خط مماس بر منحنی و خط قائم بر منحنی:

 خط مماس بر منحنی خطی است که در همسایگی نقطه مورد نظر فقط در همان یک نقطه با منحنی تابع تقاطع داشته باشد و خط قائم بر منحنی خطی است که در آن نقطه بر خط مماس بر منحنی عمود باشد. در شکل زیر این موضوع به تصویر کشیده شده است:

خط مماس بر منحنی و خط قائم بر منحنی

برای یافتن معادله خط مماس بر منحنی در نقطه  \left( {{x_0},{y_0}} \right)  کافیست از رابطه   y - {y_0} = m\left( {x - {x_0}} \right)   استفاده کنیم که  m  مشتق تابع  f(x)  در نقطه  {x_0}  است (یعنی  f'\left( {{x_0}} \right)  ) و همچنین معادله خط قائم بر منحنی از رابطه   y - {y_0} = m'\left( {x - {x_0}} \right)  بدست می‌آید که   m' = - \frac{1}{m}   است.

معادله خط مماس بر منحنی:   y - {y_0} = m\left( {x - {x_0}} \right)

معادله خط قائم بر منحنی:  y - {y_0} = m'\left( {x - {x_0}} \right)


گام‌های حل نمونه سوالات مربوط به این مبحث:

برای حل نمونه سوالات مربوط به یافتن «خط مماس بر منحنی و خط قائم بر منحنی» کافیست ابتدا نقطه داده شده ( {x_0}) را در خود تابع قرار می‌دهیم تا   {y_0}  را بیابیم. سپس از تابع مشتق می‌گیریم تا   f'\left( x \right)  به دست آید و  {x_0}  را در   f'\left( x \right)  نیز قرار می‌دهیم تا   f'\left( {{x_0}} \right)  را نیز بیابیم. در نهایت با توجه به   m = f'\left( {{x_0}} \right)   و   m' = - \frac{1}{m}    ، شیب خط مماس بر منحنی و خط قائم بر منحنی را یافته و در دو فرمول بالا قرار می‌دهیم تا معادلات این دو خط پیدا شوند.


این آموزش را نیز مطالعه کنید: قضیه مقدار میانی و قضیه بولتزانو (اثبات وجود ریشه در یک بازه)


مثال: معادله خط مماس بر منحنی و خط قائم بر منحنی تابع   f\left( x \right) = {x^3} - 2x + 4   را در نقطه   {x_0} = 1   بیابید.

حل: ابتدا   {y_0}  و   f'\left( {{x_0}} \right)  را می‌یابیم:

    \[\begin{array}{l} {y_0} = f\left( 1 \right) = {1^3} - 2 \times 1 + 4 = 3\\ f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2 \Rightarrow f'\left( 1 \right) = 3 \times {1^2} - 2 = 1 = m\\ m' = - \frac{1}{m} = - 1 \end{array}\]

سپس معادله خطوط مماس و قائم بر این منحنی را فرمول‌های گفته شده محاسبه می‌کنیم:

معادله خط مماس بر منحنی: y - 3 = 1 \times \left( {x - 1} \right) \Rightarrow y = x + 2

معادله خط قائم بر منحنی:   y - 3 = \left( { - 1} \right) \times \left( {x - 1} \right) \Rightarrow y = - x + 4

تمرین: معادله خطوط مماس و قائم بر منحنی‌های زیر را در نقاط داده شده بیابید.

f\left( x \right) = {x^3}\qquad,\qquad{x_0} = - 1\qquad

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\qquadf\left f ( x \right) = \sin x\qquad,\qquad{x_0} = \frac{\pi }{4}

*** Error message:
Undefined control sequence \qquadf.
leading text: $\qquadf

\qquad{x^2} + 3{y^2} = 4\qquad,\qquad\left( {1, - 1} \right)


آموزش تصویری این مبحث:


 

جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری این مبحث، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

مشتق و کاربرد آن

کاربرد مشتق

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

18 دیدگاه

  • سلام…لطفا پاسخ دهید..چرا شیب خط مماس بر تابع وارون معکوس شیب خط مماس بر تابع اصلی است؟

    • سلام
      زیرا معکوس یک تابع و خود تابع نسبت به خط y=x قرینه‌اند.
      جهت مطالعه تکمیلی به آموزش زیر از سایت ما مراجعه فرمایید:
      مشتق تابع معکوس

  • سپاس از شما که در راستای خدمت به خلق خدا قدم میگذارید

    • درود بر شما.
      رضایت دانشجویان و بازدیدکنندگان سایت و اظهارات محبت آمیز اینچنینی، خستگی را از تن ما به در می‌کند.
      سپاسگزاریم.

  • سلام درود فراوان مماس بودن خط y=ax+b و منحنی y=ax²+bx+c نشان دهنده چیست؟!

    • درود بر شما
      مماس بودن خط و منحنی، نشان دهنده این مطلب است که خط و منحنی در همسایگی نقطه مورد نظر دقیقاً در یک نقطه مشترک هستند.

  • خیلی خوبه خیلی ممنون ازتون.من توی درس ریاضی توی مبحث تابع ها مشکل داشتم.ولی با بیان ساده مطالب شما مشکلم حل شد

  • خداوند بزرگ انشالله بهتون اجر دنیا و آخرت عطا بفرماید. ممنون

  • سلام و وقت بخیر،چطور میشه متوجه شد خطی ،خط دیگه رو قطع کرد البته تو یه هندسه خاص
    مثلا میخام ببینم دو خط تو دایره همو قطع میکنم
    ممنون میشم راهنمایی بفرمایید .

    • سلام
      در حالت کلی اگر دو خط در فضای دوبعدی موازی نباشند همدیگر را قطع خواهند کرد ولی برای یک هندسه خاص باید ابتدا نقطه تقاطع را بیابیم سپس بررسی کنیم که آیا نقطه تقاطع داخل هندسه مورد نظر ما قرار دارد یا خیر.

  • با سلام. چکونه می شود معادله سهمی بدست آورد که دو خط مماس بر آن رسم شده و فقط نقاط مماس بر این سهمی را داریم . داده مسئله مختصات دونقطه است که گفته منحنی بر این نقطات مماس است؟
    با تشکر زیاد

  • سلام
    خدا قوت ممنونم بخاطر سایت خوبتان
    می خواستم بپرسم آیا از یک نقطه مشخص یک منحنی (تابع) فقط یک خط مماس عبور می کند؟

    راستی خیلی از فارسی زبانان سایر کشورها هم از این سایت استفاده می کنند خوشحال می شوند که زحمات تان را همچون ایرانیان عزیز به آنها نیز تقدیم کنید.
    سپاسگزارم

    • سلام
      اگر مشتق چپ و راست برابر نباشند ممکن است دو مماس چپ و راست داشته باشد.
      با تشکر از همراهی شما فارسی زبانان غیرایرانی عزیز.

  • سلام
    خسته نیاشید..
    کوتاه ترین فاصله نقطه ی ( 2و0) از منحنی رادیکال x چند است؟
    ممنونم از سایتون.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *