روش تجزیه کسر برای حل انتگرال

روش تجزیه کسر برای حل انتگرال:

برای محاسبه انتگرال‌های به فرم  \int {\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}dx}  که صورت و مخرج دو چند جمله‌ای بر حسب  x  باشند از روش تجزیه کسر استفاده می‌کنیم. این کسرها دو حالت کلی دارند:
حالت اول: درجه صورت بزرگتر یا مساوی درجه مخرج باشد
در این حالت ابتدا صورت را بر مخرج تقسیم کرده و سپس از عبارت بدست آمده به راحتی انتگرال می‌گیریم.

نکته:   

روش تجزیه کسر

مثال: حاصل انتگرال  \int {\frac{{2{x^2} + 3}}{{{x^2} - 4}}dx}  را به روش تجزیه کسر بیابید.

روش تجزیه کسر

\begin{array}{l} \frac{{2{x^2} + 3}}{{{x^2} - 4}} = 2 + \frac{{11}}{{{x^2} - 4}} \Rightarrow \int {\frac{{2{x^2} + 3}}{{{x^2} - 4}}dx} \\ \\ = \int {\left( {2 + \frac{{11}}{{{x^2} - 4}}} \right)dx} = 2x + \frac{{11}}{4}Ln\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right) + c \end{array}

 

تمرین: حاصل انتگرال  \int {\frac{{ - 3{x^2} + 2}}{{x + 9}}dx}  را به روش تجزیه کسر بیابید.


حالت دوم: درجه صورت کمتر از درجه مخرج باشد
در این حالت ابتدا مخرج را تا جای ممکن تجزیه می‌کنیم، سپس با توجه به نوع و توان عوامل ایجاد شده در مخرج که شامل ۴ حالت زیر می‌باشند مخرج را تجزیه و سپس انتگرال می‌گیریم.
۱: مخرج شامل عوامل درجه اول با توان ۱ مانند  \left( {x - {x_i}} \right) باشند:

    \[\frac{{P\left( x \right)}}{{\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)...}}\]

۲: مخرج شامل عوامل درجه اول با توان دلخواه مانند  {(x - {x_i})^n} باشند:

    \[\frac{{P\left( x \right)}}{{{{(x - {x_1})}^n}{{(x - {x_2})}^m}...}}\]

۳: مخرج شامل عوامل درجه دوم مانند  a{x^2} + bx + c  غیر قابل تجزیه  \left( {\Delta < 0} \right)  با توان ۱ باشند:

    \[\frac{{P\left( x \right)}}{{\left( {{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}} \right)\left( {{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}} \right)...}}\]

۴: مخرج شامل عوامل درجه دوم مانند  {(a{x^2} + bx + c)^n} غیر قابل تجزیه  \left( {\Delta < 0} \right)  با توان دلخواه باشند:

    \[\frac{{{A_1}x + {B_1}}}{{a{x^2} + bx + c}} + \frac{{{A_2}x + {B_2}}}{{{{(a{x^2} + bx + c)}^2}}} + ... + \frac{{{A_n}x + {B_n}}}{{{{(a{x^2} + bx + c)}^n}}}\]

برای تجزیه کسر این نوع کسرها در هر حالت، به روش زیر عمل می‌کنیم:

حالت ۱: کسر را به صورت حاصل جمع چند کسر با مخرج‌های جداگانه و صورت نامعلوم (مانند A ، B و…) می‌نویسیم (مثلاً  \frac{A}{{x - {x_1}}} + \frac{B}{{x - {x_2}}} + ... ) و سپس مخرج مشترک می‌گیریم. با مساوی قرار دادن عبارت به دست با عبارت اولیه، اعداد ثابت را یافته و انتگرال کسرهای جدید را محاسبه می‌کنیم.


مثال:

    \[\int {\frac{8}{{{x^2} - 4}}dx} \]

حل: ابتدا مخرج را تجزیه می‌کنیم:

    \[\frac{8}{{{x^2} - 4}} = \frac{8}{{(x - 2)(x + 2)}}\]

مخرج از نوع حالت ۱ است پس کسر را به صورت گفته شده بازنویسی می‌کنیم:

    \[\begin{array}{l} \frac{8}{{(x - 2)(x + 2)}} = \frac{A}{{(x - 2)}} + \frac{B}{{(x + 2)}}\\ \\ = \frac{{A(x + 2) + B(x - 2)}}{{(x - 2)(x + 2)}} = \frac{{Ax + 2A + Bx - 2B}}{{(x - 2)(x + 2)}}\\ \\ = \frac{{x(A + B) + (2A - 2B)}}{{(x - 2)(x + 2)}} \end{array}\]

حال دو عبارت سمت چپ و راست را با هم مساوی قرار می‌دهیم تا  A  و  B  را بیابیم:

\begin{array}{l} \frac{8}{{(x - 2)(x + 2)}} = \frac{{x(A + B) + (2A - 2B)}}{{(x - 2)(x + 2)}}\\ \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A + B = 0\\ 2A - 2B = 8 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A + B = 0\\ A - B = 4 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 2\\ B = - 2 \end{array} \right. \end{array}

    \[ \Rightarrow \frac{8}{{{x^2} - 4}} = \frac{2}{{(x - 2)}} + \frac{{ - 2}}{{(x + 2)}}\]

حال به جای  \frac{8}{{{x^2} - 4}} از معادل آن یعنی  \frac{2}{{(x - 2)}} + \frac{{ - 2}}{{(x + 2)}} انتگرال می‌گیریم:

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{8}{{{x^2} - 4}}dx} = \int {[\frac{2}{{(x - 2)}} + \frac{{ - 2}}{{(x + 2)}}]dx} \\ \\ = 2Ln\left| {x - 2} \right| - 2Ln\left| {x + 2} \right| + c = 2Ln\left| {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right| + c \end{array}\]

حالت ۲: مشابه حالت قبل، کسر را به صورت حاصل جمع چند کسر با مخرج‌های جداگانه و صورت نامعلوم (مانند A ، B و…) می‌نویسیم ولی کسرهایی که مخرج آن تواندار دارند را از توان ۱ تا توان مورد نظر می‌نویسیم (مثلاً  \frac{A}{{x - {x_1}}} + \frac{B}{{{{\left( {x - {x_1}} \right)}^2}}} + ... ) و سپس مخرج مشترک می‌گیریم. با مساوی قرار دادن عبارت به دست با عبارت اولیه، اعداد ثابت را یافته و انتگرال کسرهای جدید را محاسبه می‌کنیم.

مثال:

    \[\int {\frac{x}{{{x^2} - 4x + 4}}dx} \]

حل: ابتدا مخرج را تجزیه می‌کنیم:

    \[\frac{x}{{{x^2} - 4x + 4}} = \frac{x}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\]

مخرج از نوع حالت ۲ است پس کسر را به صورت گفته شده بازنویسی می‌کنیم:

    \[\begin{array}{l} \frac{x}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{A}{{x - 2}} + \frac{B}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ \\ = \frac{{A\left( {x - 2} \right) + B}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{Ax + ( - 2A + B)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} \end{array}\]

حال دو عبارت سمت چپ و راست را با هم مساوی قرار می‌دهیم تا A و B را بیابیم:

\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 1\\ - 2A + B = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 1\\ B = 2 \end{array} \right.

    \[ \Rightarrow \frac{x}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{1}{{x - 2}} + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\]

حال به جای  \frac{x}{{{x^2} - 4x + 4}} از معادل آن یعنی  \frac{1}{{x - 2}} + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} انتگرال می‌گیریم:

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{x}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}dx} \\ \\ = \int {[\frac{1}{{x - 2}} + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}]dx} \\ \\ = Ln\left| {x - 2} \right| + \int {2{{\left( {x - 2} \right)}^{ - 2}}dx} \\ \\ = Ln\left| {x - 2} \right| + 2\frac{{{{(x - 2)}^{ - 1}}}}{{ - 1}} + c\\ \\ = Ln\left| {x - 2} \right| - \frac{2}{{x - 2}} + c \end{array}\]

حالت ۳: مشابه حالت ۱، کسر را به صورت حاصل جمع چند کسر با مخرج‌های جداگانه و صورت نامعلوم ولی در این حالت از درجه ۱ (مانند  {A_1}x + {B_1} ،  {A_2}x + {B_2} و…) می‌نویسیم (مثلاً  \frac{{{A_1}x + {B_1}}}{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}} + \frac{{{A_2}x + {B_2}}}{{{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}}} + ... ) و سپس مخرج مشترک می‌گیریم. با مساوی قرار دادن عبارت به دست با عبارت اولیه، اعداد ثابت را یافته و انتگرال کسرهای جدید را محاسبه می‌کنیم.

مثال:

    \[\int {\frac{{5{x^2} + 8}}{{{x^4} + 5{x^2} + 4}}dx} \]

حل: ابتدا مخرج را تجزیه می‌کنیم:

    \[\frac{{5{x^2} + 8}}{{{x^4} + 5{x^2} + 4}} = \frac{{5{x^2} + 8}}{{({x^2} + 1)({x^2} + 4)}}\]

مخرج از نوع حالت ۳ است پس کسر را به صورت گفته شده بازنویسی می‌کنیم:

    \[\begin{array}{l} \frac{{5{x^2} + 8}}{{({x^2} + 1)({x^2} + 4)}} = \frac{{Ax + B}}{{{x^2} + 1}} + \frac{{Cx + D}}{{{x^2} + 4}}\\ \\ = \frac{{\left( {Ax + B} \right)\left( {{x^2} + 4} \right) + \left( {Cx + D} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{({x^2} + 1)({x^2} + 4)}} \end{array}\]

    \[ = \frac{{A{x^3} + 4Ax + B{x^2} + 4B + C{x^3} + Cx + D{x^2} + D}}{{({x^2} + 1)({x^2} + 4)}}\]

    \[ = \frac{{{x^3}(A + C) + {x^2}(B + D) + x(4A + C) + (4B + D)}}{{({x^2} + 1)({x^2} + 4)}}\]

\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A + C = 0\\ B + D = 5\\ 4A + C = 0\\ 4B + D = 8 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 0\\ C = 0\\ B = 1\\ D = 4 \end{array} \right.

    \[\frac{{5{x^2} + 8}}{{{x^4} + 5{x^2} + 4}} = \frac{1}{{{x^2} + 1}} + \frac{4}{{{x^2} + 4}}\]

حال به جای  \frac{{5{x^2} + 8}}{{{x^4} + 5{x^2} + 4}} از معادل آن یعنی  \frac{1}{{{x^2} + 1}} + \frac{4}{{{x^2} + 4}} انتگرال می‌گیریم:

    \[\begin{array}{l} \int {\frac{{5{x^2} + 8}}{{{x^4} + 5{x^2} + 4}}dx} = \int {[\frac{1}{{{x^2} + 1}} + \frac{4}{{{x^2} + 4}}]dx} \\ \\ = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x + 2{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} \left( {\frac{x}{2}} \right) + c \end{array}\]

حالت ۴: این حالت ترکیبی از حالات ۲ و۳ است، کسر را به صورت حاصل جمع چند کسر با مخرج‌های جداگانه و صورت نامعلوم از درجه ۱ (مانند  {A_1}x + {B_1} ،  {A_2}x + {B_2} و…) می‌نویسیم و مخرجهای توان‌دار را از توان ۱ تا توان مورد نظر می‌نویسیم (مثلاً  \frac{{{A_1}x + {B_1}}}{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}} + \frac{{{A_2}x + {B_2}}}{{{{\left( {{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}} \right)}^2}}} + ... ) و سپس مخرج مشترک می‌گیریم. با مساوی قرار دادن عبارت به دست با عبارت اولیه، اعداد ثابت را یافته و انتگرال کسرهای جدید را محاسبه می‌کنیم.

نکته: از این حالت به دلیل سخت بودن معمولاً کمتر سوال داده می‌شود!

مثال: انتگرال زیر را به روش تجزیه کسر محاسبه کنید.

    \[\int {\frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{x^4} + 2{x^2} + 1}}dx} \]

حل: ابتدا مخرج را تجزیه می‌کنیم:

    \[\frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{x^4} + 2{x^2} + 1}} = \frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\]

مخرج از نوع حالت ۴ است پس کسر را به صورت گفته شده بازنویسی می‌کنیم:

    \[\begin{array}{l} \frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{Ax + B}}{{{x^2} + 1}} + \frac{{Cx + D}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\\ \\ = \frac{{\left( {Ax + B} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) + Cx + D}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\\ \\ = \frac{{A{x^3} + Ax + B{x^2} + B + Cx + D}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \end{array}\]

    \[ = \frac{{A{x^3} + B{x^2} + x(A + C) + (B + D)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\]

\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 0\\ B = 4\\ A + C = 2\\ B + D = 4 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 0\\ B = 4\\ C = 2\\ D = 0 \end{array} \right.

    \[\frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{x^4} + 2{x^2} + 1}} = \frac{4}{{{x^2} + 1}} + \frac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\]

حال به جای  \frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{x^4} + 2{x^2} + 1}} از معادل آن یعنی  \frac{4}{{{x^2} + 1}} + \frac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} انتگرال می‌گیریم:

    \[\begin{array}{l} \int {\frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{x^4} + 2{x^2} + 1}}dx} = \int {[\frac{4}{{{x^2} + 1}} + \frac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}]dx} \overbrace {{\rm{ = }}}^{\scriptstyle{x^2} + 1 = z\hfill\atop \scriptstyle2xdx = dz\hfill}\\ \\ 4{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x + \int {\frac{{2dz}}{{{z^2}}}} = 4{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x + \int {2{z^{ - 2}}} dz\\ \\ = 4{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x + \frac{{2{z^{ - 1}}}}{{ - 1}} + c = 4{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x - \frac{2}{z} + c\\ \\ = 4{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x - \frac{2}{{{x^2} + 1}} + c \end{array}\]

نکته: برای حل انتگرال برخی کسرها ممکن است از ۲ حالت مختلف روش تجزیه کسر نیز استفاده کنیم. در این حالت، هر کسر را مطابق روش خود جایگذاری میکنیم.


مثال:

    \[\int {\frac{{x + 3}}{{{x^3} + x}}dx} \]

حل:

    \[\begin{array}{l} \frac{{x + 3}}{{{x^3} + x}} = \frac{{x + 3}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{{Bx + C}}{{{x^2} + 1}}\\ \\ = \frac{{A\left( {{x^2} + 1} \right) + \left( {Bx + C} \right)x}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{A{x^2} + A + B{x^2} + Cx}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\ \\ = \frac{{{x^2}\left( {A + B} \right) + Cx + A}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A + B = 0\\ C = 1\\ A = 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 3\\ B = - 3\\ C = 1 \end{array} \right. \end{array}\]

    \[ \Rightarrow \frac{{x + 3}}{{{x^3} + x}} = \frac{3}{x} + \frac{{ - 3x + 1}}{{{x^2} + 1}}\]

\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{{x + 3}}{{{x^3} + x}}dx} = \int {\left[ {\frac{3}{x} + \frac{{ - 3x + 1}}{{{x^2} + 1}}} \right]dx} \\ \\ = \int {\left[ {\frac{3}{x} - 3\frac{1}{{{x^2} + 1}} + \frac{1}{{{x^2} + 1}}} \right]dx} \\ \\ = 3Lnx - \frac{3}{2}Ln\left( {{x^2} + 1} \right) + {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x + c \end{array}

تمرین: حاصل انتگرال‌های زیر را بیابید.

    \[\begin{array}{l} 1)\int {\frac{{{x^3}}}{{1 + {x^2}}}dx} \\ \\ 2)\int {\frac{{{x^5} + 2}}{{{x^2} - 1}}dx} \\ \\ 3)\int {\frac{1}{{1 - {x^2}}}dx} \\ \\ 4)\int {\frac{1}{{{x^2} - 6x + 10}}dx} \\ \\ 5)\int {\frac{{{x^3}}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}dx} \\ \\ 6)\int {\frac{{8x + 9}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}}dx} \end{array}\]

 


آموزش تصویری این مبحث:


جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

انتگرال و کاربرد آن

انتگرالتجزیه کسرتجزیه کسرهاحل انتگرالروش تجزیه کسرروش تجزیه کسر برای حل انتگرالروش تجزیه کسرها

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

23 دیدگاه

  • با سلام و تشکر از شما و توضیحات جامع و خوبی که ارایه دادید
    هرچند کسی قدردان نیست اما امیدوارم روزی نتیچه زحمات خود را ببینید

    • سلام
      دنیا پژواک کارهای ماست. قطعاً نتیجه خوبی کردن و کمک به مردم چیزی جز خوبی دیدن در زندگی نیست.
      تشکر شما یک دنیا ارزش داره.
      امیدوارم همواره موفق و پیروز باشید.

        • سلام. سلامت باشید.
          اگه جواب سوالاتتون کوتاه باشه تماس بگیرید.
          اگه هم که نیاز به کلاس رفع اشکال داشتید من در خدمتم 09123872834

      • سلام
        خیلی ممنونم بابت آموزش تجزیه کسرهاتون واقعا عالی بود و تمام حالاتی که پیش میاد رو با یک مثال ساده گفته بودید.
        خوشحال میشم که اگه جزوه آموزشی مفیدی دارید با من به اشتراک بگذارید.

        • سلام
          خوشحالم که آموزش های ما کمکتون کرده. آموزش کامل این مباحث و کل مباحث ریاضی عمومی ۱ دانشگاه به صورت تصویری آماده شده و در سایت قرار گرفته.
          شما میتونید از طریق لینک زیر این پکیج آموزشی ارزشمند رو تهیه کنید:
          پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه
          موفق باشید

      • سلام استاد گرامی، از همکاری های بشر دوستانه شما نهایت سپاس را دارم
        امید که شاد و سر فراز باشید.
        ممنون از شما

  • سلام
    اگه میشه قسمتی که گفتید قست چپ و راستا را مساوی هم قرار میدهیما بیشتر توضیح بدید؟

    • سلام
      درود بر شما
      وقتی کسر اولیه (کسر داخل انتگرال که مخرج آن را تجزیه کرده‌ایم) را با عبارت نهایی شامل A و ‌‌B و … که از آن مخرج مشترک گرفته‌ایم مساوی قرار دهیم، مخرج‌ها مساوی هستند پس صور‌تها نیز باید مساوی باشند که با مساوی قرار دادن ضرایب مشابه میتوان ضرایب نامعین را یافت.

  • عالی بود. من دانشجوی ارشدم و کانتینیوم مکانیک کار میکنم. تجزیه کسر ها رو تا حدی فراموش کرده بودم ولی به لطف سایت خوبتون برام یاداوری شد. متشکرم

  • خیلی ممنون آقای مهندس اما ای کاش روش کوتاهشو که انتگرال میگرفتیم در تابع ضرب میکردیم و ریشه عامل رو جاگذاری میکردیم رو هم توضیح میدادین

    • سلام
      خواهش می‌کنم.
      روش مدنظر شما فقط در حالات خاص قابل استفاده است و برخی مواقع نمیشه از اون استفاده کرد. برای طولانی نشدن و ساده ماندن این مبحث، ترجیح دادم از توضیحش صرفنظر کنم.

  • سلام، ممنونم از مطالبتون. من مبحث دیفرانسیل و انتگرال رو خیلی دوست دارم. فکر نکنم که توی دانشگاه بالاتر از حد دبیرستان به من درس بدن (چون میخوام معماری بخونم). مطالبتون ساده و گیرا است و باعث میشه که مطلبو بفهمم و این خیلی من رو خوشحال می کنه :)))))

  • سلام و عرض خسته نباشید
    مطالب خیلی خوبی دارید ممنون

  • سلام خسته نباشید
    ببخشید میشه پیدا کردن ضرایب نامعین رو بیشتر توضیح بدید؟

  • تشکر فراوان بابت توضیحات کامل و جامع جنابعالی عاقبت بخیر بشی

  • سلام اگر کسر بصورت U^2/(U^2-2)^2باشد چطوری تجزیه میشود؟ چون ریشه مخرج گنگ میشود
    تشگر

    • سلام
      مخرج به صورت زیر تجزیه می‌شود و گنگ بودن ریشه‌های مخرج، تفاوتی در روش تجزیه ایجاد نمی‌کند:

          \[{\left( {{u^2} - 2} \right)^2} = {\left( {u - \sqrt 2 } \right)^2}{\left( {u + \sqrt 2 } \right)^2}\]

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *