روش‌های محاسبه حد (محاسبه حد به کمک اتحادها و هم‌ارزی‌ها)

روش‌های محاسبه حد:

روش‌های محاسبه حد

الف- اتحادها:

در محاسبه برخی از حدها، به کمک اتحادها و ساده کردن صورت و مخرج می‌توان به جواب مورد نظر رسید.

مثال: حاصل $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{x + 3}}$ را بیابید.

حل: اگر $x = - 3$ را در تابع جایگذاری کنیم به حالت $\frac{0}{0}$ می‌رسیم که حالتی مبهم است ولی به کمک اتحاد مزدوج داریم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \left( {x - 3} \right) = - 6$

تمرین: حاصل حدود زیر را محاسبه کنید.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{x + 1}}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{x - 2}}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{x^2} + x - 2}}$

در محاسبه حدهایی که شامل عبارات رادیکالی هستند معمولاً با ضرب کردن صورت و مخرج در مزدوج آن عبارت، جواب حد پیدا می‌شود.

مثال: حاصل $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{x^2} - 16}}{{\sqrt x - 2}}$ را بیابید.

حل: اگر $x = 4$ را در تابع جایگذاری کنیم به حالت $\frac{0}{0}$ می‌رسیم که حالتی مبهم است ولی با ضرب کردن صورت و مخرج در مزدوج مخرج و همینطور به کمک اتحاد مزدوج داریم:

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{x^2} - 16}}{{\sqrt x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{\sqrt x - 2}} \times \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{x - 4}} = \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left( {x + 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) = 8 \times 4 = 32 \end{array}$

تمرین: حاصل حدود زیر را محاسبه کنید.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{{\sqrt x - 3}}{{x - 9}}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{{x^2} + x - 2}}$

روش‌های محاسبه حد

ب- هم‌ارزی‌ها:‌

در محاسبه حدهای شامل توابع مثلثاتی، استفاده از هم‌ارزی‌های زیر توصیه می‌شود:

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{u \to o} \sin u \sim \mathop {\lim }\limits_{u \to o} u\\ \mathop {\lim }\limits_{u \to o} \tan u \sim \mathop {\lim }\limits_{u \to o} u\\ \mathop {\lim }\limits_{u \to o} {\sin ^{ - 1}}u \sim \mathop {\lim {\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} }\limits_{u \to o} u \sim \mathop {\lim }\limits_{u \to o} u\\ \mathop {\lim }\limits_{u \to o} {\tan ^{ - 1}}u \sim \mathop {\lim {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} }\limits_{u \to o} u \sim \mathop {\lim }\limits_{u \to o} u\\ \mathop {\lim }\limits_{u \to o} \sinh u \sim \mathop {\lim }\limits_{u \to o} u\\ \mathop {\lim }\limits_{u \to o} \tanh u \sim \mathop {\lim }\limits_{u \to o} u\\ \mathop {\lim }\limits_{u \to o} \cos u \sim \mathop {\lim }\limits_{u \to o} 1 - \frac{{{u^2}}}{2} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{u \to o} 1 - \cos u \sim \mathop {\lim }\limits_{u \to o} \frac{{{u^2}}}{2} \end{array}$

روش‌های محاسبه حد

نکته:

در روش‌های محاسبه حد، هم‌ارزی‌های فوق فقط زمانی معتبر هستند که جواب بدست آمده از آنها دوباره مبهم نشود، در غیر اینصورت باید از هم‌ارزی‌های زیر استفاده کنیم:

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{u \to o} \sin u \sim \mathop {\lim }\limits_{u \to o} u - \frac{{{u^3}}}{6} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{u \to o} u - \sin u \sim \mathop {\lim }\limits_{u \to o} \frac{{{u^3}}}{6}\\ \mathop {\lim }\limits_{u \to o} \tan u \sim \mathop {\lim }\limits_{u \to o} u + \frac{{{u^3}}}{3} \Rightarrow \mathop {\lim \tan u - }\limits_{u \to o} u \sim \mathop {\lim }\limits_{u \to o} \frac{{{u^3}}}{3}\\ \Rightarrow \mathop {\lim \tan u - }\limits_{u \to o} \sin u \sim \mathop {\lim }\limits_{u \to o} \frac{{{u^3}}}{2}\\ \mathop {\lim {\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} }\limits_{u \to o} u - u \sim \mathop {\lim }\limits_{u \to o} \frac{{{u^3}}}{6}\\ \mathop {\lim u - {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} }\limits_{u \to o} u \sim \mathop {\lim }\limits_{u \to o} \frac{{{u^3}}}{3} \end{array}$

مثال: حاصل حدود زیر را بیابید.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{x^2}}}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{{x^2}}}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x - \sin x}}{{{x^3}}}$

حل:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {\sin x} \right)}^2}}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( x \right)}^2}}}{{{x^2}}} = 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{{x^2}}}{2}}}{{{x^2}}} = \frac{1}{2}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x - \sin x}}{{{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{{x^3}}}{6}}}{{{x^3}}} = \frac{1}{6}$

تمرین: حاصل حدود زیر را محاسبه کنید.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 5x}}{{\arctan 3x}}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits} 3x - 3x}}{{\tan x - \sin x}}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos 2x - 1}}{{3x\sinh 2x}}$

روش‌های محاسبه حد

جهت تهیه آموزش کامل و تصویری این مبحث، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:

پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه (۵ فصل + ضمیمه مثلثات)
امتیاز 4.75 از 5
۱۳۹,۰۰۰ تومان افزودن به سبد خرید

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1396-05-17

حد و پیوستگی

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.