بهینه‌سازی:

هرگاه برای حل یک مسئله نیازمند اکسترمم کردن یک تابع بر حسب دو متغیر (مثلاً $f\left( {x,y} \right) = 0$ ) باشیم از بهینه‌سازی کمک می‌گیریم. در این نوع سوالات، به کمک شرایط داده شده در مسئله، آن تابع را تبدیل به یک تابع تک‌متغیره می‌کنیم (یعنی از شرط داده شده، یک متغیر را بر حسب دیگری نوشته و در تابع جای‌گذاری می‌کنیم) سپس از تابع تک‌متغیره مشتق گرفته و اکسترمم‌های آن را می‌یابیم و مقدار تابع (یا مقدار خواسته شده در سوال) را در ریشه‌های قابل قبول محاسبه می‌کنیم.

مثال: طول یک طناب ۱۰۰ متر است. مساحت بزرگترین مستطیلی که می‌توان با این طناب ساخت چقدر است؟

حل: اگر مستطیل را به این شکل در نظر بگیریم:

محیط مستطیل به این صورت خواهد بود: $P = 2\left( {x + y} \right) = 100$
که از این رابطه و داده‌های مسئله میتوان نوشت: $x + y = 50 \Rightarrow y = 50 - x$
برای حل این مسئله نیازمند اکسترمم کردن مساحت مستطیل یعنی $S = xy$ هستیم که فعلا نمی‌توان با مشتق‌گیری آن را اکسترمم کرد زیرا بر حسب دو متغیر $x$ و $y$ است ولی به کمک رابطه بدست آمده از محیط مستطیل یعنی $y = 50 - x$ می‌توان این تابع را فقط بر حسب یک متغیر یعنی $x$ نوشته و با مشتق‌گیری، اکسترمم آن را یافت:

$\begin{array}{l} S = xy = x\left( {50 - x} \right) = 50x - {x^2}\\ \frac{{dS}}{{dx}} = 50 - 2x = 0 \Rightarrow x = 25\\ \Rightarrow {S_{\max }} = 25 \times \left( {50 - 25} \right) = 25 \times 25 = 625 \end{array}$

یعنی مساحت بزرگترین مستطیل با محیط ۱۰۰ متر برابر است با ۶۲۵ مترمربع.

این آموزش را نیز مطالعه کنید: اکسترمم نسبی و نقطه عطف (تشخیص نوع نقاط بحرانی)

مثال: می‌خواهیم جعبه بسته‌بندی طراحی کنیم که طول آن سه برابر عرض آن باشد.

حجم این جعبه 12 واحد بوده و هزینه مواد به کاررفته در سطوح بالایی و پایینی جعبه 10 تومان به ازای هر واحد سطح و ۷ تومان به ازای سطوح جانبی می‌باشد. ابعاد جعبه را طوری بیابید که هزینه ساخت جعبه حداقل شود.

حل: برای بهینه‌سازی این جعبه باید هزینه ساخت کل جعبه را با شرط معین بودن حجم جعبه حداقل کنیم:

$V = lwh = \left( {3w} \right)wh = 3{w^2}h = 12 \Rightarrow h = \frac{4}{{{w^2}}}$

هزینه ساخت یک جعبه کامل برابر است با:

$\begin{array}{l} S = 10\left( {2lw} \right) + 7\left( {2hl + 2hw} \right) = 10\left( {6{w^2}} \right) + 7\left( {6hw + 2hw} \right)\\ = 60{w^2} + 65hw\mathop = \limits^{h = \frac{4}{{{w^2}}}} 60{w^2} + 65\left( {\frac{4}{{{w^2}}}} \right)w = 60{w^2} + \frac{{260}}{w} \end{array}$

برای بهینه‌سازی $S$ باید مشتق آن را مساوی قرار دهیم تا حداقل مقدار آن را که کمترین هزینه ساخت جعبه است بیابیم:

$\begin{array}{l} \frac{{dS}}{{dw}} = 120w - \frac{{260}}{{{w^2}}} = 0 \Rightarrow 120w = \frac{{260}}{{{w^2}}} \Rightarrow {w^3} = \frac{{260}}{{120}} = \frac{{13}}{6}\\ \Rightarrow w = \sqrt[3]{{\frac{{13}}{6}}}{\rm{ }}\quad,\quad{\rm{ }}l = 3\sqrt[3]{{\frac{{13}}{6}}}{\rm{ }}\quad,\quad{\rm{ }}h = 4\sqrt[3]{{\frac{{36}}{{169}}}} \end{array}$

تمرین: مساحت بزرگترین مستطیلی که یک دو رأس آن روی محور $x$ ها و دو رأس دیگر آن بالای محور $x$ ها و روی منحنی تابع $y = 8 - {x^2}$ هستند، به کمک بهینه‌سازی چقدر است؟
(راهنمایی: از شکل زیر کمک بگیرید )

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1396-10-12

مشتق و کاربرد آن

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.