روش تجزیه کسر برای حل انتگرال:

برای محاسبه انتگرال‌های به فرم    که صورت و مخرج دو چند جمله‌ای بر حسب    باشند از روش تجزیه کسر استفاده می‌کنیم. این کسرها دو حالت کلی دارند:
حالت اول: درجه صورت بزرگتر یا مساوی درجه مخرج باشد
در این حالت ابتدا صورت را بر مخرج تقسیم کرده و سپس از عبارت بدست آمده به راحتی انتگرال می‌گیریم.

نکته:   

مثال: حاصل انتگرال    را به روش تجزیه کسر بیابید.

تمرین: حاصل انتگرال    را به روش تجزیه کسر بیابید.

حالت دوم: درجه صورت کمتر از درجه مخرج باشد
در این حالت ابتدا مخرج را تا جای ممکن تجزیه می‌کنیم، سپس با توجه به نوع و توان عوامل ایجاد شده در مخرج که شامل ۴ حالت زیر می‌باشند مخرج را تجزیه و سپس انتگرال می‌گیریم.
۱: مخرج شامل عوامل درجه اول با توان ۱ مانند  باشند:

۲: مخرج شامل عوامل درجه اول با توان دلخواه مانند  باشند:

۳: مخرج شامل عوامل درجه دوم مانند    غیر قابل تجزیه    با توان ۱ باشند:

۴: مخرج شامل عوامل درجه دوم مانند  غیر قابل تجزیه    با توان دلخواه باشند:

برای تجزیه کسر این نوع کسرها در هر حالت، به روش زیر عمل می‌کنیم:

حالت ۱: کسر را به صورت حاصل جمع چند کسر با مخرج‌های جداگانه و صورت نامعلوم (مانند  ،  و…) می‌نویسیم (مثلاً  ) و سپس مخرج مشترک می‌گیریم. با مساوی قرار دادن عبارت به دست با عبارت اولیه، اعداد ثابت را یافته و انتگرال کسرهای جدید را محاسبه می‌کنیم.

حل: ابتدا مخرج را تجزیه می‌کنیم:

مخرج از نوع حالت ۱ است پس کسر را به صورت گفته شده بازنویسی می‌کنیم:

حال دو عبارت سمت چپ و راست را با هم مساوی قرار می‌دهیم تا    و    را بیابیم:

حال به جای  از معادل آن یعنی  انتگرال می‌گیریم:

حالت ۲: مشابه حالت قبل، کسر را به صورت حاصل جمع چند کسر با مخرج‌های جداگانه و صورت نامعلوم (مانند  ،  و…) می‌نویسیم ولی کسرهایی که مخرج آن تواندار دارند را از توان ۱ تا توان مورد نظر می‌نویسیم (مثلاً  ) و سپس مخرج مشترک می‌گیریم. با مساوی قرار دادن عبارت به دست با عبارت اولیه، اعداد ثابت را یافته و انتگرال کسرهای جدید را محاسبه می‌کنیم.

مثال:

حل: ابتدا مخرج را تجزیه می‌کنیم:

مخرج از نوع حالت ۲ است پس کسر را به صورت گفته شده بازنویسی می‌کنیم:

حال دو عبارت سمت چپ و راست را با هم مساوی قرار می‌دهیم تا  و  را بیابیم:

حال به جای  از معادل آن یعنی  انتگرال می‌گیریم:

حالت ۳: مشابه حالت ۱، کسر را به صورت حاصل جمع چند کسر با مخرج‌های جداگانه و صورت نامعلوم ولی در این حالت از درجه ۱ (مانند  ،  و…) می‌نویسیم (مثلاً  ) و سپس مخرج مشترک می‌گیریم. با مساوی قرار دادن عبارت به دست با عبارت اولیه، اعداد ثابت را یافته و انتگرال کسرهای جدید را محاسبه می‌کنیم.

مثال:

حل: ابتدا مخرج را تجزیه می‌کنیم:

مخرج از نوع حالت ۳ است پس کسر را به صورت گفته شده بازنویسی می‌کنیم:

حال به جای  از معادل آن یعنی  انتگرال می‌گیریم:

حالت ۴: این حالت ترکیبی از حالات ۲ و۳ است، کسر را به صورت حاصل جمع چند کسر با مخرج‌های جداگانه و صورت نامعلوم از درجه ۱ (مانند  ،  و…) می‌نویسیم و مخرجهای توان‌دار را از توان ۱ تا توان مورد نظر می‌نویسیم (مثلاً  ) و سپس مخرج مشترک می‌گیریم. با مساوی قرار دادن عبارت به دست با عبارت اولیه، اعداد ثابت را یافته و انتگرال کسرهای جدید را محاسبه می‌کنیم.

نکته: از این حالت به دلیل سخت بودن معمولاً کمتر سوال داده می‌شود!

مثال: انتگرال زیر را به روش تجزیه کسر محاسبه کنید.

حل: ابتدا مخرج را تجزیه می‌کنیم:

مخرج از نوع حالت ۴ است پس کسر را به صورت گفته شده بازنویسی می‌کنیم:

حال به جای  از معادل آن یعنی  انتگرال می‌گیریم:

نکته: برای حل انتگرال برخی کسرها ممکن است از ۲ حالت مختلف روش تجزیه کسر نیز استفاده کنیم. در این حالت، هر کسر را مطابق روش خود جایگذاری میکنیم.

حل:

تمرین: حاصل انتگرال‌های زیر را بیابید.

آموزش تصویری این مبحث:

جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید: