + 4}} = \frac{1}{{{x^2} + 1}} + \frac{4}{{{x^2} + 4}}\]

حال به جای  \frac{{5{x^2} + 8}}{{{x^4} + 5{x^2} + 4}} از معادل آن یعنی  \frac{1}{{{x^2} + 1}} + \frac{4}{{{x^2} + 4}} انتگرال می‌گیریم:

    \[\begin{array}{l} \int {\frac{{5{x^2} + 8}}{{{x^4} + 5{x^2} + 4}}dx} = \int {[\frac{1}{{{x^2} + 1}} + \frac{4}{{{x^2} + 4}}]dx} \\ \\ = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x + 2{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} \left( {\frac{x}{2}} \right) + c \end{array}\]

حالت ۴: این حالت ترکیبی از حالات ۲ و۳ است، کسر را به صورت حاصل جمع چند کسر با مخرج‌های جداگانه و صورت نامعلوم از درجه ۱ (مانند  {A_1}x + {B_1} ،  {A_2}x + {B_2} و…) می‌نویسیم و مخرجهای توان‌دار را از توان ۱ تا توان مورد نظر می‌نویسیم (مثلاً  \frac{{{A_1}x + {B_1}}}{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}} + \frac{{{A_2}x + {B_2}}}{{{{\left( {{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}} \right)}^2}}} + ... ) و سپس مخرج مشترک می‌گیریم. با مساوی قرار دادن عبارت به دست با عبارت اولیه، اعداد ثابت را یافته و انتگرال کسرهای جدید را محاسبه می‌کنیم.

نکته: از این حالت به دلیل سخت بودن معمولاً کمتر سوال داده می‌شود!

مثال: انتگرال زیر را به روش تجزیه کسر محاسبه کنید.

    \[\int {\frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{x^4} + 2{x^2} + 1}}dx} \]

حل: ابتدا مخرج را تجزیه می‌کنیم:

    \[\frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{x^4} + 2{x^2} + 1}} = \frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\]

مخرج از نوع حالت ۴ است پس کسر را به صورت گفته شده بازنویسی می‌کنیم:

    \[\begin{array}{l} \frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{Ax + B}}{{{x^2} + 1}} + \frac{{Cx + D}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\\ \\ = \frac{{\left( {Ax + B} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) + Cx + D}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\\ \\ = \frac{{A{x^3} + Ax + B{x^2} + B + Cx + D}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \end{array}\]

    \[ = \frac{{A{x^3} + B{x^2} + x(A + C) + (B + D)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\]

\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 0\\ B = 4\\ A + C = 2\\ B + D = 4 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 0\\ B = 4\\ C = 2\\ D = 0 \end{array} \right.

    \[\frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{x^4} + 2{x^2} + 1}} = \frac{4}{{{x^2} + 1}} + \frac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\]

حال به جای  \frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{x^4} + 2{x^2} + 1}} از معادل آن یعنی  \frac{4}{{{x^2} + 1}} + \frac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} انتگرال می‌گیریم:

    \[\begin{array}{l} \int {\frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{x^4} + 2{x^2} + 1}}dx} = \int {[\frac{4}{{{x^2} + 1}} + \frac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}]dx} \overbrace {{\rm{ = }}}^{\scriptstyle{x^2} + 1 = z\hfill\atop \scriptstyle2xdx = dz\hfill}\\ \\ 4{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x + \int {\frac{{2dz}}{{{z^2}}}} = 4{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x + \int {2{z^{ - 2}}} dz\\ \\ = 4{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x + \frac{{2{z^{ - 1}}}}{{ - 1}} + c = 4{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x - \frac{2}{z} + c\\ \\ = 4{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x - \frac{2}{{{x^2} + 1}} + c \end{array}\]

نکته: برای حل انتگرال برخی کسرها ممکن است از ۲ حالت مختلف روش تجزیه کسر نیز استفاده کنیم. در این حالت، هر کسر را مطابق روش خود جایگذاری میکنیم.


مثال:

    \[\int {\frac{{x + 3}}{{{x^3} + x}}dx} \]

حل:

    \[\begin{array}{l} \frac{{x + 3}}{{{x^3} + x}} = \frac{{x + 3}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{{Bx + C}}{{{x^2} + 1}}\\ \\ = \frac{{A\left( {{x^2} + 1} \right) + \left( {Bx + C} \right)x}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{A{x^2} + A + B{x^2} + Cx}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\ \\ = \frac{{{x^2}\left( {A + B} \right) + Cx + A}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A + B = 0\\ C = 1\\ A = 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 3\\ B = - 3\\ C = 1 \end{array} \right. \end{array}\]

    \[ \Rightarrow \frac{{x + 3}}{{{x^3} + x}} = \frac{3}{x} + \frac{{ - 3x + 1}}{{{x^2} + 1}}\]

\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{{x + 3}}{{{x^3} + x}}dx} = \int {\left[ {\frac{3}{x} + \frac{{ - 3x + 1}}{{{x^2} + 1}}} \right]dx} \\ \\ = \int {\left[ {\frac{3}{x} - 3\frac{1}{{{x^2} + 1}} + \frac{1}{{{x^2} + 1}}} \right]dx} \\ \\ = 3Lnx - \frac{3}{2}Ln\left( {{x^2} + 1} \right) + {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x + c \end{array}

تمرین: حاصل انتگرال‌های زیر را بیابید.

    \[\begin{array}{l} 1)\int {\frac{{{x^3}}}{{1 + {x^2}}}dx} \\ \\ 2)\int {\frac{{{x^5} + 2}}{{{x^2} - 1}}dx} \\ \\ 3)\int {\frac{1}{{1 - {x^2}}}dx} \\ \\ 4)\int {\frac{1}{{{x^2} - 6x + 10}}dx} \\ \\ 5)\int {\frac{{{x^3}}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}dx} \\ \\ 6)\int {\frac{{8x + 9}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}}dx} \end{array}\]

 


آموزش تصویری این مبحث:


جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

انتگرال و کاربرد آن

انتگرالتجزیه کسرتجزیه کسرهاحل انتگرالروش تجزیه کسرروش تجزیه کسر برای حل انتگرالروش تجزیه کسرها

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

guest
23 دیدگاه ها
قدیمی ترین
جدیدترین بیشترین آرا
Inline Feedbacks
مشاهده همه دیدگاه ها