حد و تعریف آن و پیوستگی

 حد و تعریف آن:

قبل از آموزش حد و تعریف آن باید یادآوری کنیم که ما وقتی بخواهیم مقدار یک تابع در یک نقطه را پیدا کنیم کافیست آن عدد را به جای   x   در تابع قرار بدهیم. مثلاً:

f\left( x \right) = {x^2} + 3x - 4 \Rightarrow f\left( 2 \right) = {2^2} + 3 \times 2 - 4 = 6

ولی برای محاسبه حد در یک نقطه، باید اعداد نزدیک به آن عدد را در تابع قرار دهیم تا ببینیم جوابها نزدیک چه عددی است. مثلا برای مثال بالا داریم:

f\left( x \right) = {x^2} + 3x - 4 \Rightarrow f\left( {2.001} \right) = {2.001^2} + 3 \times 2.001 - 4 = 6.007001

ملاحظه می‌کنید که جواب نزدیک ۶ شد پس حد تابع در   x=2  برابر است با ۶. یعنی اگر   x  از چپ و راست به سمت ۲ نزدیک شود،  y  از بالا یا پایین به ۶ نزدیک می‌شود. در شکل زیر این موضوع نشان داده شده است:

حد و پیوستگی

حد یک تابع در نقطه x = {x_0}  را با نماد زیر نمایش می‌دهند:

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\]

مثلا برای تابع بالا می‌نویسیم:

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} + 3x - 4 = 6\]

اصولا در امتحانات ریاضی عمومی اجازه استفاده از ماشین حساب نداریم پس باید از روش‌های دیگری برای محاسبه حد استفاده کنیم.

کلا حد و تعریف آن به صورت زیر است:

\forall \varepsilon > 0{\rm{ }}\exists \delta > 0{\rm{ ; }}0 < \left| {x - a} \right| < \delta {\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}\left| {f(x) - L} \right| < \varepsilon {\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = L

یعنی به ازای هر   \varepsilon  (اپسیلون) مثبت خیلی کوچک، یک  \delta  (دلتا) مثبت وجود دارد که اگر فاصله   x  از  a کمتر از  \delta  باشد (در مثال بالا   \delta = 0.001  ) آنگاه فاصله   f\left( x \right) ‌ از حد تابع کمتر از   \varepsilon  شود (در مثال بالا   \varepsilon = 0.007001 )

شکل زیر این موضوع را به صورت هندسی نمایش می‌دهد:

حد و تعریف آن

اگر محاسبه حد را به کمک تعریف حد بخواهند باید با تشکیل   \left| {f(x) - L} \right| < \varepsilon  سعی کنیم به  \left| {x - a} \right| < \delta {\rm{ }}  برسیم و رابطه‌ای بین  \varepsilon  و  \delta  بیابیم.

مثال: به کمک تعریف حد ثابت کنید \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} = 4

حل: باید از  \left| {f(x) - L} \right| < \varepsilon  (در این سوال \left| {{x^2} - 4} \right| < \varepsilon) به  \left| {x - a} \right| < \delta  (در این سوال \left| {x - 2} \right| < \delta )  برسیم:

    \[\left| {{x^2} - 4} \right| < \varepsilon \Rightarrow \left| {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)} \right| < \varepsilon \Rightarrow \left| {x - 2} \right| < \frac{\varepsilon }{{\left| {x + 2} \right|}}\left| {x - 2} \right| < \frac{\varepsilon }{4}\]

حال که به \left| {x - 2} \right| < \frac{\varepsilon }{4}  رسیدیم، با مقایسه با \left| {x - 2} \right| < \delta به این نتیجه می‌رسیم که \delta < \frac{\varepsilon }{4}

تمرین:

به کمک تعریف حد، ثابت کنید:

\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} x + 2 = 6

\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^3} - 4 = - 3

\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x - 4}}{{x + 1}} = - 4


آموزش تصویری این مبحث:


جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

حد و پیوستگی

تعریف حدحدریاضی ۱ریاضی عمومی ۱

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

guest
5 دیدگاه ها
قدیمی ترین
جدیدترین بیشترین آرا
Inline Feedbacks
مشاهده همه دیدگاه ها