بررسی همگرایی سری‌ها به کمک آزمون‌ها

 بررسی همگرایی سری‌ها به کمک آزمون‌ها:

۱) آزمون مقایسه:

دو سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} و  \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{b_n}} را در نظر بگیرید. اگر {a_n} \le {b_n} باشد آنگاه داریم:

الف) اگر \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{b_n}} همگرا باشد آنگاه \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} نیز همگراست زیرا \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} از \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{b_n}} کوچکتر است.

ب) اگر \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} واگرا باشد آنگاه \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{b_n}} نیز واگراست زیرا \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{b_n}} از \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} بزرگتر است.

مثال: همگرایی یا واگرایی سری  \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{5}{{{2^n} + 1}}} را بررسی کنید.

حل: سری هندسی \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{2^n}}}} با \left| q \right| = \frac{1}{2} < 1 همگرا است پس سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{5}{{{2^n}}}} نیز همگراست. حال می‌نویسیم:

    \[\begin{array}{l} {2^n} + 1 > {2^n}\\ \\ \Rightarrow \frac{1}{{{2^n} + 1}} < \frac{1}{{{2^n}}}\\ \\ \Rightarrow \frac{5}{{{2^n} + 1}} < \frac{5}{{{2^n}}} \end{array}\]

پس مطابق آزمون مقایسه، با توجه به همگرایی سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{5}{{{2^n}}}}  می‌توان نتیجه گرفت سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{5}{{{2^n} + 1}}} نیز همگراست.

تمرین: همگرایی سری‌های زیر را با استفاده از آزمون مقایسه بررسی کنید.

    \[\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{{n^2}}}{{{n^3} - 1}}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2} + 3}}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{{Ln(n)}}} \end{array}\]


۲) آزمون مقایسه حد:

در این نوع آزمون، حد حاصل تقسیم دو دنباله داخل سری را می‌یابیم و با توجه به جواب حد، دو سری را مقایسه می‌کنیم.

الف) اگر \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = c > 0  آنگاه دو سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} و  \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{b_n}} هم‌نوع هستند. یعنی اگر یکی همگرا باشد دیگری نیز حتماً همگراست و از واگرایی یکی می‌توان واگرایی سری دیگر را نتیجه گرفت.

ب) اگر \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = 0  آنگاه اگر  \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{b_n}} همگرا باشد \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} نیز حتماً همگراست زیرا {a_n} بسیار کوچکتر از {b_n} است.

ج) اگر \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = \infty  آنگاه اگر  \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{b_n}} واگرا باشد \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} نیز حتماً واگراست زیرا {a_n} بسیار بزرگتر از {b_n} است.

مثال: همگرایی سری  \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{2^n} - n}}} را بررسی کنید.

حل: دنباله {a_n} = \frac{1}{{{2^n} - n}} را با دنباله {b_n} = \frac{1}{{{2^n}}} به صورت حدی مقایسه می‌کنیم:

\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{{{2^n} - n}}}}{{\frac{1}{{{2^n}}}}}\\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{2^n}}}{{{2^n} - n}} = 1 > 0 \end{array}

پس دو سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{2^n} - n}}} و \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{2^n}}}} هم‌نوع هستند. سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{2^n}}}} یک سری هندسی با \left| q \right| = \frac{1}{2} < 1 است پس همگراست. در نتیجه سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{2^n} - n}}} نیز همگراست.

تمرین: همگرایی سری‌های زیر را با استفاده از آزمون مقایسه حد بررسی کنید.

 

    \[\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{3}{{{n^2} + 1}}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{\sqrt n }}{{n - 1}}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{Ln(n)}}{{{n^{\frac{3}{2}}}}}} \end{array}\]


۳) آزمون دالامبر:

در این آزمون برای سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} (با شرط {a_n} \ge 0) حد حاصل تقسیم جمله n + 1ام دنباله بر جمله nام را یافته و از عدد بدست آمده، همگرایی سری را تشخیص می‌دهیم.

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = L

الف) اگر L > 1  آنگاه سری واگراست.

ب) اگر L < 1  آنگاه سری همگراست.

ج) اگر L = 1  آنگاه این آزمون بی‌نتیجه است.

مثال: همگرایی سری  \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{n!}}{{{2^n}}}}را بررسی کنید.

حل: دنباله {a_n} = \frac{{n!}}{{{2^n}}} را در نظر بگیرید. داریم: {a_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^{n + 1}}}}. حال L را محاسبه می‌کنیم.

\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^{n + 1}}}}}}{{\frac{{n!}}{{{2^n}}}}} = \\ \\ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{2^n}\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^{n + 1}}n!}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\left( {n + 1} \right)}}{2} = \infty > 1 \end{array}

پس سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{n!}}{{{2^n}}}} واگراست.

تمرین: همگرایی سری‌های زیر را با استفاده از آزمون دالامبر بررسی کنید.

    \[\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{n^3}}}{{{{\left( {Ln3} \right)}^n}}}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{7^n}}}{{{e^n}}}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{3{n^2}}}{{\left( {2n - 1} \right)!}}} \end{array}\]


۴) آزمون کوشی:

در این آزمون برای سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} (با شرط {a_n} \ge 0) حاصل حد ریشه nام {a_n} را یافته و از عدد بدست آمده، همگرایی سری را تشخیص می‌دهیم.

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{a_n}}} = L

الف) اگر L > 1  آنگاه سری واگراست.

ب) اگر L < 1  آنگاه سری همگراست.

ج) اگر L = 1  آنگاه این آزمون بی‌نتیجه است.

مثال: همگرایی سری  \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{2^n}{e^{ - n}}}را بررسی کنید.

حل: دنباله {a_n} = {2^n}{e^{ - n}} را در نظر بگیرید. داریم:

\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{2^n}{e^{ - n}}}}\\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{{\left( {\frac{2}{e}} \right)}^n}}} = \frac{2}{e} < 1 \end{array}

پس سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{2^n}{e^{ - n}}} همگراست.

تمرین: همگرایی سری‌های زیر را با استفاده از آزمون کوشی بررسی کنید.

    \[\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( {\frac{n}{{n + 1}}} \right)}^{{n^2}}}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{e^{3n}}}}{{{n^n}}}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{n^{n - 1}}}}{{{2^{n + 3}}}}} \end{array}\]


۵) آزمون P:

در این آزمون برای سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} (با شرط {a_n} \ge 0) حاصل حد زیر را می‌یابیم:

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}.{n^p} = M \ne 0

یعنی باید یک P مناسب بیابیم که حاصل این حد یک عدد غیرصفر (و مخالف بی‌نهایت) شود. سپس با توجه به مقدار P نوع سری را تشخیص می‌دهیم:

الف) اگر P > 1  آنگاه سری همگراست.

ب) اگر P \le 1  آنگاه سری واگراست.

مثال: همگرایی سری‌های زیر را بررسی کنید.

    \[\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{3}{{2{n^3} - 1}}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\tan }^{ - 1}}n}}{{\sqrt n }}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{5n - 1}}{{{n^2} + 2n - 6}}} \end{array}\]

حل: برای هر دنباله داخل سری‌ها باید یک P  مناسب بیابیم که حاصل این حد یک عدد غیرصفر شود.

    \[1)\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{3}{{2{n^3} - 1}}.{n^3} = \frac{3}{2}\]

پس P = 3 > 1 یعنی  سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{3}{{2{n^3} - 1}}} همگراست.

    \[2)\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\tan }^{ - 1}}n}}{{\sqrt n }}.\sqrt n  = \frac{\pi }{2}\]

پس P = \frac{1}{2} \le 1 یعنی سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\tan }^{ - 1}}n}}{{\sqrt n }}} واگراست.

    \[3)\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{5n - 1}}{{{n^2} + 2n - 6}}.n = 5\]

پس P = 1 \le 1 یعنی سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{5n - 1}}{{{n^2} + 2n - 6}}} واگراست.


۶) آزمون انتگرال:

در این آزمون برای سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} (با شرط {a_n} \ge 0) اگر {a_{n + 1}} < {a_n} باشد آنگاه همگرایی این سری مشابه همگرایی انتگرال \int\limits_1^\infty  {a\left( x \right)dx} خواهد بود.

مثال: همگرایی سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - \sqrt n }}}}{{\sqrt n }}} را بررسی کنید.

حل: دنباله داخل سری در شرایط آزمون انتگرال صدق می‌کند پس:

\begin{array}{l} \int\limits_1^\infty {\frac{{{e^{ - \sqrt x }}}}{{\sqrt x }}dx} \\ \\ \boxed{{u = {e^{ - \sqrt x }} \Rightarrow du = - \frac{1}{{2\sqrt x }}{e^{ - \sqrt x }}dx }}\\ \\ \Rightarrow \int\limits_1^\infty {\frac{{{e^{ - \sqrt x }}}}{{\sqrt x }}dx} = \left. { - 2{e^{ - \sqrt x }}} \right|_1^\infty = - 2\left( {0 - {e^{ - 1}}} \right) = \frac{2}{e} \end{array}

این انتگرال جواب دارد پس همگراست در نتیجه سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - \sqrt n }}}}{{\sqrt n }}} نیز همگراست.

تمرین: همگرایی سری‌های زیر را به روش آزمون انتگرال بررسی کنید.

    \[\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt n }}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{Ln\left( n \right)}}{{{n^2}}}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2} - 4n + 5}}} \end{array}\]

 


آموزش تصویری این مبحث:


جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

دنباله و سری

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *