روش تجزیه کسر برای حل انتگرال:
برای محاسبه انتگرالهای به فرم که صورت و مخرج دو چند جملهای بر حسب
باشند از روش تجزیه کسر استفاده میکنیم. این کسرها دو حالت کلی دارند:
حالت اول: درجه صورت بزرگتر یا مساوی درجه مخرج باشد
در این حالت ابتدا صورت را بر مخرج تقسیم کرده و سپس از عبارت بدست آمده به راحتی انتگرال میگیریم.
نکته:
مثال: حاصل انتگرال را به روش تجزیه کسر بیابید.
تمرین: حاصل انتگرال را به روش تجزیه کسر بیابید.
حالت دوم: درجه صورت کمتر از درجه مخرج باشد
در این حالت ابتدا مخرج را تا جای ممکن تجزیه میکنیم، سپس با توجه به نوع و توان عوامل ایجاد شده در مخرج که شامل ۴ حالت زیر میباشند مخرج را تجزیه و سپس انتگرال میگیریم.
۱: مخرج شامل عوامل درجه اول با توان ۱ مانند باشند:
۲: مخرج شامل عوامل درجه اول با توان دلخواه مانند باشند:
۳: مخرج شامل عوامل درجه دوم مانند غیر قابل تجزیه
با توان ۱ باشند:
۴: مخرج شامل عوامل درجه دوم مانند غیر قابل تجزیه
با توان دلخواه باشند:
برای تجزیه کسر این نوع کسرها در هر حالت، به روش زیر عمل میکنیم:
حالت ۱: کسر را به صورت حاصل جمع چند کسر با مخرجهای جداگانه و صورت نامعلوم (مانند ،
و…) مینویسیم (مثلاً
) و سپس مخرج مشترک میگیریم. با مساوی قرار دادن عبارت به دست با عبارت اولیه، اعداد ثابت را یافته و انتگرال کسرهای جدید را محاسبه میکنیم.
مثال:
حل: ابتدا مخرج را تجزیه میکنیم:
مخرج از نوع حالت ۱ است پس کسر را به صورت گفته شده بازنویسی میکنیم:
حال دو عبارت سمت چپ و راست را با هم مساوی قرار میدهیم تا و
را بیابیم:
حال به جای
از معادل آن یعنی
انتگرال میگیریم:
حالت ۲: مشابه حالت قبل، کسر را به صورت حاصل جمع چند کسر با مخرجهای جداگانه و صورت نامعلوم (مانند ،
و…) مینویسیم ولی کسرهایی که مخرج آن تواندار دارند را از توان ۱ تا توان مورد نظر مینویسیم (مثلاً
) و سپس مخرج مشترک میگیریم. با مساوی قرار دادن عبارت به دست با عبارت اولیه، اعداد ثابت را یافته و انتگرال کسرهای جدید را محاسبه میکنیم.
مثال:
حل: ابتدا مخرج را تجزیه میکنیم:
مخرج از نوع حالت ۲ است پس کسر را به صورت گفته شده بازنویسی میکنیم:
حال دو عبارت سمت چپ و راست را با هم مساوی قرار میدهیم تا و
را بیابیم:
حال به جای
از معادل آن یعنی
انتگرال میگیریم:
حالت ۳: مشابه حالت ۱، کسر را به صورت حاصل جمع چند کسر با مخرجهای جداگانه و صورت نامعلوم ولی در این حالت از درجه ۱ (مانند ،
و…) مینویسیم (مثلاً
) و سپس مخرج مشترک میگیریم. با مساوی قرار دادن عبارت به دست با عبارت اولیه، اعداد ثابت را یافته و انتگرال کسرهای جدید را محاسبه میکنیم.
مثال:
حل: ابتدا مخرج را تجزیه میکنیم:
مخرج از نوع حالت ۳ است پس کسر را به صورت گفته شده بازنویسی میکنیم:
حال به جای
از معادل آن یعنی
انتگرال میگیریم:
حالت ۴: این حالت ترکیبی از حالات ۲ و۳ است، کسر را به صورت حاصل جمع چند کسر با مخرجهای جداگانه و صورت نامعلوم از درجه ۱ (مانند ،
و…) مینویسیم و مخرجهای تواندار را از توان ۱ تا توان مورد نظر مینویسیم (مثلاً
) و سپس مخرج مشترک میگیریم. با مساوی قرار دادن عبارت به دست با عبارت اولیه، اعداد ثابت را یافته و انتگرال کسرهای جدید را محاسبه میکنیم.
نکته: از این حالت به دلیل سخت بودن معمولاً کمتر سوال داده میشود!
مثال: انتگرال زیر را به روش تجزیه کسر محاسبه کنید.
حل: ابتدا مخرج را تجزیه میکنیم:
مخرج از نوع حالت ۴ است پس کسر را به صورت گفته شده بازنویسی میکنیم:
حال به جای
از معادل آن یعنی
انتگرال میگیریم:
نکته: برای حل انتگرال برخی کسرها ممکن است از ۲ حالت مختلف روش تجزیه کسر نیز استفاده کنیم. در این حالت، هر کسر را مطابق روش خود جایگذاری میکنیم.
مثال:
حل:
تمرین: حاصل انتگرالهای زیر را بیابید.
آموزش تصویری این مبحث:
جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:
برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:
برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشدهاید، همین الان عضو شوید و از آموزشهای رایگان استفاده کنید