محاسبه حد چپ و راست

حد چپ و راست:

حد چپ و راست

اگر  x  از سمت عددهای بزرگتر به نقطه مورد نظر نزدیک شود. حد راست و اگر از سمت عددهای کوچکتر نزدیک شود حد چپ بدست می‌آید.

حد چپ و راست در توابع

حد راست: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right)

حد چپ:   \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right)

برای اینکه تابع در یک نقطه حد داشته باشد باید حد چپ و راست موجود و با هم برابر باشند.

    \[\left. \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = L \end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\]

 مثال: تابع   f\left( x \right) = \frac{{\left| x \right|}}{x}  در   x = 0  حد ندارد زیرا:

    \[\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{x} = 1\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - x}}{x} = - 1 \end{array}\]

پس حد چپ و راست   f\left( x \right) = \frac{{\left| x \right|}}{x}  در   x = 0  با یکدیگر برابر نیست. پس تابع در این نقطه حد ندارد.

حد چپ و راست در یک نقطه، اکثراً در توابع شامل قدرمطلق یعنی \left| {u(x)} \right|..یا شامل جزءصحیح یعنی   \left[ {u(x)} \right] با هم می­تواند متفاوت باشد.

 

تابع جزءصحیح \left[ x \right] :

جزء­صحیح یک عدد، بزرگترین عدد صحیحی است که از آن عدد کمتر یا مساوی آن عدد است. اگه یک مقدار پیچیده شد میتونم اینجوری توضیح بدم:

1- اگر عدد داخل جزءصحیح، خودش عدد صحیح باشد. جواب جزءصحیح برابر با همان عدد خواهد بود:

    \[\left[ 5 \right] = 5,\left[ 8 \right] = 8,\left[ 0 \right] = 0,\left[ { - 1} \right] = - 1,\left[ { - 6} \right] = - 6\]

۲- اگر عدد داخل جزءصحیح، عدد غیرصحیح مثبت باشد. جواب جزءصحیح برابر با قسمت صحیح همان عدد خواهد بود:

    \[\left[ {5.6} \right] = 5,\left[ {8.9999} \right] = 8,\left[ {0.73} \right] = 0,\left[ {1.531} \right] = 1,\left[ {6.4} \right] = 6\]

۳- اگر عدد داخل جزءصحیح، عدد غیرصحیح منفی باشد. جواب جزءصحیح برابر با قسمت صحیح همان عدد منهای یک خواهد بود:

    \[\left[ { - 5.6} \right] = - 6,\left[ { - 4.02} \right] = - 5,\left[ { - 0.05} \right] = - 1,\left[ { - 1.902} \right] = - 2,\left[ { - 6.15} \right] = - 7\]

مثال: حاصل حد چپ و‍‍‍ راست تابع .  f\left( x \right) = \frac{{\left[ {{x^2} - 4} \right]}}{{{{\left[ x \right]}^2} - 4}}   را در نقطه   x = 2  بیابید.

حل:

\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left[ {{x^2} - 4} \right]}}{{{{\left[ x \right]}^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left[ {{{\left( {2 + \varepsilon } \right)}^2} - 4} \right]}}{{{{\left[ {2 + \varepsilon } \right]}^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left[ {4 + \varepsilon - 4} \right]}}{{{2^2} - 4}} = \frac{{\left[ \varepsilon \right]}}{{4 - 4}} = \frac{0}{0}

صورت و مخرج صفر واقعی (صفر دقیق) هستند و به دلیل صفر شدن مخرج این حد جواب ندارد. پس حد راست وجود ندارد.

\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left[ {{x^2} - 4} \right]}}{{{{\left[ x \right]}^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left[ {{{\left( {2 - \varepsilon } \right)}^2} - 4} \right]}}{{{{\left[ {2 - \varepsilon } \right]}^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left[ {4 - \varepsilon - 4} \right]}}{{{1^2} - 4}} = \frac{{\left[ { - \varepsilon } \right]}}{{1 - 4}} = \frac{{ - 1}}{{ - 3}} = \frac{1}{3}

پس حد چپ موجود و برابر با   \frac{1}{3}  است.

تمرین: حاصل حد چپ و‍‍‍ راست تابع.    f\left( x \right) = \frac{{1 - \left| x \right|}}{{\left[ x \right] - 1}}   را در نقطه   x = 0  بیابید.

 

 

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

لینک دانلود

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

guest
0 دیدگاه ها
Inline Feedbacks
مشاهده همه دیدگاه ها