جبر اعداد مختلط:

جبر اعداد مختلط به اعمال ساده جبری مانند جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و … بر روی اعداد مختلط گفته می‌شود. جبر اعداد مختلط پایه و اساس محاسبات اعداد مختلط است. برای جمع و تفریق اعداد مختلط کافیست قسمتهای حقیقی و موهومی، به صورت جداگانه با هم جمع و تفریق شوند:

$\begin{array}{l} {z_1} = {x_1} + i{y_1}\\ {z_2} = {x_2} + i{y_2}\\ {z_1} + {z_2} = ({x_1} + i{y_1}) + ({x_2} + i{y_2}) = ({x_1} + {x_2}) + i({y_1} + {y_2})\\ {z_1} - {z_2} = ({x_1} + i{y_1}) - ({x_2} + i{y_2}) = ({x_1} - {x_2}) + i({y_1} - {y_2}) \end{array}$

مثلاً:

$\begin{array}{l} {z_1} = 3 + 7i\\ {z_2} = 1 + 3i\\ {z_1} + {z_2} = 4 + 10i\\ {z_1} - {z_2} = 2 + 4i \end{array}$

برای ضرب کردن اعداد مختلط در جبر اعداد مختلط باید تمام قسمت‌ها در یکدیگر ضرب شوند:

$\begin{array}{l} {z_1} = {x_1} + i{y_1}\\ {z_2} = {x_2} + i{y_2}\\ {z_1} \times {z_2} = ({x_1} + i{y_1}) \times ({x_2} + i{y_2}) = {x_1}{x_2} + i{x_1}{y_2} + i{y_1}{x_2} + i{y_1}i{y_2}\\ \Rightarrow {z_1} \times {z_2} = ({x_1}{x_2} - {y_1}{y_2}) + i({x_1}{y_2} + {y_1}{x_2}) \end{array}$

توجه کنید که: $i \times i = {i^2} = - 1$

مثلاً:

$\begin{array}{l} {z_1} = 2 + 3i\\ {z_2} = 5 + 7i\\ {z_1} \times {z_2} = (2 + 3i) \times (5 + 7i) = 10 + 14i + 15i + 21{i^2} = - 11 + 29i \end{array}$

نکته: حاصلضرب هر عدد در مزدوج خودش برابر است با یک عدد حقیقی که مجموع مجذورات دو قسمت حقیقی و موهومی آن عدد مختلط است. یعنی:

$\begin{array}{l} z = x + iy\\ \overline z = x - iy\\ z \times \overline z = (x + iy) \times (x - iy) = {x^2} - ixy + iyx - {i^2}{y^2} = {x^2} + {y^2} = {\left| z \right|^2} \end{array}$

نکته: $z\overline z = {\left| z \right|^2$

مثلاً:

$\begin{array}{l} z = 3 + 5i\\ \overline z = 3 - 5i\\ z \times \overline z = {3^2} + {5^2} = 9 + 25 = 34 \end{array}$

این خاصیت در هر جایی از جبر اعداد مختلط که ما نیاز به تبدیل عدد مختلط به عدد حقیقی را داریم به درد می‌خورد. مثلاً برای تقسیم دو عدد مختلط کافیست صورت و مخرج کسر را در مزدوج مخرج ضرب کنیم تا مخرج تبدیل به یک عدد حقیقی شده و جواب کسر بدست آید:

$\begin{array}{l} {z_1} = {x_1} + i{y_1}\\ {z_2} = {x_2} + i{y_2}\\ \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{{x_1} + i{y_1}}}{{{x_2} + i{y_2}}} = \frac{{{x_1} + i{y_1}}}{{{x_2} + i{y_2}}} \times \frac{{{x_2} - i{y_2}}}{{{x_2} - i{y_2}}} = \frac{{({x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}) + i( - {x_1}{y_2} + {y_1}{x_2})}}{{{x_2}^2 + {y_2}^2}}\\ = (\frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}}}{{{x_2}^2 + {y_2}^2}}) + i(\frac{{ - {x_1}{y_2} + {y_1}{x_2}}}{{{x_2}^2 + {y_2}^2}}) \end{array}$

به طور مثال:

$\begin{array}{l} {z_1} = 4 - 2i\\ {z_2} = 3 + 4i\\ \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{4 - 2i}}{{3 + 4i}} = \frac{{4 - 2i}}{{3 + 4i}} \times \frac{{3 - 4i}}{{3 - 4i}} = \frac{{12 - 16i - 6i + \overbrace {8{i^2}}^{ - 8}}}{{{3^2} + {4^2}}} = \frac{4}{{25}} - \frac{{22}}{{25}}i \end{array}$

تمرین: اعداد زیر را دو به دو با هم جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کنید.

1- $z_2 = - 2 - i,{z_1} = \sqrt 2 - 2i$

2- $z_2 = 3 + 2i,{z_1} = 4 + 2\sqrt 2i$

3- $z_2 = 1 - 2i,{z_1} = 3 + 2i$

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1396-02-28

اعداد و توابع مختلط

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.