بررسی همگرایی سری‌ها به کمک آزمون‌ها:

۱) آزمون مقایسه:

دو سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ و $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}$ را در نظر بگیرید. اگر ${a_n} \le {b_n}$ باشد آنگاه داریم:

الف) اگر $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}$ همگرا باشد آنگاه $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ نیز همگراست زیرا $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ از $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}$ کوچکتر است.

ب) اگر $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ واگرا باشد آنگاه $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}$ نیز واگراست زیرا $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}$ از $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ بزرگتر است.

مثال: همگرایی یا واگرایی سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{5}{{{2^n} + 1}}}$ را بررسی کنید.

حل: سری هندسی $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{2^n}}}}$ با $\left| q \right| = \frac{1}{2} < 1$ همگرا است پس سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{5}{{{2^n}}}}$ نیز همگراست. حال می‌نویسیم:

$\begin{array}{l} {2^n} + 1 > {2^n}\\ \\ \Rightarrow \frac{1}{{{2^n} + 1}} < \frac{1}{{{2^n}}}\\ \\ \Rightarrow \frac{5}{{{2^n} + 1}} < \frac{5}{{{2^n}}} \end{array}$

پس مطابق آزمون مقایسه، با توجه به همگرایی سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{5}{{{2^n}}}}$ می‌توان نتیجه گرفت سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{5}{{{2^n} + 1}}}$ نیز همگراست.

تمرین: همگرایی سری‌های زیر را با استفاده از آزمون مقایسه بررسی کنید.

$\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{{n^2}}}{{{n^3} - 1}}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2} + 3}}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{{Ln(n)}}} \end{array}$

۲) آزمون مقایسه حد:

در این نوع آزمون، حد حاصل تقسیم دو دنباله داخل سری را می‌یابیم و با توجه به جواب حد، دو سری را مقایسه می‌کنیم.

الف) اگر $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = c > 0$ آنگاه دو سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ و $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}$ هم‌نوع هستند. یعنی اگر یکی همگرا باشد دیگری نیز حتماً همگراست و از واگرایی یکی می‌توان واگرایی سری دیگر را نتیجه گرفت.

ب) اگر $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = 0$ آنگاه اگر $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}$ همگرا باشد $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ نیز حتماً همگراست زیرا ${a_n}$ بسیار کوچکتر از ${b_n}$ است.

ج) اگر $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = \infty$ آنگاه اگر $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}$ واگرا باشد $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ نیز حتماً واگراست زیرا ${a_n}$ بسیار بزرگتر از ${b_n}$ است.

مثال: همگرایی سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{2^n} - n}}}$ را بررسی کنید.

حل: دنباله ${a_n} = \frac{1}{{{2^n} - n}}$ را با دنباله ${b_n} = \frac{1}{{{2^n}}}$ به صورت حدی مقایسه می‌کنیم:

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{{{2^n} - n}}}}{{\frac{1}{{{2^n}}}}}\\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{2^n}}}{{{2^n} - n}} = 1 > 0 \end{array}$

پس دو سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{2^n} - n}}}$ و $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{2^n}}}}$ هم‌نوع هستند. سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{2^n}}}}$ یک سری هندسی با $\left| q \right| = \frac{1}{2} < 1$ است پس همگراست. در نتیجه سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{2^n} - n}}}$ نیز همگراست.

تمرین: همگرایی سری‌های زیر را با استفاده از آزمون مقایسه حد بررسی کنید.

$\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{3}{{{n^2} + 1}}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{\sqrt n }}{{n - 1}}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{Ln(n)}}{{{n^{\frac{3}{2}}}}}} \end{array}$

۳) آزمون دالامبر:

در این آزمون برای سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ (با شرط ${a_n} \ge 0$ ) حد حاصل تقسیم جمله $n + 1$ ام دنباله بر جمله $n$ ام را یافته و از عدد بدست آمده، همگرایی سری را تشخیص می‌دهیم.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = L$

الف) اگر $L > 1$ آنگاه سری واگراست.

ب) اگر $L < 1$ آنگاه سری همگراست.

ج) اگر $L = 1$ آنگاه این آزمون بی‌نتیجه است.

مثال: همگرایی سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{n!}}{{{2^n}}}}$ را بررسی کنید.

حل: دنباله ${a_n} = \frac{{n!}}{{{2^n}}}$ را در نظر بگیرید. داریم: ${a_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^{n + 1}}}}$ . حال $L$ را محاسبه می‌کنیم.

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^{n + 1}}}}}}{{\frac{{n!}}{{{2^n}}}}} = \\ \\ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{2^n}\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^{n + 1}}n!}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\left( {n + 1} \right)}}{2} = \infty > 1 \end{array}$

پس سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{n!}}{{{2^n}}}}$ واگراست.

تمرین: همگرایی سری‌های زیر را با استفاده از آزمون دالامبر بررسی کنید.

$\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{n^3}}}{{{{\left( {Ln3} \right)}^n}}}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{7^n}}}{{{e^n}}}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{3{n^2}}}{{\left( {2n - 1} \right)!}}} \end{array}$

۴) آزمون کوشی:

در این آزمون برای سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ (با شرط ${a_n} \ge 0$ ) حاصل حد ریشه $n$ ام ${a_n}$ را یافته و از عدد بدست آمده، همگرایی سری را تشخیص می‌دهیم.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{a_n}}} = L$

الف) اگر $L > 1$ آنگاه سری واگراست.

ب) اگر $L < 1$ آنگاه سری همگراست.

ج) اگر $L = 1$ آنگاه این آزمون بی‌نتیجه است.

مثال: همگرایی سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{2^n}{e^{ - n}}}$ را بررسی کنید.

حل: دنباله ${a_n} = {2^n}{e^{ - n}}$ را در نظر بگیرید. داریم:

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{2^n}{e^{ - n}}}}\\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{{\left( {\frac{2}{e}} \right)}^n}}} = \frac{2}{e} < 1 \end{array}$

پس سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{2^n}{e^{ - n}}}$ همگراست.

تمرین: همگرایی سری‌های زیر را با استفاده از آزمون کوشی بررسی کنید.

$\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( {\frac{n}{{n + 1}}} \right)}^{{n^2}}}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{e^{3n}}}}{{{n^n}}}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{n^{n - 1}}}}{{{2^{n + 3}}}}} \end{array}$

۵) آزمون $P$ :

در این آزمون برای سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ (با شرط ${a_n} \ge 0$ ) حاصل حد زیر را می‌یابیم:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}.{n^p} = M \ne 0$

یعنی باید یک $P$ مناسب بیابیم که حاصل این حد یک عدد غیرصفر (و مخالف بی‌نهایت) شود. سپس با توجه به مقدار $P$ نوع سری را تشخیص می‌دهیم:

الف) اگر $P > 1$ آنگاه سری همگراست.

ب) اگر $P \le 1$ آنگاه سری واگراست.

مثال: همگرایی سری‌های زیر را بررسی کنید.

$\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{3}{{2{n^3} - 1}}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\tan }^{ - 1}}n}}{{\sqrt n }}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{5n - 1}}{{{n^2} + 2n - 6}}} \end{array}$

حل: برای هر دنباله داخل سری‌ها باید یک $P$ مناسب بیابیم که حاصل این حد یک عدد غیرصفر شود.

$1)\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{3}{{2{n^3} - 1}}.{n^3} = \frac{3}{2}$

پس $P = 3 > 1$ یعنی سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{3}{{2{n^3} - 1}}}$ همگراست.

$2)\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\tan }^{ - 1}}n}}{{\sqrt n }}.\sqrt n = \frac{\pi }{2}$

پس $P = \frac{1}{2} \le 1$ یعنی سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\tan }^{ - 1}}n}}{{\sqrt n }}}$ واگراست.

$3)\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{5n - 1}}{{{n^2} + 2n - 6}}.n = 5$

پس $P = 1 \le 1$ یعنی سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{5n - 1}}{{{n^2} + 2n - 6}}}$ واگراست.

۶) آزمون انتگرال:

در این آزمون برای سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ (با شرط ${a_n} \ge 0$ ) اگر ${a_{n + 1}} < {a_n}$ باشد آنگاه همگرایی این سری مشابه همگرایی انتگرال $\int\limits_1^\infty {a\left( x \right)dx}$ خواهد بود.

مثال: همگرایی سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{e^{ - \sqrt n }}}}{{\sqrt n }}}$ را بررسی کنید.

حل: دنباله داخل سری در شرایط آزمون انتگرال صدق می‌کند پس:

$\begin{array}{l} \int\limits_1^\infty {\frac{{{e^{ - \sqrt x }}}}{{\sqrt x }}dx} \\ \\ \boxed{{u = {e^{ - \sqrt x }} \Rightarrow du = - \frac{1}{{2\sqrt x }}{e^{ - \sqrt x }}dx }}\\ \\ \Rightarrow \int\limits_1^\infty {\frac{{{e^{ - \sqrt x }}}}{{\sqrt x }}dx} = \left. { - 2{e^{ - \sqrt x }}} \right|_1^\infty = - 2\left( {0 - {e^{ - 1}}} \right) = \frac{2}{e} \end{array}$

این انتگرال جواب دارد پس همگراست در نتیجه سری $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{e^{ - \sqrt n }}}}{{\sqrt n }}}$ نیز همگراست.

تمرین: همگرایی سری‌های زیر را به روش آزمون انتگرال بررسی کنید.

$\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt n }}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{Ln\left( n \right)}}{{{n^2}}}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2} - 4n + 5}}} \end{array}$

آموزش تصویری این مبحث:

جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:

پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه (۵ فصل + ضمیمه مثلثات)
نمره 4.75 از 5
۱۳۹,۰۰۰ تومان افزودن به سبد خرید

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1399-02-14

دنباله و سری

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.