بررسی همگرایی سری‌ها به کمک آزمون‌ها

 بررسی همگرایی سری‌ها به کمک آزمون‌ها:

۱) آزمون مقایسه:

دو سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} و  \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{b_n}} را در نظر بگیرید. اگر {a_n} \le {b_n} باشد آنگاه داریم:

الف) اگر \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{b_n}} همگرا باشد آنگاه \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} نیز همگراست زیرا \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} از \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{b_n}} کوچکتر است.

ب) اگر \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} واگرا باشد آنگاه \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{b_n}} نیز واگراست زیرا \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{b_n}} از \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} بزرگتر است.

مثال: همگرایی یا واگرایی سری  \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{5}{{{2^n} + 1}}} را بررسی کنید.

حل: سری هندسی \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{2^n}}}} با \left| q \right| = \frac{1}{2} < 1 همگرا است پس سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{5}{{{2^n}}}} نیز همگراست. حال می‌نویسیم:

    \[\begin{array}{l} {2^n} + 1 > {2^n}\\ \\ \Rightarrow \frac{1}{{{2^n} + 1}} < \frac{1}{{{2^n}}}\\ \\ \Rightarrow \frac{5}{{{2^n} + 1}} < \frac{5}{{{2^n}}} \end{array}\]

پس مطابق آزمون مقایسه، با توجه به همگرایی سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{5}{{{2^n}}}}  می‌توان نتیجه گرفت سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{5}{{{2^n} + 1}}} نیز همگراست.

تمرین: همگرایی سری‌های زیر را با استفاده از آزمون مقایسه بررسی کنید.

    \[\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{{n^2}}}{{{n^3} - 1}}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2} + 3}}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{{Ln(n)}}} \end{array}\]


۲) آزمون مقایسه حد:

در این نوع آزمون، حد حاصل تقسیم دو دنباله داخل سری را می‌یابیم و با توجه به جواب حد، دو سری را مقایسه می‌کنیم.

الف) اگر \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = c > 0  آنگاه دو سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} و  \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{b_n}} هم‌نوع هستند. یعنی اگر یکی همگرا باشد دیگری نیز حتماً همگراست و از واگرایی یکی می‌توان واگرایی سری دیگر را نتیجه گرفت.

ب) اگر \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = 0  آنگاه اگر  \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{b_n}} همگرا باشد \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} نیز حتماً همگراست زیرا {a_n} بسیار کوچکتر از {b_n} است.

ج) اگر \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = \infty  آنگاه اگر  \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{b_n}} واگرا باشد \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} نیز حتماً واگراست زیرا {a_n} بسیار بزرگتر از {b_n} است.

مثال: همگرایی سری  \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{2^n} - n}}} را بررسی کنید.

حل: دنباله {a_n} = \frac{1}{{{2^n} - n}} را با دنباله {b_n} = \frac{1}{{{2^n}}} به صورت حدی مقایسه می‌کنیم:

\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{{{2^n} - n}}}}{{\frac{1}{{{2^n}}}}}\\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{2^n}}}{{{2^n} - n}} = 1 > 0 \end{array}

پس دو سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{2^n} - n}}} و \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{2^n}}}} هم‌نوع هستند. سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{2^n}}}} یک سری هندسی با \left| q \right| = \frac{1}{2} < 1 است پس همگراست. در نتیجه سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{2^n} - n}}} نیز همگراست.

تمرین: همگرایی سری‌های زیر را با استفاده از آزمون مقایسه حد بررسی کنید.

 

    \[\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{3}{{{n^2} + 1}}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{\sqrt n }}{{n - 1}}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{Ln(n)}}{{{n^{\frac{3}{2}}}}}} \end{array}\]


۳) آزمون دالامبر:

در این آزمون برای سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} (با شرط {a_n} \ge 0) حد حاصل تقسیم جمله n + 1ام دنباله بر جمله nام را یافته و از عدد بدست آمده، همگرایی سری را تشخیص می‌دهیم.

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = L

الف) اگر L > 1  آنگاه سری واگراست.

ب) اگر L < 1  آنگاه سری همگراست.

ج) اگر L = 1  آنگاه این آزمون بی‌نتیجه است.

مثال: همگرایی سری  \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{n!}}{{{2^n}}}}را بررسی کنید.

حل: دنباله {a_n} = \frac{{n!}}{{{2^n}}} را در نظر بگیرید. داریم: {a_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^{n + 1}}}}. حال L را محاسبه می‌کنیم.

\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^{n + 1}}}}}}{{\frac{{n!}}{{{2^n}}}}} = \\ \\ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{2^n}\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^{n + 1}}n!}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\left( {n + 1} \right)}}{2} = \infty > 1 \end{array}

پس سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{n!}}{{{2^n}}}} واگراست.

تمرین: همگرایی سری‌های زیر را با استفاده از آزمون دالامبر بررسی کنید.

    \[\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{n^3}}}{{{{\left( {Ln3} \right)}^n}}}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{7^n}}}{{{e^n}}}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{3{n^2}}}{{\left( {2n - 1} \right)!}}} \end{array}\]


۴) آزمون کوشی:

در این آزمون برای سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} (با شرط {a_n} \ge 0) حاصل حد ریشه nام {a_n} را یافته و از عدد بدست آمده، همگرایی سری را تشخیص می‌دهیم.

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{a_n}}} = L

الف) اگر L > 1  آنگاه سری واگراست.

ب) اگر L < 1  آنگاه سری همگراست.

ج) اگر L = 1  آنگاه این آزمون بی‌نتیجه است.

مثال: همگرایی سری  \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{2^n}{e^{ - n}}}را بررسی کنید.

حل: دنباله {a_n} = {2^n}{e^{ - n}} را در نظر بگیرید. داریم:

\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{2^n}{e^{ - n}}}}\\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{{\left( {\frac{2}{e}} \right)}^n}}} = \frac{2}{e} < 1 \end{array}

پس سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{2^n}{e^{ - n}}} همگراست.

تمرین: همگرایی سری‌های زیر را با استفاده از آزمون کوشی بررسی کنید.

    \[\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( {\frac{n}{{n + 1}}} \right)}^{{n^2}}}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{e^{3n}}}}{{{n^n}}}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{n^{n - 1}}}}{{{2^{n + 3}}}}} \end{array}\]


۵) آزمون P:

در این آزمون برای سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} (با شرط {a_n} \ge 0) حاصل حد زیر را می‌یابیم:

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}.{n^p} = M \ne 0

یعنی باید یک P مناسب بیابیم که حاصل این حد یک عدد غیرصفر (و مخالف بی‌نهایت) شود. سپس با توجه به مقدار P نوع سری را تشخیص می‌دهیم:

الف) اگر P > 1  آنگاه سری همگراست.

ب) اگر P \le 1  آنگاه سری واگراست.

مثال: همگرایی سری‌های زیر را بررسی کنید.

    \[\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{3}{{2{n^3} - 1}}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\tan }^{ - 1}}n}}{{\sqrt n }}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{5n - 1}}{{{n^2} + 2n - 6}}} \end{array}\]

حل: برای هر دنباله داخل سری‌ها باید یک P  مناسب بیابیم که حاصل این حد یک عدد غیرصفر شود.

    \[1)\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{3}{{2{n^3} - 1}}.{n^3} = \frac{3}{2}\]

پس P = 3 > 1 یعنی  سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{3}{{2{n^3} - 1}}} همگراست.

    \[2)\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\tan }^{ - 1}}n}}{{\sqrt n }}.\sqrt n  = \frac{\pi }{2}\]

پس P = \frac{1}{2} \le 1 یعنی سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\tan }^{ - 1}}n}}{{\sqrt n }}} واگراست.

    \[3)\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{5n - 1}}{{{n^2} + 2n - 6}}.n = 5\]

پس P = 1 \le 1 یعنی سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{5n - 1}}{{{n^2} + 2n - 6}}} واگراست.


۶) آزمون انتگرال:

در این آزمون برای سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} (با شرط {a_n} \ge 0) اگر {a_{n + 1}} < {a_n} باشد آنگاه همگرایی این سری مشابه همگرایی انتگرال \int\limits_1^\infty  {a\left( x \right)dx} خواهد بود.

مثال: همگرایی سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - \sqrt n }}}}{{\sqrt n }}} را بررسی کنید.

حل: دنباله داخل سری در شرایط آزمون انتگرال صدق می‌کند پس:

\begin{array}{l} \int\limits_1^\infty {\frac{{{e^{ - \sqrt x }}}}{{\sqrt x }}dx} \\ \\ \boxed{{u = {e^{ - \sqrt x }} \Rightarrow du = - \frac{1}{{2\sqrt x }}{e^{ - \sqrt x }}dx }}\\ \\ \Rightarrow \int\limits_1^\infty {\frac{{{e^{ - \sqrt x }}}}{{\sqrt x }}dx} = \left. { - 2{e^{ - \sqrt x }}} \right|_1^\infty = - 2\left( {0 - {e^{ - 1}}} \right) = \frac{2}{e} \end{array}

این انتگرال جواب دارد پس همگراست در نتیجه سری \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - \sqrt n }}}}{{\sqrt n }}} نیز همگراست.

تمرین: همگرایی سری‌های زیر را به روش آزمون انتگرال بررسی کنید.

    \[\begin{array}{l} 1)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt n }}} \\ \\ 2)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{Ln\left( n \right)}}{{{n^2}}}} \\ \\ 3)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2} - 4n + 5}}} \end{array}\]

 


آموزش تصویری این مبحث:


جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

guest
1 دیدگاه
قدیمی ترین
جدیدترین بیشترین آرا
Inline Feedbacks
مشاهده همه دیدگاه ها