تقریب تابع و تقریب توابع

تقریب تابع:

هرگاه مقدار تابع را درنقطه‌ای بخواهند که مقدار دقیق تابع در نزدیکی آن نقطه را بدانیم باید از روش «تقریب تابع» استفاده کنیم. فرمول کلی تقریب به صورت زیر است:

f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \simeq f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x

یعنی اگر نقطه مورد نظر (یعنی  {x_0} + \Delta x ) با نقطه‌ای که مقدار دقیق آن را میتوانیم محاسبه کنیم (یعنی  {x_0} ) به اندازه  \Delta x  فاصله داشته باشد، کافیست مقدار تابع و مشتق تابع را در  {x_0}  یافته و در معادله بالا قرار دهیم. اگر نقطه داده شده بیشتر از  {x_0}  باشد  \Delta x > 0  و اگر کمتر باشد  \Delta x < 0  است. علامت  \Delta x  را خودمان باید در فرمول لحاظ کنیم. به کمک چند مثال این مبحث را بیشتر توضیح می‌دهیم.

 

مثال: حاصل  \sqrt {26}   را بیابید.

حل: ابتدا تابع  f\left( x \right) = \sqrt x   را تعریف می‌کنیم سپس مقدار تابع را در  x = 26  می‌یابیم.

    \[\begin{array}{l} f\left( x \right) = \sqrt x \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }}{\rm{ }}\quad,\quad{x_0} = 25\quad,\quad\Delta x = + 1\\ \\ \Rightarrow f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {25} \right) = \sqrt {25} = 5{\rm{ }}\\ \\ f'\left( {{x_0}} \right) = {\rm{ }}f'\left( {25} \right) = \frac{1}{{2\sqrt {25} }} = \frac{1}{{10}} = 0.1\\ \\ f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \simeq f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x\\ \\ \Rightarrow f\left( {26} \right) \simeq f\left( {25} \right) + f'\left( {25} \right) \times 1 = 5 + 0.1 = 5.1 \end{array}\]

در این مثال، عددی که تقریب تابع را در آن نقطه می‌خواهیم (یعنی  x = 26 ) حساب کنیم از عددی که تابع در آن نقطه مقدار دقیق دارد (یعنی  x_0 = 25 ) بزرگتر است. پس  \Delta x  را در فرمول به صورت مثبت جای‌گذاری می‌کنیم.


این آموزش را نیز مطالعه کنید: مجانب‌های منحنی (یافتن خطوط مماس برتابع در فواصل دور)


نکته مهم: برای محاسبه تقریب توابع مثلثاتی باید زوایا را حتماً بر حسب رادیان وارد کنیم.

 

مثال: حاصل  \sin {28^ \circ }   را بیابید.

حل: تابع  f\left( x \right) = \sin x  ‌ را تعریف کرده و مسئله را حل می‌کنیم. در محاسبات، زوایا را باید بر حسب رادیان جایگذاری کنیم. نزدیک‌ترین زاویه‌ای که سینوس آن را می‌دانیم  {30^ \circ }  یا همان  \frac{\pi }{6}   است.

    \[\begin{array}{l} f\left( x \right) = \sin x \Rightarrow f'\left( x \right) = \cos x\\ \\ {x_0} = {30^ \circ } = \frac{\pi }{6}\\ \\ \Delta x = - {2^ \circ } = - 2 \times \frac{\pi }{{180}} = - \frac{\pi }{{90}}\\ \\ \Rightarrow f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\\ \\ {\rm{ }}f'\left( {{x_0}} \right) = {\rm{ }}f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \end{array}\]

    \[\begin{array}{l} f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \simeq f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x\\ \\ \Rightarrow f\left( {{{28}^ \circ }} \right) \simeq f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) + f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) \times \left( { - \frac{\pi }{{90}}} \right)\\ \\ \Rightarrow f\left( {{{28}^ \circ }} \right) \simeq \frac{1}{2}{\rm{ }} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} \times \left( { - \frac{\pi }{{90}}} \right) = \frac{1}{2} - \frac{{\pi \sqrt 3 }}{{180}} \end{array}\]

در این مثال، عددی که تقریب تابع را در آن نقطه می‌خواهیم (یعنی  x = 28 \times \frac{\pi }{{180}}  ) حساب کنیم از عددی که تابع در آن نقطه مقدار دقیق دارد (یعنی  {x_0} = \frac{\pi }{6}  ) کوچکتر است. پس  \Delta x  را در فرمول به صورت منفی جای‌گذاری می‌کنیم.

 

تمرین: مقدار تقریبی  {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} \left( {1.02} \right)  ‌ را بیابید.


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

مشتق و کاربرد آن

تقریب تابعکاربرد مشتقمشتق

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

10 دیدگاه

  • grazi molto grazi
    ببخشید دیگه نمیدونستم با چه زبونی از زحمتتون تشکر کنم

  • فقط کاش اینم ذکر میکردید که اون رابطه دیفرانسیلی از کجا اومده،

    • سلام
      با تشکر از مطالعه آموزش‌های ما، می‌دانیم مشتق از رابطه زیر به دست می‌آید:

      f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}

      پس اگر {\Delta x} کوچک باشد داریم:

      f'\left( x \right) \approx \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}

      که با مرتب کردن این رابطه می‌توان به راحتی {f\left( {{x_0} + \Delta x} \right)} را یافت که رابطه داده شده در آموزش بالا به دست می‌آید.

  • سلام, ممنونم از توضیحاتتون

    علت اینکه نمیشه برحسب درجه گذاشت چیه؟
    چرا باید حتما به رادیان تبدیل کنیم؟؟

    • سلام
      چون توابع مثلثاتی با فرض s = r\theta ایجاد شده‌اند که در این فرمول مقدار \theta باید بر حسب رادیان باشد تا طول کمان به درستی به دست آید و در هر سیستم مختصاتی، دوره تناوب سینوس و کسینوس برابر با 2\pi است نه 360

  • دوستان عزیز جناب مهندس یار محمدی از دوستان هم دوره ما در دانشگاه بودند و از افراد با سواد و لایق هستند.
    ایشون از رتبه های خوب ورودی دوره کارشناسی در دانشگاه علم و صنعت بودند و خدا را شکر که در امر آموزش میشه از این افراد لایق استفاده بشه

  • با سلام خدمت شما استاد گرامی میشه مقدار تقریبی 1397^(1.001) را با استفاده از دیفرانسیل حساب کرد؟

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *