روش تجزیه کسر برای حل انتگرال:

برای محاسبه انتگرال‌های به فرم $\int {\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}dx}$ که صورت و مخرج دو چند جمله‌ای بر حسب $x$ باشند از روش تجزیه کسر استفاده می‌کنیم. این کسرها دو حالت کلی دارند:
حالت اول: درجه صورت بزرگتر یا مساوی درجه مخرج باشد
در این حالت ابتدا صورت را بر مخرج تقسیم کرده و سپس از عبارت بدست آمده به راحتی انتگرال می‌گیریم.

نکته:

مثال: حاصل انتگرال $\int {\frac{{2{x^2} + 3}}{{{x^2} - 4}}dx}$ را به روش تجزیه کسر بیابید.

$\begin{array}{l} \frac{{2{x^2} + 3}}{{{x^2} - 4}} = 2 + \frac{{11}}{{{x^2} - 4}} \Rightarrow \int {\frac{{2{x^2} + 3}}{{{x^2} - 4}}dx} \\ \\ = \int {\left( {2 + \frac{{11}}{{{x^2} - 4}}} \right)dx} = 2x + \frac{{11}}{4}Ln\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right) + c \end{array}$

تمرین: حاصل انتگرال $\int {\frac{{ - 3{x^2} + 2}}{{x + 9}}dx}$ را به روش تجزیه کسر بیابید.

حالت دوم: درجه صورت کمتر از درجه مخرج باشد
در این حالت ابتدا مخرج را تا جای ممکن تجزیه می‌کنیم، سپس با توجه به نوع و توان عوامل ایجاد شده در مخرج که شامل ۴ حالت زیر می‌باشند مخرج را تجزیه و سپس انتگرال می‌گیریم.
۱: مخرج شامل عوامل درجه اول با توان ۱ مانند $\left( {x - {x_i}} \right)$ باشند:

$\frac{{P\left( x \right)}}{{\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)...}}$

۲: مخرج شامل عوامل درجه اول با توان دلخواه مانند ${(x - {x_i})^n}$ باشند:

$\frac{{P\left( x \right)}}{{{{(x - {x_1})}^n}{{(x - {x_2})}^m}...}}$

۳: مخرج شامل عوامل درجه دوم مانند $a{x^2} + bx + c$ غیر قابل تجزیه $\left( {\Delta < 0} \right)$ با توان ۱ باشند:

$\frac{{P\left( x \right)}}{{\left( {{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}} \right)\left( {{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}} \right)...}}$

۴: مخرج شامل عوامل درجه دوم مانند ${(a{x^2} + bx + c)^n}$ غیر قابل تجزیه $\left( {\Delta < 0} \right)$ با توان دلخواه باشند:

$\frac{{{A_1}x + {B_1}}}{{a{x^2} + bx + c}} + \frac{{{A_2}x + {B_2}}}{{{{(a{x^2} + bx + c)}^2}}} + ... + \frac{{{A_n}x + {B_n}}}{{{{(a{x^2} + bx + c)}^n}}}$

برای تجزیه کسر این نوع کسرها در هر حالت، به روش زیر عمل می‌کنیم:

حالت ۱: کسر را به صورت حاصل جمع چند کسر با مخرج‌های جداگانه و صورت نامعلوم (مانند $A$ ، $B$ و…) می‌نویسیم (مثلاً $\frac{A}{{x - {x_1}}} + \frac{B}{{x - {x_2}}} + ...$ ) و سپس مخرج مشترک می‌گیریم. با مساوی قرار دادن عبارت به دست با عبارت اولیه، اعداد ثابت را یافته و انتگرال کسرهای جدید را محاسبه می‌کنیم.

مثال:

$\int {\frac{8}{{{x^2} - 4}}dx}$

حل: ابتدا مخرج را تجزیه می‌کنیم:

$\frac{8}{{{x^2} - 4}} = \frac{8}{{(x - 2)(x + 2)}}$

مخرج از نوع حالت ۱ است پس کسر را به صورت گفته شده بازنویسی می‌کنیم:

$\begin{array}{l} \frac{8}{{(x - 2)(x + 2)}} = \frac{A}{{(x - 2)}} + \frac{B}{{(x + 2)}}\\ \\ = \frac{{A(x + 2) + B(x - 2)}}{{(x - 2)(x + 2)}} = \frac{{Ax + 2A + Bx - 2B}}{{(x - 2)(x + 2)}}\\ \\ = \frac{{x(A + B) + (2A - 2B)}}{{(x - 2)(x + 2)}} \end{array}$

حال دو عبارت سمت چپ و راست را با هم مساوی قرار می‌دهیم تا $A$ و $B$ را بیابیم:

$\begin{array}{l} \frac{8}{{(x - 2)(x + 2)}} = \frac{{x(A + B) + (2A - 2B)}}{{(x - 2)(x + 2)}}\\ \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A + B = 0\\ 2A - 2B = 8 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A + B = 0\\ A - B = 4 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 2\\ B = - 2 \end{array} \right. \end{array}$

$\Rightarrow \frac{8}{{{x^2} - 4}} = \frac{2}{{(x - 2)}} + \frac{{ - 2}}{{(x + 2)}}$

حال به جای $\frac{8}{{{x^2} - 4}}$ از معادل آن یعنی $\frac{2}{{(x - 2)}} + \frac{{ - 2}}{{(x + 2)}}$ انتگرال می‌گیریم:

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{8}{{{x^2} - 4}}dx} = \int {[\frac{2}{{(x - 2)}} + \frac{{ - 2}}{{(x + 2)}}]dx} \\ \\ = 2Ln\left| {x - 2} \right| - 2Ln\left| {x + 2} \right| + c = 2Ln\left| {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right| + c \end{array}$

حالت ۲: مشابه حالت قبل، کسر را به صورت حاصل جمع چند کسر با مخرج‌های جداگانه و صورت نامعلوم (مانند $A$ ، $B$ و…) می‌نویسیم ولی کسرهایی که مخرج آن تواندار دارند را از توان ۱ تا توان مورد نظر می‌نویسیم (مثلاً $\frac{A}{{x - {x_1}}} + \frac{B}{{{{\left( {x - {x_1}} \right)}^2}}} + ...$ ) و سپس مخرج مشترک می‌گیریم. با مساوی قرار دادن عبارت به دست با عبارت اولیه، اعداد ثابت را یافته و انتگرال کسرهای جدید را محاسبه می‌کنیم.

مثال:

$\int {\frac{x}{{{x^2} - 4x + 4}}dx}$

حل: ابتدا مخرج را تجزیه می‌کنیم:

$\frac{x}{{{x^2} - 4x + 4}} = \frac{x}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$

مخرج از نوع حالت ۲ است پس کسر را به صورت گفته شده بازنویسی می‌کنیم:

$\begin{array}{l} \frac{x}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{A}{{x - 2}} + \frac{B}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ \\ = \frac{{A\left( {x - 2} \right) + B}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{Ax + ( - 2A + B)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} \end{array}$

حال دو عبارت سمت چپ و راست را با هم مساوی قرار می‌دهیم تا $A$ و $B$ را بیابیم:

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 1\\ - 2A + B = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 1\\ B = 2 \end{array} \right.$

$\Rightarrow \frac{x}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{1}{{x - 2}} + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$

حال به جای $\frac{x}{{{x^2} - 4x + 4}}$ از معادل آن یعنی $\frac{1}{{x - 2}} + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$ انتگرال می‌گیریم:

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{x}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}dx} \\ \\ = \int {[\frac{1}{{x - 2}} + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}]dx} \\ \\ = Ln\left| {x - 2} \right| + \int {2{{\left( {x - 2} \right)}^{ - 2}}dx} \\ \\ = Ln\left| {x - 2} \right| + 2\frac{{{{(x - 2)}^{ - 1}}}}{{ - 1}} + c\\ \\ = Ln\left| {x - 2} \right| - \frac{2}{{x - 2}} + c \end{array}$

حالت ۳: مشابه حالت ۱، کسر را به صورت حاصل جمع چند کسر با مخرج‌های جداگانه و صورت نامعلوم ولی در این حالت از درجه ۱ (مانند ${A_1}x + {B_1}$ ، ${A_2}x + {B_2}$ و…) می‌نویسیم (مثلاً $\frac{{{A_1}x + {B_1}}}{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}} + \frac{{{A_2}x + {B_2}}}{{{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}}} + ...$ ) و سپس مخرج مشترک می‌گیریم. با مساوی قرار دادن عبارت به دست با عبارت اولیه، اعداد ثابت را یافته و انتگرال کسرهای جدید را محاسبه می‌کنیم.

مثال:

$\int {\frac{{5{x^2} + 8}}{{{x^4} + 5{x^2} + 4}}dx}$

حل: ابتدا مخرج را تجزیه می‌کنیم:

$\frac{{5{x^2} + 8}}{{{x^4} + 5{x^2} + 4}} = \frac{{5{x^2} + 8}}{{({x^2} + 1)({x^2} + 4)}}$

مخرج از نوع حالت ۳ است پس کسر را به صورت گفته شده بازنویسی می‌کنیم:

$\begin{array}{l} \frac{{5{x^2} + 8}}{{({x^2} + 1)({x^2} + 4)}} = \frac{{Ax + B}}{{{x^2} + 1}} + \frac{{Cx + D}}{{{x^2} + 4}}\\ \\ = \frac{{\left( {Ax + B} \right)\left( {{x^2} + 4} \right) + \left( {Cx + D} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{({x^2} + 1)({x^2} + 4)}} \end{array}$

$= \frac{{A{x^3} + 4Ax + B{x^2} + 4B + C{x^3} + Cx + D{x^2} + D}}{{({x^2} + 1)({x^2} + 4)}}$

$= \frac{{{x^3}(A + C) + {x^2}(B + D) + x(4A + C) + (4B + D)}}{{({x^2} + 1)({x^2} + 4)}}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A + C = 0\\ B + D = 5\\ 4A + C = 0\\ 4B + D = 8 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 0\\ C = 0\\ B = 1\\ D = 4 \end{array} \right.$

$\frac{{5{x^2} + 8}}{{{x^4} + 5{x^2} + 4}} = \frac{1}{{{x^2} + 1}} + \frac{4}{{{x^2} + 4}}$

حال به جای $\frac{{5{x^2} + 8}}{{{x^4} + 5{x^2} + 4}}$ از معادل آن یعنی $\frac{1}{{{x^2} + 1}} + \frac{4}{{{x^2} + 4}}$ انتگرال می‌گیریم:

$\begin{array}{l} \int {\frac{{5{x^2} + 8}}{{{x^4} + 5{x^2} + 4}}dx} = \int {[\frac{1}{{{x^2} + 1}} + \frac{4}{{{x^2} + 4}}]dx} \\ \\ = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x + 2{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} \left( {\frac{x}{2}} \right) + c \end{array}$

حالت ۴: این حالت ترکیبی از حالات ۲ و۳ است، کسر را به صورت حاصل جمع چند کسر با مخرج‌های جداگانه و صورت نامعلوم از درجه ۱ (مانند ${A_1}x + {B_1}$ ، ${A_2}x + {B_2}$ و…) می‌نویسیم و مخرجهای توان‌دار را از توان ۱ تا توان مورد نظر می‌نویسیم (مثلاً $\frac{{{A_1}x + {B_1}}}{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}} + \frac{{{A_2}x + {B_2}}}{{{{\left( {{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}} \right)}^2}}} + ...$ ) و سپس مخرج مشترک می‌گیریم. با مساوی قرار دادن عبارت به دست با عبارت اولیه، اعداد ثابت را یافته و انتگرال کسرهای جدید را محاسبه می‌کنیم.

نکته: از این حالت به دلیل سخت بودن معمولاً کمتر سوال داده می‌شود!

مثال: انتگرال زیر را به روش تجزیه کسر محاسبه کنید.

$\int {\frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{x^4} + 2{x^2} + 1}}dx}$

حل: ابتدا مخرج را تجزیه می‌کنیم:

$\frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{x^4} + 2{x^2} + 1}} = \frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}$

مخرج از نوع حالت ۴ است پس کسر را به صورت گفته شده بازنویسی می‌کنیم:

$\begin{array}{l} \frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{Ax + B}}{{{x^2} + 1}} + \frac{{Cx + D}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\\ \\ = \frac{{\left( {Ax + B} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) + Cx + D}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\\ \\ = \frac{{A{x^3} + Ax + B{x^2} + B + Cx + D}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \end{array}$

$= \frac{{A{x^3} + B{x^2} + x(A + C) + (B + D)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 0\\ B = 4\\ A + C = 2\\ B + D = 4 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 0\\ B = 4\\ C = 2\\ D = 0 \end{array} \right.$

$\frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{x^4} + 2{x^2} + 1}} = \frac{4}{{{x^2} + 1}} + \frac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}$

حال به جای $\frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{x^4} + 2{x^2} + 1}}$ از معادل آن یعنی $\frac{4}{{{x^2} + 1}} + \frac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}$ انتگرال می‌گیریم:

$\begin{array}{l} \int {\frac{{4{x^2} + 2x + 4}}{{{x^4} + 2{x^2} + 1}}dx} = \int {[\frac{4}{{{x^2} + 1}} + \frac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}]dx} \overbrace {{\rm{ = }}}^{\scriptstyle{x^2} + 1 = z\hfill\atop \scriptstyle2xdx = dz\hfill}\\ \\ 4{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x + \int {\frac{{2dz}}{{{z^2}}}} = 4{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x + \int {2{z^{ - 2}}} dz\\ \\ = 4{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x + \frac{{2{z^{ - 1}}}}{{ - 1}} + c = 4{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x - \frac{2}{z} + c\\ \\ = 4{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x - \frac{2}{{{x^2} + 1}} + c \end{array}$

نکته: برای حل انتگرال برخی کسرها ممکن است از ۲ حالت مختلف روش تجزیه کسر نیز استفاده کنیم. در این حالت، هر کسر را مطابق روش خود جایگذاری میکنیم.

مثال:

$\int {\frac{{x + 3}}{{{x^3} + x}}dx}$

حل:

$\begin{array}{l} \frac{{x + 3}}{{{x^3} + x}} = \frac{{x + 3}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{{Bx + C}}{{{x^2} + 1}}\\ \\ = \frac{{A\left( {{x^2} + 1} \right) + \left( {Bx + C} \right)x}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{A{x^2} + A + B{x^2} + Cx}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\ \\ = \frac{{{x^2}\left( {A + B} \right) + Cx + A}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A + B = 0\\ C = 1\\ A = 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 3\\ B = - 3\\ C = 1 \end{array} \right. \end{array}$

$\Rightarrow \frac{{x + 3}}{{{x^3} + x}} = \frac{3}{x} + \frac{{ - 3x + 1}}{{{x^2} + 1}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{{x + 3}}{{{x^3} + x}}dx} = \int {\left[ {\frac{3}{x} + \frac{{ - 3x + 1}}{{{x^2} + 1}}} \right]dx} \\ \\ = \int {\left[ {\frac{3}{x} - 3\frac{1}{{{x^2} + 1}} + \frac{1}{{{x^2} + 1}}} \right]dx} \\ \\ = 3Lnx - \frac{3}{2}Ln\left( {{x^2} + 1} \right) + {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} x + c \end{array}$

تمرین: حاصل انتگرال‌های زیر را بیابید.

$\begin{array}{l} 1)\int {\frac{{{x^3}}}{{1 + {x^2}}}dx} \\ \\ 2)\int {\frac{{{x^5} + 2}}{{{x^2} - 1}}dx} \\ \\ 3)\int {\frac{1}{{1 - {x^2}}}dx} \\ \\ 4)\int {\frac{1}{{{x^2} - 6x + 10}}dx} \\ \\ 5)\int {\frac{{{x^3}}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}dx} \\ \\ 6)\int {\frac{{8x + 9}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}}dx} \end{array}$