خواص اعداد مختلط به صورت زیر است:

$\begin{array}{l} \overline {{z_1} \pm {z_2}} = \overline {{z_1}} \pm \overline {{z_2}} \\ \overline {{z_1}{z_2}} = \overline {{z_1}} \overline {{z_2}} \\ \left( {\overline {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} } \right) = \frac{{\overline {{z_1}} }}{{\overline {{z_2}} }}\\ \left| {{z_1}{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|\left| {{z_2}} \right|\\ \left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \frac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}} \end{array}$

مثال: به کمک خواص اعداد مختلط حاصل $\left| {\frac{{\overline z }}{{iz}}} \right|$ را بیابید.

حل: مطابق خواص اعداد مختلط، داریم:

$\left| {\frac{{\overline z }}{{iz}}} \right| = \frac{{\overline {\left| z \right|} }}{{\left| {iz} \right|}} = \frac{{\overline {\left| z \right|} }}{{\left| i \right|\left| z \right|}} = \frac{{\sqrt {{x^2} + {{\left( { - y} \right)}^2}} }}{{1 \times \sqrt {{x^2} + {y^2}} }} = \frac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} = 1$

نکته: $\left| i \right| = 1$ زیرا:

$i = 0 + 1i \Rightarrow \left| i \right| = \sqrt {{0^2} + {1^2}} = 1$

مثال: حاصل عبارت ${\left( {\frac{{1 - i}}{{\sqrt 2 }}} \right)^n} + {\left( {\frac{{1 + i}}{{\sqrt 2 }}} \right)^n}$ را بیابید.

حل: ابتدا باید هر کدام از اعداد داخل پرانتزها را به فرم قطبی بنویسیم

$\begin{array}{l} z = \frac{{1 - i}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} = 1\\ \theta = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} ( - 1) = - \frac{\pi }{4} \end{array} \right. \Rightarrow z = r{e^{i\theta }} = {e^{ - \frac{{\pi i}}{4}}}\\ z = \frac{{1 + i}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} = 1\\ \theta = {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (1) = \frac{\pi }{4} \end{array} \right. \Rightarrow z = r{e^{i\theta }} = {e^{\frac{{\pi i}}{4}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} {\left( {\frac{{1 - i}}{{\sqrt 2 }}} \right)^n} + {\left( {\frac{{1 + i}}{{\sqrt 2 }}} \right)^n} = {\left( {{e^{ - \frac{{\pi i}}{4}}}} \right)^n} + {\left( {{e^{\frac{{\pi i}}{4}}}} \right)^n} = {e^{ - \frac{{n\pi i}}{4}}} + {e^{\frac{{n\pi i}}{4}}}\\ = \cos ( - \frac{{n\pi }}{4}) + i\sin \left( { - \frac{{n\pi }}{4}} \right) + \cos (\frac{{n\pi }}{4}) + i\sin \left( {\frac{{n\pi }}{4}} \right)\\ = \cos (\frac{{n\pi }}{4}) - i\sin \left( {\frac{{n\pi }}{4}} \right) + \cos (\frac{{n\pi }}{4}) + i\sin \left( {\frac{{n\pi }}{4}} \right)\\ = 2\cos (\frac{{n\pi }}{4}) \end{array}$

تمرین: حاصل عبارت ${\left( {1 + \frac{i}{{\sqrt 3 }}} \right)^n} - {\left( {1 - \frac{i}{{\sqrt 3 }}} \right)^n}$ را بیابید.

مثال: منحنی $z = {\cos ^2}t + i{\sin ^2}t$ را رسم کنید.

حل: از $z = x + iy$ میتوان گفت $x = {\cos ^2}t$ و $y = {\sin ^2}t$ پس با توجه به ${\cos ^2}t + {\sin ^2}t = 1$ میتوان گفت $x + y = 1$ ولی باید توجه داشت که ${\cos ^2}t \ge 0$ و ${\sin ^2}t \ge 0$ پس $x \ge 0$ و $y \ge 0$ ‌یعنی بخشی از خط $x + y = 1$ که در ربع اول قرار دارد مورد نظر است.

شکل منحنی فوق

مثال: اگر $z = \left( {1 + i} \right)\left( {1 + i\sqrt 2 } \right)\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)...\left( {1 + i\sqrt n } \right)$ حاصل ${\left| z \right|^2}$ را بیابید.

حل:‌ از خواص اعداد مختلط به یاد داریم ${\left| z \right|^2} = z\overline z$ پس عدد مختلط داده شده را در مزدوجش ضرب میکنیم تا به جواب مورد نظر برسیم:

$\begin{array}{l} {\left| z \right|^2} = z\overline z \\ = \left( {1 + i} \right)\left( {1 + i\sqrt 2 } \right)\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)...\left( {1 + i\sqrt n } \right)\\ \times \left( {1 - i} \right)\left( {1 - i\sqrt 2 } \right)\left( {1 - i\sqrt 3 } \right)...\left( {1 - i\sqrt n } \right)\\ = \left( {1 - {i^2}} \right)\left( {1 - {{\left( {i\sqrt 2 } \right)}^2}} \right)\left( {1 - {{\left( {i\sqrt 3 } \right)}^2}} \right)...\left( {1 - {{\left( {i\sqrt n } \right)}^2}} \right)\\ = 2 \times 3 \times 4 \times ... \times \left( {n + 1} \right) = \left( {n + 1} \right)!\\ \Rightarrow {\left| z \right|^2} = \left( {n + 1} \right)! \end{array}$

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

لینک دانلود

امین یارمحمدی

1396-04-20

اعداد و توابع مختلط

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.