حد چپ و راست در توابع حقیقی و محاسبه آنها

حد چپ و راست:

حد چپ و راست

اگر $x$ از سمت عددهای بزرگتر به نقطه مورد نظر نزدیک شود. حد راست و اگر از سمت عددهای کوچکتر نزدیک شود حد چپ بدست می‌آید.

حد راست: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right)$

حد چپ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right)$

برای اینکه تابع در یک نقطه حد داشته باشد باید حد چپ و راست موجود و با هم برابر باشند.

$\left. \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = L \end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L$

مثال: تابع $f\left( x \right) = \frac{{\left| x \right|}}{x}$ در $x = 0$ حد ندارد زیرا:

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{x} = 1\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - x}}{x} = - 1 \end{array}$

پس حد چپ و راست $f\left( x \right) = \frac{{\left| x \right|}}{x}$ در $x = 0$ با یکدیگر برابر نیست. پس تابع در این نقطه حد ندارد.

حد چپ و راست در یک نقطه، اکثراً در توابع شامل قدرمطلق یعنی $\left| {u(x)} \right|$ ..یا شامل جزءصحیح یعنی $\left[ {u(x)} \right]$ با هم میتواند متفاوت باشد.

تابع جزءصحیح $\left[ x \right]$ :

جزءصحیح یک عدد، بزرگترین عدد صحیحی است که از آن عدد کمتر یا مساوی آن عدد است. اگه یک مقدار پیچیده شد میتونم اینجوری توضیح بدم:

1- اگر عدد داخل جزءصحیح، خودش عدد صحیح باشد. جواب جزءصحیح برابر با همان عدد خواهد بود:

$\left[ 5 \right] = 5,\left[ 8 \right] = 8,\left[ 0 \right] = 0,\left[ { - 1} \right] = - 1,\left[ { - 6} \right] = - 6$

۲- اگر عدد داخل جزءصحیح، عدد غیرصحیح مثبت باشد. جواب جزءصحیح برابر با قسمت صحیح همان عدد خواهد بود:

$\left[ {5.6} \right] = 5,\left[ {8.9999} \right] = 8,\left[ {0.73} \right] = 0,\left[ {1.531} \right] = 1,\left[ {6.4} \right] = 6$

۳- اگر عدد داخل جزءصحیح، عدد غیرصحیح منفی باشد. جواب جزءصحیح برابر با قسمت صحیح همان عدد منهای یک خواهد بود:

$\left[ { - 5.6} \right] = - 6,\left[ { - 4.02} \right] = - 5,\left[ { - 0.05} \right] = - 1,\left[ { - 1.902} \right] = - 2,\left[ { - 6.15} \right] = - 7$

مثال: حاصل حد چپ و‍‍‍ راست تابع . $f\left( x \right) = \frac{{\left[ {{x^2} - 4} \right]}}{{{{\left[ x \right]}^2} - 4}}$ را در نقطه $x = 2$ بیابید.

حل:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left[ {{x^2} - 4} \right]}}{{{{\left[ x \right]}^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left[ {{{\left( {2 + \varepsilon } \right)}^2} - 4} \right]}}{{{{\left[ {2 + \varepsilon } \right]}^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left[ {4 + \varepsilon - 4} \right]}}{{{2^2} - 4}} = \frac{{\left[ \varepsilon \right]}}{{4 - 4}} = \frac{0}{0}$

صورت و مخرج صفر واقعی (صفر دقیق) هستند و به دلیل صفر شدن مخرج این حد جواب ندارد. پس حد راست وجود ندارد.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left[ {{x^2} - 4} \right]}}{{{{\left[ x \right]}^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left[ {{{\left( {2 - \varepsilon } \right)}^2} - 4} \right]}}{{{{\left[ {2 - \varepsilon } \right]}^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left[ {4 - \varepsilon - 4} \right]}}{{{1^2} - 4}} = \frac{{\left[ { - \varepsilon } \right]}}{{1 - 4}} = \frac{{ - 1}}{{ - 3}} = \frac{1}{3}$

پس حد چپ موجود و برابر با $\frac{1}{3}$ است.

تمرین: حاصل حد چپ و‍‍‍ راست تابع. $f\left( x \right) = \frac{{1 - \left| x \right|}}{{\left[ x \right] - 1}}$ را در نقطه $x = 0$ بیابید.

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

لینک دانلود

امین یارمحمدی

1396-06-07

حد و پیوستگی

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.