رسم نمودار (کاربرد مشتق در ترسیم هندسی توابع)

رسم نمودار:

برای رسم نمودار تابع     ابتدا باید تمام مجانب‌های تابع را مطابق دستور گفته شده بیابیم. تابع باید در فاصله بسیار دور به این خطوط مماس شود. سپس از تابع مشتق گرفته و مساوی صفر قرار می‌دهیم تا نقاط بحرانی (   ) را بیابیم. شیب خط مماس بر منحنی در این نقاط صفر است (یعنی خطی افقی و موازی محور    است).    را تعیین علامت می‌کنیم تا بازه‌های صعودی و نزولی تابع را بیابیم، سپس    را محاسبه می‌کنیم و مساوی صفر قرار می‌دهیم تا نقاط عطف را بیابیم.    را تعیین علامت می‌کنیم تا جهت تقعر تابع را در بازه‌های مختلف بیابیم. در نهایت مقدار تابع را در چند نقطه یافته و به کمک اطلاعات بالا، رسم نمودار را انجام دهیم.

مثال: نمودار تابع     را رسم کنید.

حل: ابتدا مجانبهای تابع را می‌یابیم:

مجانب‌های قائم:       

مجانب‌های افقی:       

تابع مجانب مایل ندارد زیرا در    حد تابع یک عدد است.

حال مشتقات اول و دوم تابع را یافته، ریشه‌های آنها را محاسبه کرده و تعیین علامت می‌کنیم:

پس شیب تابع  همواره رو به پایین است.

جدول تغییرات تابع را رسم می‌کنیم:

مقدار تابع در نقاط    تعریف نشده است ولی داریم:  

اکنون می‌توانیم رسم نمودار را شروع کنیم. ابتدا خطوط مجانب را رسم کرده و سپس با توجه به شیب تابع و جهت تقعر در هر بازه نمودار تابع را رسم می‌کنیم:

این آموزش را نیز مطالعه کنید: خط مماس بر منحنی و خط قائم بر منحنی

تمرین: نمودار توابع زیر را رسم کنید.

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید: