رسم نمودار (کاربرد مشتق در ترسیم هندسی توابع)

رسم نمودار:

برای رسم نمودار تابع $f\left( x \right)$ ابتدا باید تمام مجانب‌های تابع را مطابق دستور گفته شده بیابیم. تابع باید در فاصله بسیار دور به این خطوط مماس شود. سپس از تابع مشتق گرفته و مساوی صفر قرار می‌دهیم تا نقاط بحرانی ( $f'\left( x \right) = 0$ ) را بیابیم. شیب خط مماس بر منحنی در این نقاط صفر است (یعنی خطی افقی و موازی محور $x$ است). $f'\left( x \right)$ را تعیین علامت می‌کنیم تا بازه‌های صعودی و نزولی تابع را بیابیم، سپس $f''\left( x \right)$ را محاسبه می‌کنیم و مساوی صفر قرار می‌دهیم تا نقاط عطف را بیابیم. $f''\left( x \right)$ را تعیین علامت می‌کنیم تا جهت تقعر تابع را در بازه‌های مختلف بیابیم. در نهایت مقدار تابع را در چند نقطه یافته و به کمک اطلاعات بالا، رسم نمودار را انجام دهیم.

مثال: نمودار تابع $f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} - 1}}$ را رسم کنید.

حل: ابتدا مجانبهای تابع را می‌یابیم:

مجانب‌های قائم: ${x^2} - 1 = 0 \Rightarrow {x^2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

مجانب‌های افقی: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{x}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{x}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{x} = \frac{1}{{ \pm \infty }} = 0$

تابع مجانب مایل ندارد زیرا در $\pm \infty$ حد تابع یک عدد است.

حال مشتقات اول و دوم تابع را یافته، ریشه‌های آنها را محاسبه کرده و تعیین علامت می‌کنیم:

$f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} - 1}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{1\left( {{x^2} - 1} \right) - 2x\left( x \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 1 - {x^2}}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} < 0$

پس شیب تابع همواره رو به پایین است.

$\begin{array}{l} f'\left( x \right) = \frac{{ - 1 - {x^2}}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}\\ \\ \Rightarrow f''\left( x \right) = \frac{{ - 2x{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2} - 2\left( {2x} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)\left( { - 1 - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^4}}} = \frac{{2x\left( {{x^2} + 3} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^3}}}\\ \\ f''\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = 0\\ f''\left( x \right) = \infty \Rightarrow x = \pm 1 \end{array}$

جدول تغییرات تابع را رسم می‌کنیم:

مقدار تابع در نقاط $x = \pm 1$ تعریف نشده است ولی داریم: $f\left( 0 \right) = 0$

اکنون می‌توانیم رسم نمودار را شروع کنیم. ابتدا خطوط مجانب را رسم کرده و سپس با توجه به شیب تابع و جهت تقعر در هر بازه نمودار تابع را رسم می‌کنیم:

این آموزش را نیز مطالعه کنید: خط مماس بر منحنی و خط قائم بر منحنی

تمرین: نمودار توابع زیر را رسم کنید.

$f\left( x \right) = 3{x^2} - 6x + 5$
$f\left( x \right) = \frac{{2x + 3}}{{x + 2}}$
$f\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1396-11-03

مشتق و کاربرد آن

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.