تابع چند متغیره

تابع چند متغیره:

تابع تک متغیره به فرم y = f\left( x \right) فقط به یک متغیر وابسته بود مانند f\left( x \right) = - 2{x^3} + \sin x - 5. که با مشخص بودن فقط یک متغیر یعنیx می‌توانستیم مقدار تابع را بیابیم. ولی در تابع دو متغیره z = f\left( {x,y} \right) باید هر دو متغیر x و y مشخص باشند تا مقدار تابع را بیابیم. مانند f\left( {x,y} \right) = 4{x^2} - 3yx + \frac{{4x - 1}}{{\sin \left( {{x^4}{y^7}} \right)}} و به همین ترتیب در تابع سه متغیره به فرم w = f\left( {x,y,z} \right)‌ برای یافتن مقدار تابع، باید سه متغیر y ، x و z مشخص باشند.

در کل برای تابع چند متغیره (Multivariable Function) باید تمام متغیرها برای یافتن مقدار تابع داده شده باشد که البته در سوالات امتحانی دانشگاه‌ها معمولاً از توابع دو متغیره یا سه متغیره سوال داده می‌شود که با مطالعه این آموزش و آموزش‌های بعدی و استفاده از آموزش‌های تصویری سایت «مسیرفردا» این نوع سوالات که جزو ساده‌ترین مسائل درس ریاضی عمومی ۲ دانشگاه هستند حل می‌شوند.


مثال: مقدار توابع زیر را در نقاط داده شده بیابید.

\begin{array}{l} 1)f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 1{\rm{ x = 2}}\\ \\ 2)f\left( {x,y} \right) = - 2{x^2}y + y + 3x - 5{\rm{ }}\left( {x,y} \right) = \left( {2, - 1} \right)\\ \\ 3)f\left( {x,y,z} \right) = 5x{z^2} - {\rm{2y}} + 3z{\rm{ }}\left( {x,y,z} \right) = \left( {3,1, - 2} \right) \end{array}


حل: این توابع به ترتیب تک متغیره، دو متغیره و چند متغیره هستند.


\begin{array}{l} 1)f\left( {\rm{2}} \right) = 3 \times {2^2} - 2 \times 2 + 1 = 9\\ \\ 2)f\left( {2, - 1} \right) = - 2 \times {2^2} \times \left( { - 1} \right) - 1 + 3 \times 2 - 5 = 8\\ \\ 3)f\left( {3,1, - 2} \right) = 5 \times 3 \times {\left( { - 2} \right)^2} - {\rm{2}} \times {\rm{1}} + 3 \times \left( { - 2} \right) = 52 \end{array}

تابع تک متغیره یک ورودی (مانند x) و یک خروجی (مانند y) دارند. به همین دلیل آنها را به فرم زیر نمایش می‌دهند:

f:R \to R

به همین ترتیب تابع دو متغیره را به فرم f:{R^2} \to R و کلاً تابع چند متغیره با n متغیر را به فرم f:{R^n} \to R نمایش می‌دهند.


دامنه تابع چند متغیره:


در تابع تک متغیره از چهار قانون زیر برای یافتن دامنه توابع استفاده میشد:


۱- مخرج کسر نباید صفر باشد.

f\left( x \right) = \frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}{\rm{ }} \to {\rm{ }}Q\left( x \right) \ne 0

۲- زیر رادیکال با فرجه زوج نباید منفی باشد.

f\left( x \right) = \sqrt[{2n}]{{P\left( x \right)}}{\rm{ }} \to {\rm{ }}P\left( x \right) \ge 0

۳- داخل لگاریتم باید مثبت باشد.

    \[f\left( x \right) = {\log _{Q\left( x \right)}}\left( {P\left( x \right)} \right) \to P\left( x \right) > 0\]

۴- پایه لگاریتم باید مثبت و مخالف یک باشد.

    \[f\left( x \right) = {\log _{Q\left( x \right)}}\left( {P\left( x \right)} \right) \to P\left( x \right) > 0\]


در تابع چند متغیره نیز همین شرایط را برای یافتن ناحیه‌ای از سطح، فضا و… که تابع در آن تعریف شده باشد استفاده می‌کنیم.


دامنه تابع تک متغیره:

زیر مجموعه‌ای از اعداد حقیقی است پس میتوان بر روی یک محور افقی نمایش داد.
مثال:

\begin{array}{l} f\left( x \right) = \sqrt { - {x^2} + 4x - 3} {\rm{ }} \to {\rm{ }} - {x^2} + 4x - 3 \ge 0\\ \\ \to {D_f} = \left( {1,3} \right) \end{array}

دامنه تابع تک متغیره

دامنه تابع دو متغیره:

مجموعه‌ای از‌ زوج مرتب‌ها به صورت \left( {x,y} \right) است که x و y اعداد حقیقی هستند پس میتوان دامنه را بر روی یک صفحه دو بعدی نمایش داد.
مثال:

\begin{array}{l} f\left( {x,y} \right) = \sqrt {25 - {x^2} - {y^2}} {\rm{ }} \to {\rm{ 2}}5 - {x^2} - {y^2} \ge 0\\ \\ \to {D_f} = \left\{ {\left( {x,y} \right)\left| {{x^2} + {y^2} \le 25} \right.} \right\} \end{array}

یعنی روی و داخل دایره‌ای به مرکز مبد‌أ و شعاع ۵:

دامنه تابع دو متغیره

دامنه تابع سه متغیره:

مجموعه‌ای از‌ سه‌تایی‌های مرتب به صورت \left( {x,y,z} \right) است که x ، y و z اعداد حقیقی هستند پس میتوان دامنه را در یک فضای سه بعدی نمایش داد.
مثال:

\begin{array}{l} f\left( {x,y,z} \right) = \sqrt {9 - {x^2} - {y^2} - {z^2}} {\rm{ }}\\ \\ \to {\rm{ }}9 - {x^2} - {y^2} - {z^2} \ge 0\\ \\ \to {D_f} = \left\{ {\left( {x,y,z} \right)\left| {{x^2} + {y^2} + {z^2} \le 9} \right.} \right\} \end{array}

یعنی روی و داخل کره‌ای به مرکز مبدأ و شعاع ۴:

دامنه تابع سه متغیره

مثال: دامنه تابع f\left( {x,y} \right) = \frac{{4x - {y^2}{x^3} + 6{y^2}}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 11} }} را یافته و رسم کنید.


حل: عبارت {x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 11 هم زیر رادیکال است که باید بزرگتر یا مساوی صفر باشد و هم در مخرج است که باید مخالف صفر باشد پس کلاً باید بزرگتر از صفر باشد. یعنی دامنه این تابع عبارت است از:

\begin{array}{l} {x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 11 > 0 \Rightarrow \\ \\ {x^2} - 4x + 4 - 4 + {y^2} + 2y + 1 - 1 - 11 > 0\\ \\ \Rightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} > 16 \end{array}

یعنی خارج دایره‌ای به مرکز \left( {2, - 1} \right)‌ و شعاع R = 4 که در شکل زیر رسم شده است:

دامنه تابع چند متغیره

مثال: دامنه تابع f\left( {x,y,z} \right) = \log \left( {z - {x^2} - {y^2} - 1} \right) را یافته و آن را ترسیم کنید.

حل: عبارت z - {x^2} - {y^2} - 1 داخل لگاریتم قرار دارد پس باید مثبت باشد:

z - {x^2} - {y^2} - 1 > 0 \Rightarrow z > {x^2} + {y^2} + 1

یعنی بالای سهمی‌گون z = {x^2} + {y^2} + 1 که در شکل زیر نمایش داده شده است:

دامنه تابع سه متغیره


نمایش تابع چند متغیره:

تابع تک متغیره به فرم y = f\left( x \right) را می‌توان در صفحه دو بعدی نمایش داد. محور افقی محورxها و محور عمودی محورyها. مانند:

نمودار تابع تک متغیره

تابع دو متغیره به فرم z = f\left( {x,y} \right) را می‌توان در فضای سه بعدی نمایش داد. صفحه افقی شامل محورxها و محورyها محور عمودی محورzها. مانند:

نمودار تابع دو متغیره

تابع سه متغیره به فرم w = f\left( {x,y,z} \right) و توابع با تعداد متغیرهای بیشتر قابل نمایش در فضای سه بعدی که در آن زندگی می‌کنیم نیستند (افراد عجیبی وجود دارند که ادعا می‌کنند فضای مکانی چهار بعدی و حتی بالاتر! را هم درک می‌کنند!). پس اگر بخواهیم یک تابع را ترسیم کنیم حداکثر باید دو متغیر داشته باشد ولی دامنه تابع سه متغیره (همانطور که بالاتر توضیح داده شد) را نیز در دو بعد می‌توانیم نمایش دهیم ولی خود تابع سه بعدی قابل ترسیم نیست. مثلاً ابرمکعب چهاربعدی تسرکت اگر در فضای سه بعدی رسم میشد چیزی شبیه شکل زیر میشد ولی در تسرکت تمام اضلاع عمود بر هم هستند که در فضای سه بعدی قابل درک نیست.

ابرمکعب چهاربعدی تسرکت

پس کلاً تابع چند متغیره با بیش از دو متغیر قابل نمایش در فضای سه بعدی نیست.


کاربرد تابع چند متغیره:

زمانی که یک پارامتر به بیش از یک متغیر وابسته باشد میتوان از تابع چند متغیره برای مدلسازی ریاضی استفاده کرد. به طور مثال میزان غلظت یک دارو در بدن انسان به دو پارامتر اصلی وابسته است: دوز داروی دریافتی و زمانی که از دریافت دارو گذشته است. پس یک داروساز باید بتواند تابعی بر حسب میزان داروی دریافتی و زمان دریافت دارو را بیابد که با قرار دادن این دو پارامتر در تابع، میزان غلظت دارو به دست آید. به طور مثال تابع f\left( {x,y} \right) = {e^{x - y}} میتواند یک تقریب مناسب برای این موضوع باشد که x میزان داروی دریافتی و y زمانی که از دریافت دارو گذشته است. هر چه x بیشتر باشد غلظت دارو در زمانهای ثابت در بدن بیشتر و هر چه y بیشتر شود (زمان بیشتری از دریافت دارو گذشته باشد) غلظت دارو کمتر می‌شود.

یا به عنوان مثال دیگر، اگر فرستنده رادیویی از یک نقطه موج ارسال کند، شدت انرژی موج با معکوس مربع فاصله از فرستنده کم می‌شود. اگر مبدأ را روی فرستنده قرار دهیم فاصله هر نقطه تا آن برابر با d = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} خواهد بود پس انرژی در هر نقطه P\left( {x,y,z} \right) را میتوان با تابع E = \frac{k}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} نمایش داد که k یک عدد ثابت است و به انرژی اولیه وابسته است.


جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۲، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۲ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

توابع چند متغیره

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *