خط مماس بر منحنی و خط قائم بر منحنی:

 خط مماس بر منحنی خطی است که در همسایگی نقطه مورد نظر فقط در همان یک نقطه با منحنی تابع تقاطع داشته باشد و خط قائم بر منحنی خطی است که در آن نقطه بر خط مماس بر منحنی عمود باشد. در شکل زیر این موضوع به تصویر کشیده شده است:

خط مماس بر منحنی و خط قائم بر منحنی

برای یافتن معادله خط مماس بر منحنی در نقطه  \left( {{x_0},{y_0}} \right)  کافیست از رابطه   y - {y_0} = m\left( {x - {x_0}} \right)   استفاده کنیم که  m  مشتق تابع  f(x)  در نقطه  {x_0}  است (یعنی  f'\left( {{x_0}} \right)  ) و همچنین معادله خط قائم بر منحنی از رابطه   y - {y_0} = m'\left( {x - {x_0}} \right)  بدست می‌آید که   m' = - \frac{1}{m}   است.

معادله خط مماس بر منحنی:   y - {y_0} = m\left( {x - {x_0}} \right)

معادله خط قائم بر منحنی:  y - {y_0} = m'\left( {x - {x_0}} \right)


گام‌های حل نمونه سوالات مربوط به این مبحث:

برای حل نمونه سوالات مربوط به یافتن «خط مماس بر منحنی و خط قائم بر منحنی» کافیست ابتدا نقطه داده شده ( {x_0}) را در خود تابع قرار می‌دهیم تا   {y_0}  را بیابیم. سپس از تابع مشتق می‌گیریم تا   f'\left( x \right)  به دست آید و  {x_0}  را در   f'\left( x \right)  نیز قرار می‌دهیم تا   f'\left( {{x_0}} \right)  را نیز بیابیم. در نهایت با توجه به   m = f'\left( {{x_0}} \right)   و   m' = - \frac{1}{m}    ، شیب خط مماس بر منحنی و خط قائم بر منحنی را یافته و در دو فرمول بالا قرار می‌دهیم تا معادلات این دو خط پیدا شوند.


این آموزش را نیز مطالعه کنید: قضیه مقدار میانی و قضیه بولتزانو (اثبات وجود ریشه در یک بازه)


مثال: معادله خط مماس بر منحنی و خط قائم بر منحنی تابع   f\left( x \right) = {x^3} - 2x + 4   را در نقطه   {x_0} = 1   بیابید.

حل: ابتدا   {y_0}  و   f'\left( {{x_0}} \right)  را می‌یابیم:

    \[\begin{array}{l} {y_0} = f\left( 1 \right) = {1^3} - 2 \times 1 + 4 = 3\\ f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2 \Rightarrow f'\left( 1 \right) = 3 \times {1^2} - 2 = 1 = m\\ m' = - \frac{1}{m} = - 1 \end{array}\]

سپس معادله خطوط مماس و قائم بر این منحنی را فرمول‌های گفته شده محاسبه می‌کنیم:

معادله خط مماس بر منحنی: y - 3 = 1 \times \left( {x - 1} \right) \Rightarrow y = x + 2

معادله خط قائم بر منحنی:   y - 3 = \left( { - 1} \right) \times \left( {x - 1} \right) \Rightarrow y = - x + 4

تمرین: معادله خطوط مماس و قائم بر منحنی‌های زیر را در نقاط داده شده بیابید.

f\left( x \right) = {x^3}\qquad,\qquad{x_0} = - 1\qquad

\qquadf\left f ( x \right) = \sin x\qquad,\qquad{x_0} = \frac{\pi }{4}

\qquad{x^2} + 3{y^2} = 4\qquad,\qquad\left( {1, - 1} \right)


آموزش تصویری این مبحث:


 

جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری این مبحث، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

مشتق و کاربرد آن

کاربرد مشتق

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

guest
18 دیدگاه ها
قدیمی ترین
جدیدترین بیشترین آرا
Inline Feedbacks
مشاهده همه دیدگاه ها