حد و تعریف آن:

قبل از آموزش حد و تعریف آن باید یادآوری کنیم که ما وقتی بخواهیم مقدار یک تابع در یک نقطه را پیدا کنیم کافیست آن عدد را به جای $x$ در تابع قرار بدهیم. مثلاً:

$f\left( x \right) = {x^2} + 3x - 4 \Rightarrow f\left( 2 \right) = {2^2} + 3 \times 2 - 4 = 6$

ولی برای محاسبه حد در یک نقطه، باید اعداد نزدیک به آن عدد را در تابع قرار دهیم تا ببینیم جوابها نزدیک چه عددی است. مثلا برای مثال بالا داریم:

$f\left( x \right) = {x^2} + 3x - 4 \Rightarrow f\left( {2.001} \right) = {2.001^2} + 3 \times 2.001 - 4 = 6.007001$

ملاحظه می‌کنید که جواب نزدیک ۶ شد پس حد تابع در $x=2$ برابر است با ۶. یعنی اگر $x$ از چپ و راست به سمت ۲ نزدیک شود، $y$ از بالا یا پایین به ۶ نزدیک می‌شود. در شکل زیر این موضوع نشان داده شده است:

حد یک تابع در نقطه $x = {x_0}$ را با نماد زیر نمایش می‌دهند:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)$

مثلا برای تابع بالا می‌نویسیم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} + 3x - 4 = 6$

اصولا در امتحانات ریاضی عمومی اجازه استفاده از ماشین حساب نداریم پس باید از روش‌های دیگری برای محاسبه حد استفاده کنیم.

کلا حد و تعریف آن به صورت زیر است:

$\forall \varepsilon > 0{\rm{ }}\exists \delta > 0{\rm{ ; }}0 < \left| {x - a} \right| < \delta {\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}\left| {f(x) - L} \right| < \varepsilon {\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = L$

یعنی به ازای هر $\varepsilon$ (اپسیلون) مثبت خیلی کوچک، یک $\delta$ (دلتا) مثبت وجود دارد که اگر فاصله $x$ از $a$ کمتر از $\delta$ باشد (در مثال بالا $\delta = 0.001$ ) آنگاه فاصله $f\left( x \right)$ ‌ از حد تابع کمتر از $\varepsilon$ شود (در مثال بالا $\varepsilon = 0.007001$ )

شکل زیر این موضوع را به صورت هندسی نمایش می‌دهد:

اگر محاسبه حد را به کمک تعریف حد بخواهند باید با تشکیل $\left| {f(x) - L} \right| < \varepsilon$ سعی کنیم به $\left| {x - a} \right| < \delta {\rm{ }}$ برسیم و رابطه‌ای بین $\varepsilon$ و $\delta$ بیابیم.

مثال: به کمک تعریف حد ثابت کنید $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} = 4$

حل: باید از $\left| {f(x) - L} \right| < \varepsilon$ (در این سوال $\left| {{x^2} - 4} \right| < \varepsilon$ ) به $\left| {x - a} \right| < \delta$ (در این سوال $\left| {x - 2} \right| < \delta$ ) برسیم:

$\left| {{x^2} - 4} \right| < \varepsilon \Rightarrow \left| {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)} \right| < \varepsilon \Rightarrow \left| {x - 2} \right| < \frac{\varepsilon }{{\left| {x + 2} \right|}}\left| {x - 2} \right| < \frac{\varepsilon }{4}$

حال که به $\left| {x - 2} \right| < \frac{\varepsilon }{4}$ رسیدیم، با مقایسه با $\left| {x - 2} \right| < \delta$ به این نتیجه می‌رسیم که $\delta < \frac{\varepsilon }{4}$

تمرین:

به کمک تعریف حد، ثابت کنید:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} x + 2 = 6$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^3} - 4 = - 3$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x - 4}}{{x + 1}} = - 4$

آموزش تصویری این مبحث:

جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:

پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه (۵ فصل + ضمیمه مثلثات)
امتیاز 4.75 از 5
۱۳۹,۰۰۰ تومان افزودن به سبد خرید

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1396-05-09

حد و پیوستگی

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.