تقریب تابع و تقریب توابع

تقریب تابع:

هرگاه مقدار تابع را درنقطه‌ای بخواهند که مقدار دقیق تابع در نزدیکی آن نقطه را بدانیم باید از روش «تقریب تابع» استفاده کنیم. فرمول کلی تقریب به صورت زیر است:

f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \simeq f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x

یعنی اگر نقطه مورد نظر (یعنی  {x_0} + \Delta x ) با نقطه‌ای که مقدار دقیق آن را میتوانیم محاسبه کنیم (یعنی  {x_0} ) به اندازه  \Delta x  فاصله داشته باشد، کافیست مقدار تابع و مشتق تابع را در  {x_0}  یافته و در معادله بالا قرار دهیم. اگر نقطه داده شده بیشتر از  {x_0}  باشد  \Delta x > 0  و اگر کمتر باشد  \Delta x < 0  است. علامت  \Delta x  را خودمان باید در فرمول لحاظ کنیم. به کمک چند مثال این مبحث را بیشتر توضیح می‌دهیم.

 

مثال: حاصل  \sqrt {26}   را بیابید.

حل: ابتدا تابع  f\left( x \right) = \sqrt x   را تعریف می‌کنیم سپس مقدار تابع را در  x = 26  می‌یابیم.

    \[\begin{array}{l} f\left( x \right) = \sqrt x \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }}{\rm{ }}\quad,\quad{x_0} = 25\quad,\quad\Delta x = + 1\\ \\ \Rightarrow f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {25} \right) = \sqrt {25} = 5{\rm{ }}\\ \\ f'\left( {{x_0}} \right) = {\rm{ }}f'\left( {25} \right) = \frac{1}{{2\sqrt {25} }} = \frac{1}{{10}} = 0.1\\ \\ f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \simeq f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x\\ \\ \Rightarrow f\left( {26} \right) \simeq f\left( {25} \right) + f'\left( {25} \right) \times 1 = 5 + 0.1 = 5.1 \end{array}\]

در این مثال، عددی که تقریب تابع را در آن نقطه می‌خواهیم (یعنی  x = 26 ) حساب کنیم از عددی که تابع در آن نقطه مقدار دقیق دارد (یعنی  x_0 = 25 ) بزرگتر است. پس  \Delta x  را در فرمول به صورت مثبت جای‌گذاری می‌کنیم.


این آموزش را نیز مطالعه کنید: مجانب‌های منحنی (یافتن خطوط مماس برتابع در فواصل دور)


نکته مهم: برای محاسبه تقریب توابع مثلثاتی باید زوایا را حتماً بر حسب رادیان وارد کنیم.

 

مثال: حاصل  \sin {28^ \circ }   را بیابید.

حل: تابع  f\left( x \right) = \sin x  ‌ را تعریف کرده و مسئله را حل می‌کنیم. در محاسبات، زوایا را باید بر حسب رادیان جایگذاری کنیم. نزدیک‌ترین زاویه‌ای که سینوس آن را می‌دانیم  {30^ \circ }  یا همان  \frac{\pi }{6}   است.

    \[\begin{array}{l} f\left( x \right) = \sin x \Rightarrow f'\left( x \right) = \cos x\\ \\ {x_0} = {30^ \circ } = \frac{\pi }{6}\\ \\ \Delta x = - {2^ \circ } = - 2 \times \frac{\pi }{{180}} = - \frac{\pi }{{90}}\\ \\ \Rightarrow f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\\ \\ {\rm{ }}f'\left( {{x_0}} \right) = {\rm{ }}f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \end{array}\]

    \[\begin{array}{l} f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \simeq f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x\\ \\ \Rightarrow f\left( {{{28}^ \circ }} \right) \simeq f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) + f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) \times \left( { - \frac{\pi }{{90}}} \right)\\ \\ \Rightarrow f\left( {{{28}^ \circ }} \right) \simeq \frac{1}{2}{\rm{ }} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} \times \left( { - \frac{\pi }{{90}}} \right) = \frac{1}{2} - \frac{{\pi \sqrt 3 }}{{180}} \end{array}\]

در این مثال، عددی که تقریب تابع را در آن نقطه می‌خواهیم (یعنی  x = 28 \times \frac{\pi }{{180}}  ) حساب کنیم از عددی که تابع در آن نقطه مقدار دقیق دارد (یعنی  {x_0} = \frac{\pi }{6}  ) کوچکتر است. پس  \Delta x  را در فرمول به صورت منفی جای‌گذاری می‌کنیم.

 

تمرین: مقدار تقریبی  {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} \left( {1.02} \right)  ‌ را بیابید.


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

لینک دانلود

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

guest
10 دیدگاه ها
قدیمی ترین
جدیدترین بیشترین آرا
Inline Feedbacks
مشاهده همه دیدگاه ها