ورود - عضویت
تلفن:09123872834ایمیل:info[at]masirefarda.com
 
 
وبلاگ ریاضی عمومی ۱ دانشگاه انتگرال و کاربرد آن تجزیه کسر - روشی برای حل انتگرال (با مثال + فیلم + دانلود pdf)
روش تجزیه کسر برای حل انتگرال

روش تجزیه کسر برای حل انتگرال:

برای محاسبه انتگرال‌های به فرم  \int {\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}dx}  که صورت و مخرج دو چند جمله‌ای بر حسب  x  باشند از روش تجزیه کسر استفاده می‌کنیم. این کسرها دو حالت کلی دارند:
حالت اول: درجه صورت بزرگتر یا مساوی درجه مخرج باشد
در این حالت ابتدا صورت را بر مخرج تقسیم کرده و سپس از عبارت بدست آمده به راحتی انتگرال می‌گیریم.

نکته:   

روش تجزیه کسر

مثال: حاصل انتگرال  \int {\frac{{2{x^2} + 3}}{{{x^2} - 4}}dx}  را به روش تجزیه کسر بیابید.

روش تجزیه کسر

\begin{array}{l} \frac{{2{x^2} + 3}}{{{x^2} - 4}} = 2 + \frac{{11}}{{{x^2} - 4}} \Rightarrow \int {\frac{{2{x^2} + 3}}{{{x^2} - 4}}dx} \\ \\ = \int {\left( {2 + \frac{{11}}{{{x^2} - 4}}} \right)dx} = 2x + \frac{{11}}{4}Ln\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right) + c \end{array}

 

تمرین: حاصل انتگرال  \int {\frac{{ - 3{x^2} + 2}}{{x + 9}}dx}  را به روش تجزیه کسر بیابید.

حالت دوم: درجه صورت کمتر از درجه مخرج باشد
در این حالت ابتدا مخرج را تا جای ممکن تجزیه می‌کنیم، سپس با توجه به نوع و توان عوامل ایجاد شده در مخرج که شامل ۴ حالت زیر می‌باشند مخرج را تجزیه و سپس انتگرال می‌گیریم.
۱: مخرج شامل عوامل درجه اول با توان ۱ مانند  \left( {x - {x_i}} \right) باشند:

    \[\frac{{P\left( x \right)}}{{\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)...}}\]

۲: مخرج شامل عوامل درجه اول با توان دلخواه مانند  {(x - {x_i})^n} باشند:

    \[\frac{{P\left( x \right)}}{{{{(x - {x_1})}^n}{{(x - {x_2})}^m}...}}\]

۳: مخرج شامل عوامل درجه دوم مانند  a{x^2} + bx + c  غیر قابل تجزیه  \left( {\Delta < 0} \right)  با توان ۱ باشند:

    \[\frac{{P\left( x \right)}}{{\left( {{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}} \right)\left( {{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}} \right)...}}\]

۴: مخرج شامل عوامل درجه دوم مانند  {(a{x^2} + bx + c)^n} غیر قابل تجزیه  \left( {\Delta < 0} \right)  با توان دلخواه باشند:

    \[\frac{{{A_1}x + {B_1}}}{{a{x^2} + bx + c}} + \frac{{{A_2}x + {B_2}}}{{{{(a{x^2} + bx + c)}^2}}} + ... + \frac{{{A_n}x + {B_n}}}{{{{(a{x^2} + bx + c)}^n}}}\]

برای تجزیه کسر این نوع کسرها در هر حالت، به روش زیر عمل می‌کنیم:

حالت ۱: کسر را به صورت حاصل جمع چند کسر با مخرج‌های جداگانه و صورت نامعلوم (مانند A ، B و…) می‌نویسیم (مثلاً  \frac{A}{{x - {x_1}}} + \frac{B}{{x - {x_2}}} + ... ) و سپس مخرج مشترک می‌گیریم. با مساوی قرار دادن عبارت به دست با عبارت اولیه، اعداد ثابت را یافته و انتگرال کسرهای جدید را محاسبه می‌کنیم.


مثال:

    \[\int {\frac{8}{{{x^2} - 4}}dx} \]

حل: ابتدا مخرج را تجزیه می‌کنیم:

    \[\frac{8}{{{x^2} - 4}} = \frac{8}{{(x - 2)(x + 2)}}\]

مخرج از نوع حالت ۱ است پس کسر را به صورت گفته شده بازنویسی می‌کنیم:

    \[\begin{array}{l} \frac{8}{{(x - 2)(x + 2)}} = \frac{A}{{(x - 2)}} + \frac{B}{{(x + 2)}}\\ \\ = \frac{{A(x + 2) + B(x - 2)}}{{(x - 2)(x + 2)}} = \frac{{Ax + 2A + Bx - 2B}}{{(x - 2)(x + 2)}}\\ \\ = \frac{{x(A + B) + (2A - 2B)}}{{(x - 2)(x + 2)}} \end{array}\]

حال دو عبارت سمت چپ و راست را با هم مساوی قرار می‌دهیم تا  A  و  B  را بیابیم:

\begin{array}{l} \frac{8}{{(x - 2)(x + 2)}} = \frac{{x(A + B) + (2A - 2B)}}{{(x - 2)(x + 2)}}\\ \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A + B = 0\\ 2A - 2B = 8 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A + B = 0\\ A - B = 4 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 2\\ B = - 2 \end{array} \right. \end{array}

    \[ \Rightarrow \frac{8}{{{x^2} - 4}} = \frac{2}{{(x - 2)}} + \frac{{ - 2}}{{(x + 2)}}\]

حال به جای  \frac{8}{{{x^2} - 4}} از معادل آن یعنی  \frac{2}{{(x - 2)}} + \frac{{ - 2}}{{(x + 2)}} انتگرال می‌گیریم:

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{8}{{{x^2} - 4}}dx} = \int {[\frac{2}{{(x - 2)}} + \frac{{ - 2}}{{(x + 2)}}]dx} \\ \\ = 2Ln\left| {x - 2} \right| - 2Ln\left| {x + 2} \right| + c = 2Ln\left| {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right| + c \end{array}\]

حالت ۲: مشابه حالت قبل، کسر را به صورت حاصل جمع چند کسر با مخرج‌های جداگانه و صورت نامعلوم (مانند A ، B و…) می‌نویسیم ولی کسرهایی که مخرج آن تواندار دارند را از توان ۱ تا توان مورد نظر می‌نویسیم (مثلاً  \frac{A}{{x - {x_1}}} + \frac{B}{{{{\left( {x - {x_1}} \right)}^2}}} + ... ) و سپس مخرج مشترک می‌گیریم. با مساوی قرار دادن عبارت به دست با عبارت اولیه، اعداد ثابت را یافته و انتگرال کسرهای جدید را محاسبه می‌کنیم.

مثال:

    \[\int {\frac{x}{{{x^2} - 4x + 4}}dx} \]

حل: ابتدا مخرج را تجزیه می‌کنیم:

    \[\frac{x}{{{x^2} - 4x + 4}} = \frac{x}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\]

مخرج از نوع حالت ۲ است پس کسر را به صورت گفته شده بازنویسی می‌کنیم:

    \[\begin{array}{l} \frac{x}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{A}{{x - 2}} + \frac{B}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ \\ = \frac{{A\left( {x - 2} \right) + B}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{Ax + ( - 2A + B)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} \end{array}\]

حال دو عبارت سمت چپ و راست را با هم مساوی قرار می‌دهیم تا A و B را بیابیم:

\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 1\\ - 2A + B = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 1\\ B = 2 \end{array} \right.

    \[ \Rightarrow \frac{x}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{1}{{x - 2}} + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\]

حال به جای  \frac{x}{{{x^2} - 4x + 4}} از معادل آن یعنی  \frac{1}{{x - 2}} + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} انتگرال می‌گیریم:

    \[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{x}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}dx} \\ \\ = \int {[\frac{1}{{x - 2}} + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}]dx} \\ \\ = Ln\left| {x - 2} \right| + \int {2{{\left( {x - 2} \right)}^{ - 2}}dx} \\ \\ = Ln\left| {x - 2} \right| + 2\frac{{{{(x - 2)}^{ - 1}}}}{{ - 1}} + c\\ \\ = Ln\left| {x - 2} \right| - \frac{2}{{x - 2}} + c \end{array}\]

حالت ۳: مشابه حالت ۱، کسر را به صورت حاصل جمع چند کسر با مخرج‌های جداگانه و صورت نامعلوم ولی در این حالت از درجه ۱ (مانند  {A_1}x + {B_1} ،  {A_2}x + {B_2} و…) می‌نویسیم (مثلاً  \frac{{{A_1}x + {B_1}}}{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}} + \frac{{{A_2}x + {B_2}}}{{{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}}} + ... ) و سپس مخرج مشترک می‌گیریم. با مساوی قرار دادن عبارت به دست با عبارت اولیه، اعداد ثابت را یافته و انتگرال کسرهای جدید را محاسبه می‌کنیم.

مثال:

    \[\int {\frac{{5{x^2} + 8}}{{{x^4} + 5{x^2} + 4}}dx} \]

حل: ابتدا مخرج را تجزیه می‌کنیم:

    \[\frac{{5{x^2} + 8}}{{{x^4} + 5{x^2} + 4}} = \frac{{5{x^2} + 8}}{{({x^2} + 1)({x^2} + 4)}}\]

مخرج از نوع حالت ۳ است پس کسر را به صورت گفته شده بازنویسی می‌کنیم:

    \[\begin{array}{l} \frac{{5{x^2} + 8}}{{({x^2} + 1)({x^2} + 4)}} = \frac{{Ax + B}}{{{x^2} + 1}} + \frac{{Cx + D}}{{{x^2} + 4}}\\ \\ = \frac{{\left( {Ax + B} \right)\left( {{x^2} + 4} \right) + \left( {Cx + D} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{({x^2} + 1)({x^2} + 4)}} \end{array}\]

    \[ = \frac{{A{x^3} + 4Ax + B{x^2} + 4B + C{x^3} + Cx + D{x^2} + D}}{{({x^2} + 1)({x^2} + 4)}}\]

    \[ = \frac{{{x^3}(A + C) + {x^2}(B + D) + x(4A + C) + (4B + D)}}{{({x^2} + 1)({x^2} + 4)}}\]

\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A + C = 0\\ B + D = 5\\ 4A + C = 0\\ 4B + D = 8 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 0\\ C = 0\\ B = 1\\ D = 4 \end{array} \right.

    \[\frac{{5{x^2} + 8}}{{{x^4} + 5{x^2} + 4}} = \frac{1}{{{x^2} + 1}} + \frac{4}{{{x^2} + 4}}\]

حال به جای  \frac{{5{x^2} + 8}}{{{x^4} + 5{x^2} + 4}} از معادل آن یعنی  \frac{1}{{{x^2} + 1}} + \frac{4}{{{x^2} + 4}} انتگرال می‌گیریم:

    \[\begin{array}{l} \int {\frac{{5{x^2} + 8}}{{{x^4} + 5{x^2} + 4}}dx} = \int {[\frac{1}{{{x^2} + 1}} + \frac{4}{{{x^2} + 4}}]dx} \\ \\ = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x + 2{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} \left( {\frac{x}{2}} \right) + c \end{array}\]

حالت ۴: این حالت ترکیبی از حالات ۲ و۳ است، کسر را به صورت حاصل جمع چند کسر با مخرج‌های جداگانه و صورت نامعلوم از درجه ۱ (مانند  {A_1}x + {B_1} ،  {A_2}x + {B_2} و…) می‌نویسیم و مخرجهای توان‌دار را از توان ۱ تا توان مورد نظر می‌نویسیم (مثلاً  \frac{{{A_1}x + {B_1}}}{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}} + \frac{{{A_2}x + {B_2}}}{{{{\left( {{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}} \right)}^2}}} + ... ) و سپس مخرج مشترک می‌گیریم. با مساوی قرار دادن عبارت به دست با عبارت اولیه، اعداد ثابت را یافته و انتگرال کسرهای جدید را محاسبه می‌کنیم.

نکته: از این حالت به دلیل سخت بودن معمولاً کمتر سوال داده می‌شود!

مثال: انتگرال زیر را به روش تجزیه کسر محاسبه کنید.

    \[\int {\frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{x^4} + 2{x^2} + 1}}dx} \]

حل: ابتدا مخرج را تجزیه می‌کنیم:

    \[\frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{x^4} + 2{x^2} + 1}} = \frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\]

مخرج از نوع حالت ۴ است پس کسر را به صورت گفته شده بازنویسی می‌کنیم:

    \[\begin{array}{l} \frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{Ax + B}}{{{x^2} + 1}} + \frac{{Cx + D}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\\ \\ = \frac{{\left( {Ax + B} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) + Cx + D}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\\ \\ = \frac{{A{x^3} + Ax + B{x^2} + B + Cx + D}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \end{array}\]

    \[ = \frac{{A{x^3} + B{x^2} + x(A + C) + (B + D)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\]

\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 0\\ B = 4\\ A + C = 2\\ B + D = 4 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 0\\ B = 4\\ C = 2\\ D = 0 \end{array} \right.

    \[\frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{x^4} + 2{x^2} + 1}} = \frac{4}{{{x^2} + 1}} + \frac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\]

حال به جای  \frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{x^4} + 2{x^2} + 1}} از معادل آن یعنی  \frac{4}{{{x^2} + 1}} + \frac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} انتگرال می‌گیریم:

    \[\begin{array}{l} \int {\frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{x^4} + 2{x^2} + 1}}dx} = \int {[\frac{4}{{{x^2} + 1}} + \frac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}]dx} \overbrace {{\rm{ = }}}^{\scriptstyle{x^2} + 1 = z\hfill\atop \scriptstyle2xdx = dz\hfill}\\ \\ 4{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x + \int {\frac{{2dz}}{{{z^2}}}} = 4{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x + \int {2{z^{ - 2}}} dz\\ \\ = 4{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x + \frac{{2{z^{ - 1}}}}{{ - 1}} + c = 4{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x - \frac{2}{z} + c\\ \\ = 4{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x - \frac{2}{{{x^2} + 1}} + c \end{array}\]

نکته: برای حل انتگرال برخی کسرها ممکن است از ۲ حالت مختلف روش تجزیه کسر نیز استفاده کنیم. در این حالت، هر کسر را مطابق روش خود جایگذاری میکنیم.


مثال:

    \[\int {\frac{{x + 3}}{{{x^3} + x}}dx} \]

حل:

    \[\begin{array}{l} \frac{{x + 3}}{{{x^3} + x}} = \frac{{x + 3}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{{Bx + C}}{{{x^2} + 1}}\\ \\ = \frac{{A\left( {{x^2} + 1} \right) + \left( {Bx + C} \right)x}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{A{x^2} + A + B{x^2} + Cx}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\ \\ = \frac{{{x^2}\left( {A + B} \right) + Cx + A}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A + B = 0\\ C = 1\\ A = 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 3\\ B = - 3\\ C = 1 \end{array} \right. \end{array}\]

    \[ \Rightarrow \frac{{x + 3}}{{{x^3} + x}} = \frac{3}{x} + \frac{{ - 3x + 1}}{{{x^2} + 1}}\]

\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{{x + 3}}{{{x^3} + x}}dx} = \int {\left[ {\frac{3}{x} + \frac{{ - 3x + 1}}{{{x^2} + 1}}} \right]dx} \\ \\ = \int {\left[ {\frac{3}{x} - 3\frac{1}{{{x^2} + 1}} + \frac{1}{{{x^2} + 1}}} \right]dx} \\ \\ = 3Lnx - \frac{3}{2}Ln\left( {{x^2} + 1} \right) + {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x + c \end{array}

تمرین: حاصل انتگرال‌های زیر را بیابید.

    \[\begin{array}{l} 1)\int {\frac{{{x^3}}}{{1 + {x^2}}}dx} \\ \\ 2)\int {\frac{{{x^5} + 2}}{{{x^2} - 1}}dx} \\ \\ 3)\int {\frac{1}{{1 - {x^2}}}dx} \\ \\ 4)\int {\frac{1}{{{x^2} - 6x + 10}}dx} \\ \\ 5)\int {\frac{{{x^3}}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}dx} \\ \\ 6)\int {\frac{{8x + 9}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}}dx} \end{array}\]

 

آموزش تصویری این مبحث:

جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

امین یارمحمدی

انتگرال و کاربرد آن

انتگرالتجزیه کسرتجزیه کسرهاحل انتگرالروش تجزیه کسرروش تجزیه کسر برای حل انتگرالروش تجزیه کسرها

فیسبوکتوئیترپینترستلینکدینواتس اپتلگرامایمیلچاپلینک کوتاه

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

نوشته های مرتبط ...

23 دیدگاه

  • با سلام و تشکر از شما و توضیحات جامع و خوبی که ارایه دادید
    هرچند کسی قدردان نیست اما امیدوارم روزی نتیچه زحمات خود را ببینید

    پاسخ

    • سلام
      دنیا پژواک کارهای ماست. قطعاً نتیجه خوبی کردن و کمک به مردم چیزی جز خوبی دیدن در زندگی نیست.
      تشکر شما یک دنیا ارزش داره.
      امیدوارم همواره موفق و پیروز باشید.

      پاسخ

        • سلام. سلامت باشید.
          اگه جواب سوالاتتون کوتاه باشه تماس بگیرید.
          اگه هم که نیاز به کلاس رفع اشکال داشتید من در خدمتم 09123872834

          پاسخ

      • سلام
        خیلی ممنونم بابت آموزش تجزیه کسرهاتون واقعا عالی بود و تمام حالاتی که پیش میاد رو با یک مثال ساده گفته بودید.
        خوشحال میشم که اگه جزوه آموزشی مفیدی دارید با من به اشتراک بگذارید.

        پاسخ

        • سلام
          خوشحالم که آموزش های ما کمکتون کرده. آموزش کامل این مباحث و کل مباحث ریاضی عمومی ۱ دانشگاه به صورت تصویری آماده شده و در سایت قرار گرفته.
          شما میتونید از طریق لینک زیر این پکیج آموزشی ارزشمند رو تهیه کنید:
          پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه
          موفق باشید

          پاسخ

      • سلام استاد گرامی، از همکاری های بشر دوستانه شما نهایت سپاس را دارم
        امید که شاد و سر فراز باشید.
        ممنون از شما

        پاسخ

  • سلام
    اگه میشه قسمتی که گفتید قست چپ و راستا را مساوی هم قرار میدهیما بیشتر توضیح بدید؟

    پاسخ

    • سلام
      درود بر شما
      وقتی کسر اولیه (کسر داخل انتگرال که مخرج آن را تجزیه کرده‌ایم) را با عبارت نهایی شامل A و ‌‌B و … که از آن مخرج مشترک گرفته‌ایم مساوی قرار دهیم، مخرج‌ها مساوی هستند پس صور‌تها نیز باید مساوی باشند که با مساوی قرار دادن ضرایب مشابه میتوان ضرایب نامعین را یافت.

      پاسخ

  • عالی بود. من دانشجوی ارشدم و کانتینیوم مکانیک کار میکنم. تجزیه کسر ها رو تا حدی فراموش کرده بودم ولی به لطف سایت خوبتون برام یاداوری شد. متشکرم

    پاسخ

  • خیلی ممنون آقای مهندس اما ای کاش روش کوتاهشو که انتگرال میگرفتیم در تابع ضرب میکردیم و ریشه عامل رو جاگذاری میکردیم رو هم توضیح میدادین

    پاسخ

    • سلام
      خواهش می‌کنم.
      روش مدنظر شما فقط در حالات خاص قابل استفاده است و برخی مواقع نمیشه از اون استفاده کرد. برای طولانی نشدن و ساده ماندن این مبحث، ترجیح دادم از توضیحش صرفنظر کنم.

      پاسخ

  • سلام، ممنونم از مطالبتون. من مبحث دیفرانسیل و انتگرال رو خیلی دوست دارم. فکر نکنم که توی دانشگاه بالاتر از حد دبیرستان به من درس بدن (چون میخوام معماری بخونم). مطالبتون ساده و گیرا است و باعث میشه که مطلبو بفهمم و این خیلی من رو خوشحال می کنه :)))))

    پاسخ

  • سلام و عرض خسته نباشید
    مطالب خیلی خوبی دارید ممنون

    پاسخ

  • سلام خسته نباشید
    ببخشید میشه پیدا کردن ضرایب نامعین رو بیشتر توضیح بدید؟

    پاسخ

  • تشکر فراوان بابت توضیحات کامل و جامع جنابعالی عاقبت بخیر بشی

    پاسخ

  • سلام اگر کسر بصورت U^2/(U^2-2)^2باشد چطوری تجزیه میشود؟ چون ریشه مخرج گنگ میشود
    تشگر

    پاسخ

    • سلام
      مخرج به صورت زیر تجزیه می‌شود و گنگ بودن ریشه‌های مخرج، تفاوتی در روش تجزیه ایجاد نمی‌کند:

          \[{\left( {{u^2} - 2} \right)^2} = {\left( {u - \sqrt 2 } \right)^2}{\left( {u + \sqrt 2 } \right)^2}\]

      پاسخ

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *